概率統計模擬實驗平臺的設計及在教學中的應用

任美睿 郭龍江

摘 要：概率統計課程是研究隨機現象統計規律性及分析數據的一門數學分支學科，是理工類專業重要的學科基礎課程。該課程雖然解題技巧并不多，但內容抽象、枯燥，學生不容易理解。利用隨機現象適于做統計模擬的特點，作者根據教學的需要，結合概率統計中的經典問題，利用隨機算法設計了一套概率統計模擬實驗平臺。該平臺能夠為概率統計課程中一些經典問題提供較好的動畫演示效果。在教學中應用該模擬平臺作為輔助，使學生不但加深了對知識的理解，而且大大提高了學習概率統計課程的興趣。

關鍵詞：概率統計；隨機算法；模擬實驗平臺

中圖分類號：G642 文獻標志碼：A 文章編號：2096-000X（2017）24-0067-04

Abstract： Probabilistic statistics course is a branch of mathematics which studies the statistical regularity of stochastic phenomena and analyzes data. It is an important basic course of science major and engineering major.Although the skills for solving problems don't need too much in the course， the content is abstract， boring and not easy to be understood.Based on the characteristics of stochastic phenomena suitable for statistical simulation， the author designed a set of probabilistic statistical simulation experiment platform based on the needs of teaching and combined with the classical problems in probability statistics.This platform can provide better animation demonstration for some classical problems in probabilistic statistical courses. Applying the simulation platform in teaching makes students not only deepen their understanding of knowledge， but also greatly improve the interest of learning probability statistics courses.

Keywords： probability statistics； stochastic algorithm； simulation experiment platform

概率統計是理工類學科的一門重要課程，通過對該課程的學習，不僅為后續專業課程的學習奠定了基礎，同時對培養學生的邏輯思維能力、分析和解決問題能力、數學建模能力起著非常重要的作用。該課程的內容豐富、實用性強，但由于這門課程知識面涉及廣泛，課程內容抽象、難度大、不易理解，學生在學習時有較大的困難[1]。

隨著現代化教學技術飛速發展，利用計算機輔助教學已經成為現代課程教學中一個重要組成部分，而利用計算機來輔助講解概率統計課程能夠增加學生對知識的理解程度，這符合當代教學的特點。計算機模擬實驗平臺結合了數學建模，模擬公式和定理的變化過程以及模擬實驗結果而形成的一種新型教學方式。同時，模擬實驗平臺是利用計算機技術把抽象的問題具體化，把復雜的問題簡單化，并通過計算機的圖形顯示、實驗動畫模擬及文字說明形成的一種全新的數形結合的教學環境[2]。

在概率統計的課程教學中，利用統計模擬實驗可以代替部分理論證明和統計結論，這樣對學生理解概率統計的概念和理論有著重要的幫助，學生在解決問題時建立正確的統計思維，可以提高學生獨立解決問題的能力[3]。

讓學生對所學習的課程產生濃厚的興趣、擴展學生的視野、挖掘學生的潛能，是數學教學中培養學生綜合應用能力和提高學生創造性思維的有效方法。因此，以下三點是本文建立概率統計模擬平臺的目的：1.實驗模擬平臺應該對概率統計的基礎理論教學起到一定的輔助作用；2.利用計算機可以減少公式和數據的計算量；3.培養學生利用概率論知識解決實際問題的能力[4]。

一、蒙特卡洛隨機算法

蒙特卡羅方法[5]是一種基于隨機數的數學隨機算法。計算機模擬經常采用隨機模擬方法或統計試驗方法，這就是蒙特卡洛方法。它是通過不斷產生隨機數序列來模擬過程。自然界中有的過程本身就是隨機的過程，物理現象中如粒子的衰變過程、粒子在介質中的輸運過程等。蒙特卡洛方法也可以借助概率模型來解決不直接具有隨機性的確定性問題。

對求解問題本身就具有概率和統計性的情況，例如中子在介質中的傳播，核衰變的過程等，我們可以使用直接蒙特卡洛模擬方法。蒙特卡洛方法也可以根據所需要解決的問題建立數學模型，利用計算機對模型進行大量的統計以及實驗模擬使它的某些統計參量正好是待求問題的近似解，被稱為間接蒙特卡洛方法。

蒙特卡洛算法包含以下三個優點：1.方法的程序結構簡單；2.算法的概率性和問題的維數無關；3.方法的適應性強。

在使用傳統的方法解決問題時，由于某些問題包含有不確定的隨機因素，分析起來通常比確定性的模型更加困難。而蒙特卡羅方法計算不依賴于參數的個數，所以可以避過“維數災難”解決問題。

二、模擬平臺設計

（一）模擬平臺總體設計

結合課程需要，模擬平臺的設計思路是由計算機產生偽隨機數來模擬現實世界的隨機現象，利用蒙特卡羅隨機算法，在概率統計中一些經典問題中選擇了8個問題：求復雜圖形面積；會面問題；投硬幣實驗；抽簽問題；蒲豐投針；高爾頓釘板；投股子實驗；二項分布逼近泊松分布。

