關于高中階段導數知識的深入討論

摘要：本文闡述了導數不存在的兩個判斷方法及導數存在的兩個判斷方法，指出了導數的實質就是函數的變化率，其幾何意義就是函數的曲線在該點處的斜率，并舉例來說明相關問題。

關鍵詞：導數；概念；實質；幾何意義

“導數及其應用”這部分內容是高中數學教材中比較重要的一章，在學生升入大學后，這部分內容又是高等數學課程教材中比較基本也是比較重要的一章，是微積分學的核心內容之一。在高中階段課程改革后，高考大綱增大了對“導數及其應用”這一部分內容的要求和考察力度[12]。在高中數學教學過程中，很多同學在學習這一部分內容時遇到了不同程度上的理解和運用上的困難，究其原因，在于對知識點沒有理解透徹。當我們下功夫把這一內容整理清晰，理解并吃透之后，會學到很多非常經典的數學思想和數學方法，為此我們將受益終生。作者在認真學習了高中數學教材，參考相關教學輔導資料，并查閱了同濟大學數學系編寫的《高等數學》教材，對導數相關問題作以下闡述。

1 函數在一點處導數不存在的兩種判斷方法

（1）如果函數f（x）在點處不連續，則函數f（x）在點x0處不可導。這基于導數的一基本結論“可導則連續，連續不一定可導”。連續是函數在一點可導的必要條件。

（2）如果函數f（x）在點x0處連續，但在點x0處的左導數與右導數中至少有一個不存在，或都存在但不相等，則函數f（x）在點x0處不可導。

例1 討論函數

f（x）=[JB（{]0，x≤0，[KF（]x[KF）]，x>0.[JB）]

在點x=0處是否可導。

解析：易求得函數f（x）在點x=0處的左導數為0，但右導數不存在，故函數f（x）在點x=0處不可導。

例2 討論函數f（x）=|sinx|在點x=0處是否可導。

解析：易求得函數f（x）在點x=0處的左導數為-1，右導數為1，故函數f（x）在點x=0處不可導。

從幾何意義上來看，在例1中，當我們從x=0的左邊作割線來逼近得到x=0的切線方程為y=0，當我們從x=0的右邊作割線來逼近得到x=0的切線時，切線是垂直于x軸的，我們知道此時其導數是不存在的。在例2中，當我們從x=0的左邊作割線來逼近得到x=0的切線方程為y=-x，當我們從x=0的右邊作割線來逼近得到x=0的切線方程為y=x，此時在x=0處不能得到唯一切線，我們知道此時其導數是不存在的。

2 函數在一點處導數存在的兩種判斷方法

（1）設函數y=f（x）在點x0附近有定義，當自變量x在點x0處取得增量Δx時，相應的函數取得增量Δy，如果Δy與Δx之比當Δx→0時的極限存在，則稱函數y=f（x）在點x0處可導，并稱這個極限為函數y=f（x）在點x0處的導數[3]。這即是函數在一點處可導的定義，滿足此定義，則函數在該點處可導。

（2） 如果函數f（x）在點x0處的左導數與右導數都存在且相等，則函數f（x）在點x0處可導。這是函數f（x）在點x0處可導的充要條件，要求函數在該點的左導數存在，右導數存在，而且二者相等，當這三個條件都滿足時才能說明函數在該點可導。

對于本文前面的例1和例2，由于兩個問題中函數在點x=0處都不滿足這個充要條件，故兩個函數在點x=0處都不可導。結合這兩個例題，我們再分析函數f（x）在點x0處可導的這個充要條件，從導數的幾何意義可以看出，函數在一點可導必然其曲線在這點附近是光滑的，否則從左邊和從右邊來作割線逼近得到的切線就不唯一，當然切線的斜率就不會相等，也就是左導數和右導數不相等，故函數在該點不可導。但反過來說，函數的曲線如果在點x0的附近是光滑的，那么函數就一定在該點可導嗎？

例3 討論函數f（x）=[KF（S]3[]x[KF）]在點x=0處是否可導。

解析：容易求得函數f（x）=[KF（S]3[]x[KF）]在點x=0處的左導數和右導數都是不存在的，故函數f（x）=[KF（S]3[]x[KF）]在點x=0處是不可導的。但從圖像上來看，這個函數在整個定義域上都是光滑的，從而我們確定，光滑不一定可導。

3 函數在一點處的導數實質與其幾何意義

導數概念其實質上是函數的變化率問題，反映的是變量變化的快慢。從而可以拋開自變量和因變量其代表的實際上表示的物理或幾何等意義，單純地從數量方面來表達變化率的實質，反映出來的是因變量隨著自變量的變化而變化的快慢問題。

如我們在研究物體直線運動問題時，已知位移s關于時間t的函數s=s（t），欲求物體在t0的瞬時速度。當我們給時刻t0一個增量Δt時，位移得一個增量Δs，此時我們可以得到時刻t0到t0+Δt的平均速度為

[SX（]Δs[]Δt[SX）]=[SX（]s（t0+Δt）-s（t0）[]Δt[SX）]，

而當Δt0時，我們可求得其極限

limΔt0[SX（]s（t0+Δt）-s（t0）[]Δt[SX）]=[SX（]ds[]dt[SX）]|t=t0′，

此時求到的是時刻t0到t0+Δt的平均速度當Δt→0時的極限值，其實質上就是物體在t0的瞬時速度，也即位移函數s=s（t）在t0時刻的瞬時速度。

函數在一點處的導數的幾何意義則在于函數的曲線在該點處的切線的斜率。我們可以根據導數的幾何意義來求函數在一點處的切線方程和法線方程。

例4 求函數y=2e2x在x=1處的切線方程。

解析：易求切點坐標為（1，2e2），再求切線的斜率。

由于，[SX（]dy[]dx[SX）]=4e2x，故可求切線的斜率 [SX（]dy[]dx[SX）]|x=1=4e2，故可得所求切線方程為y-2e2=4e2 （x-1）。

參考文獻：

[1]付禹.高中生學習導數及其應用時的困難點研究[D].東北師范大學碩士學位論文，2015.

[2]付禹.高中生“導數及其應用”學習障礙的研究[D].山東師范大學碩士學位論文，2013.

[3][JP3]高等數學[M] .同濟大學數學系.高等教育出版社，[JP]2006.

作者簡介：邱天沖（2000），男，高三在讀，東北師范大學附屬中學，15級12班。