分數階超混沌系統的修正函數投影同步研究

高遠 胡杭芳 袁海英 文家燕

摘 要：為獲得更為復雜的混沌同步關系，針對兩個不同分數階超混沌系統，考慮時變尺度函數矩陣和系統參數未知情形，提出一種修正函數投影同步方法.研究結合同步誤差系統，設計出同步控制器和未知參數自適應律，并采用Lyapunov穩定性理論證明同步誤差的漸進穩定性.以分數階超混沌Chen系統和分數階超混沌Lorenz系統為例，仿真結果驗證了該修改函數投影同步方法的有效性.

關鍵詞：分數階；超混沌系統；時變尺度函數；修正函數投影同步；參數估計

中圖分類號：TP273 文獻標志碼：A

0 引言

混沌同步在保密通信領域有著巨大的應用前景，自Pecora等[1]首次在電路實驗中實現混沌同步以來，其已成為非線性科學研究領域的一個熱門研究課題[2-3].投影同步是重要的混沌同步類型，其主要特點為驅動系統與響應系統間的所有狀態變量按照一定的比例關系同步[4].十幾年來，人們借鑒投影同步思想，進一步提出修正函數投影同步（MFPS）[5]，其本質是現有投影同步（PS）、修正投影同步（MPS）[6]、函數投影同步（FPS）[7]等同步方案的擴展，主要特征為驅動系統與響應系統的狀態變量同步到一個尺度函數矩陣.MFPS由于具有更為復雜的驅動系統與響應系統同步關系，且函數矩陣中的不同尺度函數因子更具不可預測性；因此可進一步提高混沌同步保密通信的抗破譯能力.

自20世紀末以來，分數階混沌系統及其同步研究受到了人們的廣泛關注.目前，以分數階混沌或超混沌系統作為對象、驅動系統與響應系統的狀態被同步至常數尺度因子的PS方法[8]，同步到定常尺度矩陣的MPS方法[9]，以及同步到尺度函數的FPS方法[10]等均有研究報道.鑒于MFPS可獲得更為復雜的同步關系，最近，文獻[11]以一類部分線性的分數階混沌系統作為驅動系統，利用驅動-響應同步原理，通過單變量耦合構造出此類系統的響應子系統，考慮時變函數矩陣作為尺度函數矩陣，并根據分數階系統的Routh-Hurwitz條件，提出一種分數階混沌系統的MFPS方法；文獻[12]以分數階和整數階的統一混沌系統分別作為驅動系統和響應系統，采用主動控制思想，結合Lyapunov函數穩定性定理，提出具有自適應特性的MFPS方法.從現有資料看，分數階混沌系統的MFPS主要采用同構系統作為研究對象，且少考慮系統參數的不確知性.

鑒于超混沌系統相比混沌系統具有更高的復雜性和不確定性；實際應用中難以獲得兩個完全相同的混沌系統，不同混沌系統間的同步更具廣泛性，利于工程實現；實際混沌系統參數完全可能不確知或是漂移的，同步系統間的參數往往會發生偏離[13].本文為增強混沌同步保密通信系統的抗破譯性能，針對兩個不同分數階超混沌系統的MFPS問題，考慮系統參數未知情形，提出一種MFPS方法.研究以顯含時間的時變函數矩陣作為尺度函數矩陣，根據主動控制思想，從同步誤差方程出發，設計出帶有系統參數分數階自適應估計律的MFPS控制器，采用Lyapunov穩定性理論證明同步誤差系統的漸進穩定性，并以分數階超混沌Chen系統和分數階超混沌Lorenz系統為例，仿真結果驗證了該同步方法的有效性.

1 分數階超混沌系統MFPS數學模型

考慮如下形式的分數階超混沌驅動系統和響應系統：

D■■x=f（x） （1）

D■■y=g（y）+u（t） （2）

式中：q∈（0，1）為分數階微分階次參數；D■■表示Caputo定義下階次為q的分數階微分算子[14]；x=（x1，x2，…，

xn）T∈ 分別為驅動系統和響應系統的狀態向量；u是待設計的同步控制器.

