剛體的力學與運動學分析方法

舒牧葳

摘要：剛體力學的研究方法，服從力的平衡、力的合成與分解、能量守恒等基本原理，在此基礎上，還要結合剛體的動力學等數學方法，共同求解剛體問題；剛體由于不可壓縮性，又有其獨特的規律，本文用矢量分解的方法，將數學方程和分析物理現象兩個角度結合，研究細長剛體的力與運動問題，

關鍵詞：剛體力學；運動；數學方法；物理方法；矢量分解；軌跡方程

剛體力學從靜力平衡的基礎出發，結合能量守恒，以及動力學方程，可以深入的研究剛性物體的受力狀態，運動過程，運動終止狀態；與靜力學的范疇不同，在任意位置，受力并不一定平衡，即所受的各個力并不一定交于一點，剛體因此可能產生轉動等。但仍可以進行受力分析，剛體在運動中及受力作用后，其形狀和大小不變。且剛體內部各點之間的相對位置關系也不變。研究剛體適用能量守恒定律，動量守恒定律，角動量守恒定律等基本方法。

本文研究了剛體的力學與運動學特征，列舉了兩種場景。場景是理想光滑平面和光滑垂直平面，在剛體受到微小擾動后的剛體運動模型，分析其物理過程可知，存在某臨界點，剛體的運動狀態將發生改變，由于該物理過程較為復雜，不能采用靜力學平衡的分析方法，故需列出其動力學方程，結合力的分析，通過數學方法解釋物理現象。同時較多地采用數學方法，也有助于更深入的理解物理學場景，兩種研究方法應有機的結合起來，讓數學工具為進一步分析物理問題提供幫助，通過數學結果解釋物理現象；同時也訓練物理思維能力，通過物理規律列出數學方程。

一、剛體靠光滑墻面光滑水平面滑落場景

如圖1：墻面光滑，水平面光滑，初始時剛體緊貼墻面豎直放置，受到微小擾動后，剛體開始沿著墻壁緩慢下滑，由于受到重力的作用，剛體繼續加速滑下，其質量記為M，剛體中點記為O，其長度記為L，在中間某個狀態，剛體與水平面所成夾角α為參數，描述剛體的瞬時狀態，其靠墻的接觸點豎直向下的速度記為V1，與水平面的接觸點平行向右的速度記為V2，豎直墻面作用于剛體的彈力水平向右記為N1，水平面作用于剛體的彈力豎直向上記為N2。上下兩端分別記為A，B。

由于剛體運動過程中各點沒有相對位移，根據O點與剛體兩端點的幾何關系有：

V[DD（-*5]0=[SX（]1[]2[SX）]（V[DD（-*5]1+V[DD（-*5]2）

由V1，V2的正交性有：

V0x=[SX（]1[]2[SX）]V2，Voy=[SX（]1[]2[SX）]V1

B點對O點的相對運動關系為：

V[DD（-*5]Bo=（V[DD（-*5]B-V[DD（-*5]o）

即VBox=[SX（]1[]2[SX）]V1，VBoy=[SX（]1[]2[SX）]V2

研究B點對O點的相對運動關系，因為A，B兩端都在繞O旋轉，于是O點的角速度為兩速度在旋轉方向線速度的疊加，其疊加后的角速度為：

ω=[SX（]VBoxsinα+VBoycosα[][SX（]1[]2[SX）]l[SX）]=[SX（]V2sinα+V1cosα[]l[SX）]

剛體由于不能壓縮，于是由速度牽連關系有：

V2cosα=V1cos（90°-α）

即V2=V1tanα

即：

ω=[SX（]V1cosα+V1tanαsinα[]l[SX）]=[SX（]V1[]lcosα[SX）]

桿動能為平動動能與轉動動能之和，由能量守恒定律：

mg（1-sinα）[SX（]l[]2[SX）]=[SX（]1[]2[SX）]Jω2+[SX（]1[]2[SX）]mV02

可以較為容易的證明，細長剛體對其中點的轉動慣量為：

J=[SX（]1[]12[SX）]ml2

上式的證明用到簡單的線積分，其過程不復雜，在此當結論直接引用。

V02=V0x2+V0y2=[SX（]1[]4[SX）]（V12+V22）=[SX（]V12[]4cos2α[SX）]

