大規模MIMO系統的貝葉斯匹配追蹤信道估計算法

勞興松 李思敏 唐智靈

摘 要：大規模MIMO技術能成倍地提高通信系統的容量和傳輸速率，但是系統性能的進一步提升會受到導頻污染的制約.采用壓縮感知進行信道估計，能夠減少導頻開銷，從而可以有效解決這一問題.為此，本文提出了基于壓縮感知的支持不可知貝葉斯匹配追蹤信道估計算法（SABMP）.仿真結果表明，在低信噪比時，該算法僅需較少的導頻開銷就能達到較低的誤碼率（BER）及歸一化均方誤差（NMSE）性能，提高頻譜效率.

關鍵詞：大規模MIMO；信道估計；壓縮感知；SABMP

中圖分類號：TN913 文獻標志碼：A

0 引言

MIMO技術（multiple input multiple output）被認為是提高信息傳輸速率的一種有效方法，并已在4G系統中得到廣泛應用.為了應對未來傳輸速率和系統容量等方面的性能挑戰，進一步增加天線數量將是MIMO技術繼續演進的主要發展方向[1]，即大規模MIMO技術（Massive MIMO）被認為是5G通信系統的一項核心技術[2-4].

盡管大規模MIMO具有巨大的優勢，但是與傳統MIMO相比較還有一些亟待解決的難題.當前，國內外關于大規模MIMO的研究主要在信道建模、信道估計、信號檢測等方面.移動通信中的無線傳輸信道是時變、多徑、衰落的，因此信源經信道會使數據失真，由于障礙物的存在，信號強度減弱.接收端為了正確接收、恢復發送的數據，需要對信道的衰落影響進行合理的補償，這就需要在接收端使用信道估計來獲得信道衰落信息.在大規模MIMO系統中，信道狀態信息大大增多對信道估計的計算復雜度提出了更高的要求；并且，不同于傳統的MIMO系統，導頻污染問題是大規模MIMO系統性能提升的限制因素；因此，如何有效消除導頻污染，是未來需要研究解決的關鍵問題之一.

當前，大多數學者主要研究多小區聯合信道估計機制[5-7].這種信道估計機制雖然能減輕導頻污染，但是計算步驟較多，不便于硬件實現.值得注意的是，大規模MIMO系統的無線信道具有稀疏特性，可以考慮采用壓縮感知（compress sensing， CS）.為此，本文提出一種基于壓縮感知的貝葉斯信道估計算法，即支持不可知的貝葉斯匹配追蹤算法（Support Agnostic Bayesian Matching Pursuit），對信號進行重構，僅使用較少的導頻開銷就能夠達到信道估計的目的.2004年，Donoho等[8]提出了壓縮感知的理論，該理論能夠從有限的采樣值中有效地重構出稀疏信號，證明了只要信號是可壓縮的或者在某個域是稀疏的，則可以通過某一合適的觀測矩陣將高維矩陣投影到低維空間上，然后通過求解最優化問題從少量的觀測值中高概率地重構出原信號.壓縮感知理論一提出，就在生物傳感、醫學成像[9-10]、無線通信、模式識別等領域受到高度關注.因此，將壓縮感知技術應用于大規模MIMO系統的信道是一種很有潛力的方法，文獻[11-13]也對這一方向進行了研究，提出了不同的信道估計算法，這些結果均表明，采用壓縮感知進行信道估計，可以很大程度上減少需要的導頻數目，減輕導頻污染，不僅可以提高頻譜效率，而且能夠提升系統容量，從而發揮大規模MIMO的優勢.

1 系統模型

1.1 傳輸模型

考慮一個如圖1所示的MIMO-OFDM（multiple input multiple output-orthogonal frequency division multiplexing）系統，基站配備有一個由R=M×G根天線組成的大規模二維天線陣列.基站服務于若干單天線終端，采用OFDM作為信號機制.在一個OFDM系統中，連續輸入的串行比特流被分成N個并行比特流并映射到一個Q進制的QAM字母表（星座圖）{A1，A2，…，AQ}上，然后得到一個 N維的數據向量X=[X（1），X（2），…，X（N）]T，其等價的時域信號通過對X進行傅里葉反變換得到：

x=FHX （1）

其中：F是N×N的離散傅里葉變換（DFT）矩陣，F的第k行l列的元素為：

fk，l=■exp-j■kl （2）

在每個OFDM符號前插入循環前綴（CP），然后將信號發送.