定義1 對于任意初始狀態的分數階超混沌系統（1）和系統（2），在u的控制作用下，滿足關系：

（3）

式中，H（t）=diag（h1（t），h2（t），…，hn（t））表示時變且可微的對角矩陣，則稱驅動系統（1）和響應系統（2）實現MFPS[15].

定義驅動系統與響應系統的同步誤差向量：

e=y-H（t）x （4）

式中， R ，且ei=yi-hi（t）xi ， （i=1， 2，…， n）.式（3）關系等價為同步誤差距離滿足關系

.

當h1（t）=h2（t）=…=hn（t）時，MFPS變為FPS；若h1（t）=h2（t）=…=hn（t）=常數，則MFPS退化為PS；當H（t）=I和H（t）=-I時，I為單位矩陣， MFPS將簡化為完全同步和反相同步情形；因此，MFPS方案作為一種廣義的同步類型，可獲得較為復雜的驅動系統與響應系統同步關系，有利于提高混沌同步通信系統的保密性能.其中，設計恰當的同步控制規律u（t）是實現MFPS的關鍵.

2 MFPS控制器設計

將式（1）和式（2）整理成如下形式：

D■■x=f1（x）+f2（x）α （5）

D■■y=g1（y）+g2（y）β+u（t） （6）

式中， 分別表示驅動系統和響應系統的參數向量； 是連續函數向量；

為連續函數矩陣.結合式（5）和式（6）可得出同步誤差系統：

D■■e（t）=D■■y-D■■[H（t）x]=g1（y）+g2（y）β-H（t）[f1（x）+f2（x）α]-[D■■H（t）]x+u（t） （7）

考慮系統參數均不確知情形，引入 分別表示驅動系統與響應系統的參數估計向量，并定義系統參數的估計誤差向量：

eα=■-α，eβ=■-β （8）

式中，eα=（ea1， ea2，…， eam）T，eβ=（eb1， eb2，…， ebl）T.

根據主動控制思想，可設計如下的同步控制器u（t）：

u（t）=-g1（y）-g2（y）■+H（t）[f1（x）+f2（x）■]+[D■■H（t）]x-Ke（t） （9）

驅動系統參數的分數階自適應估計律：

D■■■=-f■■（x）H（t）e（t）-Peα （10）

以及響應系統參數的自適應估計律：

（11）

式中：增益矩陣K=diag（k1，k2，…，kn）， P=diag（p1， p2，…， pm）和 Q=diag（q1， q2，…， ql）均為正定矩陣，即K，P和Q中的各對角元素都大于0.

定理1 對于如下形式的分數階動力學系統[16]：

D■■X=A（X）X （12）

其中： ， q∈（0，1].如果存在一個正定對稱矩陣 ，且滿足如下關系：

（13）

則系統（12）漸進穩定.

同步誤差系統的穩定性證明：

構造如下形式的標量函數：

（14）

將式（7）～式（11）代入式（14），有：

結合定理1可知，在式（9）的控制規律作用下，當t→∞時，可使得同步誤差系統（7）漸進穩定[16].

3 應用實例

3.1 實例的相關數學模型

選取分數階超混沌Chen系統[17] ：

D■■x1=a1（x2-x1）+x4D■■x2=a2x1-x1x3+a3x2D■■x3=x1x2-a4x3D■■x4=x2x3+a5x4 （15）

作為響應系統，以及采用分數階超混沌Lorenz系統建立如下響應系統[18]：

D■■y1=b1（y2-y1）+y4+u1D■■y2=b2y1-y1y3-y2+u2D■■y3=y1y2-b3y3+u3D■■y4=-y1y3+b4y4+u4 （16）

根據式（15）和式（16）可知，兩系統狀態向量分別為x=（x1， x2， x3， x4）T和y=（y1， y2， y3， y4）T；參數向量分別為α=（a1， a2， a3， a4， a5）T和β=（b1， b2， b3， b4）T；控制向量u=（u1， u2， u3， u4）T；對應的系統函數向量和矩陣形式為：

f1（x）= ， f2（x）= ，

（17）

g1（y）= ， g2（y）=

當α=（35，7，12，3，0.5）T，β=（10，28，8/3，-1）T，q=0.95時，兩分數階系統的自由運動均處超混沌狀態[17-18].利用預估-校正算法數值求解分數階系統[19]，圖1示出了分數階Chen系統和分數階Lorenz系統的超混沌吸引子.