V0=[SX（]1[]2[SX）]ωl

解得：ω2=[SX（]3g（1-sinα）[]l[SX）]

V02=[SX（]3gl（1-sinα）[]4[SX）]

因質心O做圓周運動，故

V0x=V0sinα

上式兩邊平方，后對時間求導，注意到上式中速度是時間的函數，根據復合函數求導的原則有：

2V0xax=2V0sin2α[SX（]dV0[]dt[SX）]+2sinαcosαV02[SX（]dα[]dt[SX）]

又2V0

[SX（]dV0[]dt[SX）]=-[SX（]3gl[]4[SX）]cosαω

聯立解得

ax=V0ω[

-[SX（]sinαcosα[]2（1-sinα）[SX）]+cosα]

剛體離開墻面時，ax=0。

即

[SX（]sinαcosα[]2（1-sinα）[SX）]=cosα

sinα=[SX（]2[]3[SX）]

以上借助微分方程對細長剛體離開墻面的時刻進行了分析，其要點在于：

剛體在沿著墻面倒伏的過程中，由于受到豎直墻面的水平向右的作用力，根據動量定理，該作用力使得剛體獲得向右的速度，在重力的作用下，根據能量守恒，剛體會加速下滑，在上述兩種力的綜合作用下，剛體的運動存在某個臨界點，在該點處，剛體剛好脫離墻面，從此不再受到豎直墻面水平向右的作用力，即整個質心向右的速度不再增加；從此時開始，剛體受到的力只有重力，以及水平地面豎直向上的反作用力。

上述的解法主要體現了用偏數學的方法解決物理問題；另一方面，研究剛體的物理現象，從偏向物理學的分析方法，從質心運動的規律出發，作出剛體運動的幾何關系圖如圖2：

從墻角P到質心O的連線如圖2，△POA中PO=AO，即O點做以P為圓心OA為半徑的圓周運動。且∠OPB=∠OBP；∠OPA=∠OAP。

故質心O點的圓周運動的角速度，角加速度與桿繞質心轉動的角速度，角加速度相等。設桿上段A離開墻面時角速度和角加速度分別為ω，β；與地面夾角為α。則質心O點的速度，向心加速度，切向加速度分別可以表示為：

V0=[SX（]ωl[]2[SX）]

a1=[SX（]1[]2[SX）]ω2l

a2=[SX（]1[]2[SX）]βl

當臨界離墻時，桿不受水平作用力，質心水平方向的加速度為0，即向心加速度，切向加速度質心O點在水平方向的分量矢量和為0：ω2[SX（]1[]2[SX）]lcosα=β[SX（]1[]2[SX）]lsinα上式對時間求導：ω2=[SX（]3g（1-sinα）[]l[SX）]

由前面的推導：[SX（]2[]3[SX）]βl=-gcosα

又因為：

ω=-[SX（]dα[]dt[SX）]

聯立解得：

sinα=[SX（]2[]3[SX）]

以上用剛體的性質，一種方法從偏數學的角度，根據矢量的分解合成關系，列出微分方程，通過求導等數學運算，確定了剛體恰好離開墻時的運動姿態。另一種方法分析了在離開墻面的時刻，其速度及加速度應該滿足的物理關系，結合剛體的幾何特征，根據矢量的分解合成關系，也得到了同樣的結果，證明在分析剛體運動的過程中，數學或者物理方法，都是可以得到正確結論的，數學工具固然很重要，但對物體進行物理現象分析，既方便又本質地揭示了物理過程，也使求解的過程更加鍛煉了物理思維。

二、剛體自由滑落場景

該場景與場景一不同，左側沒有豎直墻壁倚靠。根據動量守恒定律，剛體沒有受到水平向右的作用力，則不會獲得向右的速度，于是運動終了狀態質心沒有水平位移，即剛體只在豎直方向向下倒下，其過程仍然滿足重力場中的能量守恒，整個過程只有重力做功。