1.2 信道模型

大多數無線信道都可以建模為具有很大的時延擴展、很少的有效路徑（由稀疏分布在空間中的散射體引起）的離散多徑信道.這導致信道沖激響應（CIR）具有稀疏特性[14-15]；因此，對于每一個發送接收鏈路，只需要估計少數有效路徑的信道增益，這樣有可能大幅減少導頻開銷.

性質1 信道沖激響應是稀疏的.

用 表示一個典型的單天線用戶和基站接收天線r=（m，g）之間的CIR，其中m∈{1，2，…，M}，

g∈{1，2，…，G}，如圖2所示.根據文獻[16]，假設 是稀疏的，寫成：

（3）

⊙表示元素與元素相乘.向量 的分布可以是高斯的也可以是非高斯的，甚至于其分布也可以是未知的，且 的系數不需要服從獨立同分布，即信道系數是不可知的.向量 是伯努利隨機向量，其元素相互獨立，服從分布[16]：

（4）

也就是說， 的元素是相互獨立（且有可能非恒等分布）的伯努利隨機變量集，因此， 是一個L抽頭的離散時間稀疏信道，不對其非零復值系數的分布做任何假設.

第r根天線接收到的頻域信號可以表示為：

（5）

其中， 通過移除接收到的時域信號的循環前綴并左乘傅里葉矩陣F得到. 是N×1的頻域噪聲向量， 是N×1的信道頻率響應向量.

（6）

F是N×L的截斷傅里葉變換矩陣，通過選取F的前L列得到.根據式（6），可以把式（5）重寫成：

（7）

其中，A=diag（X）F 是一個N×L矩陣.

1.3 空間信道模型

Massive MIMO系統的大數量天線有很不同的結構形式，如線性排列、矩形排列和圓柱形排列等.雖然SABMP算法能夠應用在上述任意的結構中，但在本文中為方便分析，選取均勻矩形陣列.

在Massive MIMO系統中，假設天線陣列中的某一天線元和它周圍的天線元接收到不同散射體的相同反射波，因此該天線陣列對應的信道擁有共同的支持.特別地，某一波前到達兩根距離為d的天線的時間差△？子滿足△？子≤■，C為光速.文獻[17]提出，如果波前到達時差△？子滿足△？子>■，B為信號帶寬，則信道抽頭是可解析的，用dmax表示天線陣列中距離最遠的兩根天線之間的距離（dmax是一個天線間距d和天線陣列中的天線數量之間的函數）.綜上所述，天線陣列會表現出以下兩種情況中的一種：

1）若■≤■，則天線陣列關于信道沖激響應支持是空間不變的.所有的 擁有相同的稀疏圖案，這意味著信道抽頭的幅度也許會不同，但是最明顯的抽頭的位置是不變的.對于間距較小的天線元，盡管信道路徑幅度和相位有可能不同，但由于波前到達的時間間隔很小，所以得到這一假設.不同的天線單元會收到不同散射體的幾乎相同的反射波.換句話說，天線陣列中的所有天線元對應的信道的支持不會改變，只是信道抽頭的長度會有所不同，如圖3所示.這樣的陣列為空間不變陣列（Space-Invariant Array，SIA）.

2）若■>■，則天線陣列關于信道沖激響應支持是空間變化的.在這種情況下，通過天線陣列的信道支持是變化的.注意到信道支持的變化很緩慢，所以可以假設以下性質總是有效的.

性質2 任意位于中心位置的天線和它相鄰的4根天線擁有近似相同的支持[17].

圖4展示了這種情況下相鄰的天線擁有近似相同的信道支持，這樣的陣列為空間變化陣列（Space-Variant Array，SVA）.

1.4 導頻

信道估計需要用到導頻，發射機保留K個子載波用來發送導頻，用剩下的N-K個子載波發送數據.用P表示一組導頻載波，根據式（7），基站天線r接收到的導頻為：

（8）

其中， 和 是K×1的向量，分別從 中選取K個元素根據P進行編排得到.類似的，A（P）是一個K×L矩陣，選取A的行元素并根據P進行編排得到.要根據式（8）求出 ，顯然需要導頻長度至少等于信道時延擴展，即K≥L，這會對系統的頻譜效率造成影響，于是，根據壓縮感知理論[8，18]，可以利用信道的稀疏性質及相鄰天線元擁有近似相同的支持這一實際情況（即性質1和性質2）充分減少信道估計中需要使用的導頻數量.多用戶MIMO系統上行鏈路幀結構如圖5所示.