（二）具體模塊設計

下面我們僅以2個模塊為例，簡要介紹一下其功能模塊的設計思想。

1. 蒲豐投針模塊的設計

在數學文化史中，人們對圓周率π精確值的追求吸引了許多學者的研究興趣。在圓周率計算方法中，最為奇妙的是法國科學家蒲豐提出的方法——隨機投針法，也稱為蒲豐投針方法。投針法實驗操作的步驟為：拿來一張畫上許多條彼此之間距離相等的平行直線的白紙，直線之間的距離記為S，把長度為L的針隨機的向紙上投擲。針在紙上會產生兩種結果，一種是針與平行線相交，一種是不相交，假設投針的次數為n，針與直線相交的次數為k，如果投入大量的針，你就會發現2Ln/Sk所得到的值為一個定數，這就是要求的圓周率π。

本模塊通過輸入的n值進行隨機實驗，首先產生兩個值的隨機數，如果隨機值為0，表示本次實驗所投出的針與直線不相交，如果值為1則表示針與平行線相交，統計針與平行線相交的總次數m，利用蒙特卡洛隨機算法求出π值，在繪制圖像時，根據針與平行線之間的關系，在不同的范圍內隨機產生針的開始、結束縱坐標和針的開始橫坐標，通過勾股定理算出針結束點的橫坐標，并通過畫圖函數顯示在窗口中。圖1、圖2分別給出了投針前和投針后的界面。

2. 高爾頓釘板模塊的設計

高爾頓釘板是英國科學家高爾頓設計的，實驗模型如圖3所示。圖中每一個黑點表示釘在板子上的一顆釘子，他們彼此之間的距離均相等，并且上一層的每一顆釘子的水平位置恰好位于下一層兩顆釘子的正中間位置。從入口處投入一個小球，這個小球的直徑要小于兩顆釘子間的距離，在小球的下落過程中會碰到板上的釘子，并以1/2的概率向左或者向右落下，于是就會碰到下一層釘子。如此不斷的循環下去，直到落入底板的一個格子內。如果把數量相當多的小球不斷的從入口放入，他們在底板會堆成近似于正態分布的函數圖形。

在模塊對話框的上側為實驗演示的模型圖，模型圖下面為一個實驗操作組框欄用于對實驗進行操作。在實驗操作組框欄中包含一個編輯框，用于輸入投球的個數。在編輯框的右側是 “開始”按鈕。點擊“開始”按鈕之后，開始本次的實驗模擬，并把“開始”按鈕變灰，在實驗結束時在實驗演示模型圖上會顯示出實驗結果的柱狀圖和曲線，并激活“結果”按鈕?！伴_始”按鈕的右側為“結果”按鈕，如果輸入的小球個數太多，實驗演示的時間太長，按下此按鈕，系統會直接顯示實驗的結果，如圖4，并可開始下次實驗演示。

三、模擬實驗平臺的教學應用實例

限于篇幅關系，我們仍以上面介紹的兩個模塊為例，說明其在教學中的作用。

（一）蒲豐投針模塊在幾何概型講解中的應用

幾何概型：如果每個事件發生的概率只與構成該事件區域的長度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型。

幾何概型的特點有下面兩個：

1. 試驗中所有可能出現的基本事件有無限多個。

2. 每個基本事件出現的可能性相等。

圖5 蒲豐投針示意圖

（二）高爾頓釘板模塊在二項分布、中心極限定理講解中的應用

在講授中心極限定理時，我再次演示了高爾頓釘板模擬實驗，將小球個數設置為較大的數值，此時讓學生觀察圖4，并提示學生想像如果將釘子加密并增加行數，同時增加小球數量，那么實驗得到的頻率直方圖的形態將會是什么樣？通過這樣的引導，學生很快就認同了二項分布的極限分布是正態分布的結論。

二項分布，中心極限定理是概率統計中比較重要的知識點，而工科專業的概率統計課程中對中心極限定理只給出了定理內容，并沒有給出證明，這樣學生理解起來就有困難。而利用高爾頓釘板模擬實驗讓學生對中心極限定理有直觀的認識，驗證中心極限定理的結論，對學生理解中心極限定理的內容以及二項分布與正態分布的關系有著重要的幫助。

四、結束語

將所設計和實現的概率統計模擬實驗平臺應用到教學中，給學生提供了直接觀察隨機現象的機會，同時使學生對概率統計知識有了直觀感受，并可以進一步驗證所學知識。由于該平臺各模塊的演示動畫具有較好的可視化效果，界面簡潔、清晰，并且每個模塊在界面中都包含了必要的提示信息，在實驗演示過程中可以解決學生的很多疑問，提高學生的學習效率，也激發了學生利用自己的專業技能自主開發類似模擬平臺的興趣。

參考文獻：

[1]操群，周遠國.開設概率論與數理統計實驗課的教學探討[J].科技信息，2011（14）：112-113.

[2]李曉康.概率論與數理統計課程開設實驗課的認識與實踐[J].科技信息，2008（15）：225-226.

[3]劉春梅，倪成才，余福平.模擬實驗加強對概率統計核心概念的理解[J].科技創新導報，2010（4）：107-108.

[4]鄧華玲，傅麗芳，任永泰.概率論與數理統計實驗課的探討與實踐[J].大學數學，2008，24（2）：11-14.

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[6]Alfred V.Aho，John E.Hopcroft. The Design and Analysis of Computer Algorithms（第一版）[M].北京：機械工業出版社，2006：1-67.

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[8]陳元琰，鄧宗明，張睿哲.Visual C++6.0編程實用技術與案例[M].北京：清華大學出版社，2001：50-78.