初始狀態剛體垂直于光滑水平面，輕輕松開后，剛體在受到微擾后開始偏離豎直方向，之后在重力的作用下，剛體開始向下傾倒，過程之中受到地面向上的反作用力，在任意狀態并不服從靜力學平衡，但在該場景中，除重力的外力做功為0，剛體最小系統服從能量守恒定律。

與剛體靠墻滑落不同，因水平方向不受外力，故質心速度豎直向下，設質心速度為V0，B點方向水平向右為V1，桿相對于質心O的角速度為ω，根據速度牽連關系有：

V0cos（90°-α）=V1cosα

B點相對O點的水平速度Vx=V1；Vy=V0

故

ω=[SX（]Vxsinα+Vycosα[][SX（]1[]2[SX）]l[SX）]=2[SX（]V0[]lcosα[SX）]

由能量守恒定律：

mg（1-sinα）[SX（]l[]2[SX）]=[SX（]l[]2[SX）]Jω2+[SX（]1[]2[SX）]mV02

V2=[SX（]3glcosα2（1-sinα）[]3cosα2+1[SX）]

ω2=[SX（]12g（1-sinα）[]（3cosα2+1）l[SX）]

上述的求解過程，與場景一比較類似，還是利用剛體內相對位置不變，各點之間的運動滿足某種規律，結合能量守恒列出方程求解。

三、剛體運動軌跡方程

拋開受力分析，對剛體進行運動學建模也是很有意義的。以下考慮剛體自由倒伏時，其運動的方程。由于沒有受力分析，運動學的分析較多從數學角度出發，可以結合幾何原理，類似于解析幾何的觀點解決問題。在該場景中，研究了剛體上幾個典型位置的運動規律，通過幾何關系，可以由此知道整個剛體的運動形式，對運動狀態作數學描述，然后根據數學結果給出解釋。本文討論剛體在自由釋放后，上端的軌跡方程，，下端點由于與上端點存在依存關系，求解的過程類似，求解的過程主要用到了數學方法。

剛體自由傾倒時，A點與質心O點的距離不變，O點則豎直加速向下，于是有如下的運動關系：

（XA-X0）2+（YA-Y0）2=[SX（]l2[]4[SX）]

根據幾何關系

Y0=[SX（]1[]2[SX）]YA

聯立解得：

XA2+[SX（]YA2[]4[SX）]=[SX（]l2[]4[SX）]

四、總結

數理方法是數學和物理結合的分析工具，由于對物理現象的描述，通常大量的使用數學公式，這些公式大都具有一定的物理意義，即數學方程的物理解釋。同時在分析物理現象的過程中，中間結論可能也蘊含著物理意義，從中洞察物理背景是物理學中需要的主要能力之一。對物理現象的觀察，從純粹物理學的角度分析，也是鍛煉物理思維的好方法，將兩種方法結合起來，有助于我們更加深入的分析物理現象。提高我們的洞察力。

本文設定了三個剛體的場景，第一個場景，相對更復雜，受力分析來源于兩個墻面，重力；運動被限制在豎直墻面的右側，通過數理結合的方法解決了其力與運動的關系問題。第二個場景，撤去了豎直墻面，受力分析交場景一簡易，運動狀態也與場景一不同，但分析方法是大致相同的，即剛體的性質以及能量守恒，結合矢量的合成與分解。接著用解析幾何的方法研究了運動軌跡問題，通過幾何關系建立數學模型，對結果進行了結合解釋。通過研究F剛體的力與運動，展示了一種一般性的分析剛體力學的數理分析方法。

研究剛體的運動規律，需要仔細分析物理現象，從受力狀態，能量守恒等物理本質出發，結合幾何分析，數學方程等數學方法，結合兩種方法綜合求解。從分析物理狀態入手，在動力學模型中，尋找其內在規律，通過數學方法計算，再用物理學的分析方法對計算結果進行解釋；或者從物理學的角度出發，根據速度，加速度，圓周運動等物理現象服從的物理定律入手，更本質地揭示物理規律，此時數學也是很有用的工具，通過本文的分析，可以看出數理相結合的思維方法，是分析剛體動力學的有力工具，也是物理過程建模的重要方法之一，數學和物理只是從不同角度，對同一客觀現象的客觀描述。

參考文獻：

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