不少學者已經對OFDM信道估計提出了不同的導頻放置方案.在傳統的OFDM信道估計中，最好的分配方案是把導頻均勻的插入載波中，但是這種方案沒有利用到信道的稀疏特性[19-21]，當信道是稀疏的時候，最優的分配方案是把導頻隨機插入載波中[22-23].

2 分布不可知的貝葉斯匹配追蹤信道估計算法

考慮線性回歸模型（8），為了方便起見，去掉上標r和符號P，于是模型（8）可以寫成：

Y=Ah+W （9）

其中，Y和W是K×1的向量，h是L×1的向量，A是K×L的矩陣.采用貝葉斯估計獲得信道沖激響應h.貝葉斯方法假設一個先驗分布已知，然而考慮到無線信道的動態性質，通常不可能得到其分布特征.此外，這樣的假設并不能反映出實際信道的情況，從而導致估計性能退化.即使已知先驗分布，仍然很難估計分布的參數，例如高斯均值及方差，尤其在信道統計學特性不是獨立同分布的時候.而采用分布不可知的貝葉斯稀疏信號恢復（SABMP）算法[24-25]能夠有效解決這一問題，即使先驗分布未知或不是高斯分布的，它也能給出貝葉斯估計值.

本文的信道估計算法根據文獻[24-25]提出的支持不可知的貝葉斯匹配追蹤算法（SABMP），結合無線信道的性質，對其進行改進.

為了從式（9）的線性回歸模型的K×1維觀測向量Y中估計出L×1維的稀疏信道h，SABMP在已知Y的條件下追蹤h的最小均方誤差（MMSE）估計，在形式上定義為：

（10）

這里的求和遍及h的全部可能的2L個支持集.但是，當信道時延擴展L很大的時候，支持集會變得非常大，相應的計算復雜度也會變得很大，此時求和將會變得相當困難.為了求得計算上的可行解，只考慮那些以大概率包含最有效抽頭的支持集，進而得到近似的和.這些數量較少的支持以后驗概率p（S/Y）構成有效支持集.令Sd為有效支持集，式（10）可以寫成：

■AMMSE=■p（S│Y ）E[h│Y，S] （11）

因為■p（S│Y ）<1導致式（11）的估計結果為有偏估計，為了得到無偏估計，對p（S│Y ）作歸一化處理，于是■p（S│Y ）=1.所以式（11）近似等于式（10）.通過貪婪算法確定Sd和■AMMSE，選取的有效支持選擇度量定義為對數后驗：

（12）

SABMP的貪婪算法：Step1尋找樣本容量為1的最優支持[24].比較S={1}，…，{L}對應的每一個v（S）的大小，也就是總共L1個搜索點.令S1={α1}是樣本容量為1的最優支持；Step2尋找樣本容量為2的最優支持，需要搜索大小為L2的搜索空間.為了減小搜索空間，貪婪算法尋找的抽頭位置滿足α1≠α2，使S2={α1，α2}中v（S2）取得最大值.與最優搜索需要搜索L2個搜索點相反，這樣做只需要搜索L-1 1個搜索點.以此類推，Step3尋找S3={α1，α2，α3}等等，最后，得到有效支持集：

Sd ={S1，S2，…，STmax}，

Sd ={{α1}，{α1，α2}，…，{α1，α2，…，αTmax}} （13）

其中，Tmax是稀疏信道沖激響應h中非零元素的最大數目，根據Moivre-Laplace定理，Tmax的選取應比估計得到的CIR中的有效抽頭數略大[20].表1是貪婪算法的一個運行例子，該例子中L=7，Tmax=4 .

SABMP算法假設h的抽頭以等概率λ激發（例如概率為λ的伯努利獨立同分布），然而，根據實際的信道情況，考慮到某些抽頭激發的可能性大于其他抽頭；因此可以設定這些抽頭的激發概率更大.假設未知信道h滿足獨立非恒等伯努利分布，先驗概率為：

p（S）=■λi （1-λj） （14）

其中：λi是h的第i個抽頭的激發概率.此外，似然函數近似為：

（15）

其中：PS*=I-PS=I-AS（ASHAS）-1ASH是投影矩陣，AS是選取A的列元素根據支持S編排得到的矩陣.把式（14）和式（15）代入式（12）得到：

（16）

于是，式（11）中僅剩E[h│Y ，S]未知.需要注意的是，由于h的激發抽頭的分布未知，所以很難甚至不可能求得E[h│Y ，S]；故考慮采用最優線性無偏估計（BLUE）替代：

（17）

這樣就得到了計算■AMMSE所需的所有未知量，而包括σw2， 以及支持集的可能大小Tmax不需要事先知道，可以通過SABMP算法估計得到.特別地，令λi初始化為：

（18）

其中，aj是矩陣A的第j列. 簡單地初始化為接收信號均方誤差的測量值，如 .