選取時變函數矩陣H（t）為：

H（t）=diag（h1（t），h2（t），h3（t），h4（t））=diag（1+sint，1+cost，2sint，2cost） （18）

則根據式（9）設計出同步控制器數學表達式：

（19）

并分別根據式（10）和式（11），得出驅動系統的參數自適應估計律：

（20）

以及響應系統的參數自適應估計律：

（21）

3.2 實例的同步仿真結果及分析

采用MATLAB軟件仿真環境，分數階超混沌Chen系統和分數階超混沌Lorenz系統的系統參數大小，以及分數階次q的取值如前所述；兩系統的初始狀態分別為x（0）=（8， -5， 20， 10）T和y（0）=（2， 6， 9， 2）T；選取仿真積分步長0.001 s，各增益矩陣的對角元素取值（k1， k2， k3， k4）=（20，100，160，800），（p1， p2， p3， p4， p5）=（600， 80， 40， 600， 560），（q1， q2， q3， q4）=（70， 60， 640， 60），并假定系統參數的估計初值■（0）=■（0）=0.為驗證本文所提出同步方法的有效性，仿真中先讓驅動系統和響應系統自由演化4 s，使系統運動充分進入超混沌軌道狀態，然后再對分數階超混沌Lorenz響應系統施加式（19）形式的控制作用.

圖2示出了分數階超混沌Chen系統與分數階超混沌Lorenz系統間實現MFPS的狀態變化軌線.圖3是同步誤差演化圖.由圖2和圖3可見，施加同步控制作用前，響應系統和驅動系統呈現兩個完全不同的超混沌運動軌跡；在施加同步控制作用后，帶時變函數比例因子的驅動系統和響應系統間快速實現同步，且各狀態軌線滿足關系yi=Ri（t）=hi（t）xi，i=（1，2，3，4），同時同步誤差迅速為0.圖4和圖5分別給出了驅動系統和響應系統的參數估計變化曲線.由圖4和圖5明顯看出，參數的分數階自適應估計律可使得系統未知參數的估計值最終與真實值相同.這些圖示結果表明，本文基于Lyapunov穩定性理論的分數階超混沌系統MFPS方法穩定收斂且有效.

4 結語

研究提出一種系統參數未知、兩個不同分數階超混沌系統的MFPS方法.由于該同步方法的尺度矩陣是時變函數矩陣H（t），這使得分數階超混沌系統的同步關系具有更強的復雜度和不可預測性，且完全同步、反相同步、函數投影同步等均為該同步方法的特例.研究基于Lyapunov穩定性理論設計出具有未知參數分數階自適應估計律的同步控制器，并以實現分數階超混沌Chen系統和分數階超混沌Lorenz系統間的MFPS為例，仿真結果驗證了該同步方法的有效性.研究結果為探索更為復雜的混沌同步關系，提高混沌保密通信系統的抗破譯性能，提供了有用的同步方法參考.

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Abstract： In order to obtain more complex chaos synchronization relationships， considering the time-varying scaling function matrix， the paper proposes a modified function projective synchronization（MFPS） method for two different fractional-order hyperchaotic systems with unknown system parameters. The MFPS controller and fractional-order adaptive estimator of unknown system parameters are designed， and then the asymptotic stability of synchronization error system with presented controller is proved by Lyapunov stability theory. The MFPS between fractional-order hyper-chaotic Chen system and fractional-order hyper-chaotic Lorenz system is taken as a typical example， the simulation results demonstrate the effectiveness of the proposed MFPS method.

Key words： fractionalorder； hyper-chaotic system； time-varying scaling function； modified function projective synchronization； parameter estimation

（學科編輯：黎 婭）