每個天線單元根據上述貪婪算法和式（11）在分布不可知的條件下估計各自對應的近似稀疏信道沖激響應，貪婪算法及SABMP算法的步驟分別如表2所示.

3 仿真結果及分析

仿真場景主要考慮單小區場景，其中基站天線數分別為25，64和100，均為矩形排列，用戶終端數均為1，形成5×5，8×8和10×10的大規模MIMO系統；通信信道為瑞利平坦衰落；OFDM子載波數N=256，信道長度L=64，信道稀疏度n=3，天線陣列為SIA.仿真目的為比較SABMP算法在不同信噪比、接收天線數及導頻長度條件下的誤碼率（BER）及歸一化均方誤差（NMSE）性能.

圖6和圖7分別展示的是SABMP在不同天線數及不同信噪比下的誤碼率及歸一化均方誤差性能比較.導頻長度統一選為8，調制方式選用4 QAM.由圖6可以看出，隨著天線陣列變大，SABMP在低信噪比情況下的BER性能逐漸變差，但性能改善的速率很快，在信噪比大于13 dB以后，趨于一個近似相同的較低的BER，圖7的NMSE性能也反應出同樣的結果，在13 dB以后NMSE趨近于0.這表明由于天線數量巨大，SABMP在低信噪比的環境下性能較差，但算法收斂速度較快，很快就能得到實際信道的估計值，且誤差很小.

圖8和圖9分別展示的是SABMP在不同導頻長度及不同信噪比下的BER及NMSE性能比較.此時選取天線陣列為5×5，調制方式為4 QAM.由圖8可知，在信噪比為10 dB時，導頻長度為8的SABMP就已經能夠得到接近實際信道的BER，且收斂速度很快.信道估計時使用的導頻越長，估計結果越精確，但是由圖5可知，導頻也要占用頻譜資源，導頻長度（符號數）越長，用來發送有效數據的頻譜就越少，所以傳輸效率（每一子幀的數據符號數與總符號數的百分比）也越低.由圖9可以看出，信噪比為10 dB時，SABMP算法在導頻長度為8時的NMSE已經趨近于0，曲線與導頻長度為16時（傳輸效率為75%）基本重合，而數據傳輸效率達到87.5%.

綜上所述，SABMP算法收斂速度較快，僅需要較少的導頻開銷就能得到精確度很高的估計結果，不僅提高了數據傳輸效率，由于減少了對導頻的依賴，還能減輕導頻污染，提升系統性能.

4 結論

針對大規模MIMO系統信道估計導頻開銷大的問題，本文提出一種基于壓縮感知的信道估計算法——支持不可知的貝葉斯匹配追蹤算法（SABMP），解決導頻開銷大的難題.該算法利用大規模MIMO信道的稀疏性，通過壓縮感知的方式，對信道沖激響應進行估計，具有計算復雜度低、結果較精確的特點.通過建模仿真的方法，對該算法進行了驗證.仿真結果比較了不同信噪比、天線數及導頻長度等多種情況下的BER及NMSE性能，結果表明該算法在大規模MIMO系統信道估計中收斂速度較快，僅需要較少的導頻開銷就能得到精確度很高的估計結果，不僅提高了數據傳輸效率，還能減輕導頻污染，提升系統性能，具有一定的工程應用價值.

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Abstract：Massive MIMO technology can multiply the system capacity and data transfer rate. However， the pilot contamination is a limiting factor for the performance improvement of massive MIMO system. Adopting compressed sensing for channel estimation can reduce pilot overhead and solve this problem effectively. In this respect， a channel estimation algorithm based on compressed sensing called support agnostic Bayesian matching pursuit （SABMP） was proposed. Simulation results showed that this algorithm can achieve good bit error rate （BER） and normalized mean squared error （NMSE） performance with fewer pilot overhead in low SNR scenario， which can improve spectral efficiency.

Key words： massive MIMO； channel estimation； compressed sensing； SABMP

（學科編輯：張玉鳳）