脈沖隨機Cohen—Grossberg神經網絡的幾乎必然指數穩定性

孫云霞 程培 李殿強 尚蕾

摘 要：研究帶有脈沖的隨機Cohen-Grossberg神經網絡的幾乎必然指數穩定性問題， 基于Lyapunov穩定性理論，利用隨機分析技巧和線性矩陣不等式工具，得到系統基于矩陣不等式的幾乎必然指數穩定性充分條件， 并通過一個例子來驗證結論的有效性.

關鍵詞：Cohen-Grossberg神經網絡；脈沖；線性矩陣不等式；Lyapunov函數；幾乎必然指數穩定

中圖分類號：O231 文獻標志碼：A

0 引言

Cohen-Grossberg神經網絡（簡稱CGNN）是由Cohen等[1]于1983年首次提出的一種神經網絡模型，它包括種群生物學、神經生物學、進化理論等學科中許多著名模型作為其特例. 作為一類廣義的神經網絡模型，CGNN模型在模式識別、系統辨識、信號處理、圖像處理、最優化、機器學習以及控制等方面都有廣泛的應用.

在實際神經網絡中，突觸之間信息的傳遞往往會受到由神經遞質或其它隨機因素的釋放而導致的隨機噪聲的影響. 隨機噪聲的存在可能使得神經網絡產生振蕩行為或其它失穩現象甚至出現混沌現象，從而影響神經網絡的整體性能[2]. 另外， 在電子網絡的運行過程中，其狀態可能會受到由切換、頻率變化或其它突發噪聲引起的瞬時擾動，從而在特定時刻經歷瞬時突變，這種瞬時突變現象稱為脈沖擾動. 近年來， 神經網絡[3-4]、隨機CGNN[5-9]以及帶有脈沖的隨機CGNN [10-12]的穩定性問題吸引了大批學者的關注，并取得了很多的研究成果. 但是，目前關于帶有脈沖的隨機CGNN穩定性方面的研究主要都集中于均方穩定性分析方面，而關于幾乎必然（a.s.）指數穩定性方面的研究結果不多見.

本文將基于Lyapunov穩定性理論，利用It？觝公式、指數鞅不等式和Borel-Cantelli 引理等隨機分析技巧，結合線性矩陣不等式（LMI）工具，研究帶有脈沖的隨機CGNN的幾乎必然指數穩定性，建立系統幾乎必然指數穩定的充分條件，并通過一個數值例子及仿真模擬來驗證所獲結果的有效性.

1 準備知識

本文采用以下記號：記（Ω，{Ft}t≥0，P）為帶有σ代數流{Ft}t≥0的完備概率空間，w（t）=（w1（t），…，wm（t））T為定義于該空間上的m維標準布朗運動，N為正整數集，Rn為n維歐氏空間，Rn×m為n×m實矩陣，I為合適維數的單位矩陣，符號diag表示對角矩陣.上標T表示向量或矩陣的轉置，符號*表示矩陣中由對稱性得到的元素.

考慮帶有脈沖的隨機CGNN：

dx（t）=-a（x（t））[b（x（t））-Ag（x（t））]dt+σ（x（t））dw（t），t≠tkx（tk）= （1）

其中：x（t）=[x1（t），…，xn（t）]T為n維神經元狀態向量，矩陣a（x（t））=diag（a1（x1（t）），…，an（xn（t）））為放大函數，b（x（t））=

[b1（x1（t）），…，bn（xn（t））]T為神經元形為函數，A∈Rn×n為連接權矩陣，g（x（t））=[g1（x1（t）），…，gn（xn（t））]T為神經元激勵函

數，σ（x（t））∈Rn×m為噪聲強度矩陣函數.x（tk）= 表示系統在脈沖時刻tk的狀態跳變，Ck為脈沖強度矩陣. 假設脈沖時刻tk滿足0=t0假設1 存在正常數hi和li（i=1，2，…，n），使得：0

證：由假設1可知，函數a（x（t））滿足：

a（x（t））·a（x（t））≤l2I

線性矩陣不等式（3）兩邊分別乘以diag（a（x（t））， I）得：

Φ=-2hQ△+γD-（k0-■-α）Q a（x（t））QA+a（x（t））K？撰 * -2h？撰<0 （7）

定義Lyapunov函數V（x（t））=xT（t）Qx（t）. 由系統（1）的第二個方程及不等式（6）可知：

（8）

對任意t≠tk， 由It？觝公式可得：

dV（x（t））=LV（x（t））dt+HV（x（t））dw（t） （9）

其中：

LV（x（t））=-2xT（t）Qa（x（t））[b（x（t））-Ag（x（t））]+trace[σT（x（t））Qσ（x（t））]≤

-2xT（t）Qa（x（t））b（x（t））+2xT（t）a（x（t））QAg（x（t））+γxT（t）Dx（t），

HV（x（t））=2xT（t）Qσ（x（t））.

由假設3知：

-■λiai（xi（t））gi（xi（t））（gi（xi（t））-kixi）≥0 （10）

由假設1和假設2知：

-2xT（t）Qa（x（t））b（x（t））≤-2hxT（t）Q△x（t） （11）

將式（10）和式（11）代入式（9）可得：

LV（x（t））≤xT（t）-2hQ△+γD-（k0-■-α）Qx（t）+2xT（t）a（x（t））QAg（x（t））-

2■λiai（xi（t））gi（xi（t））（gi（xi（t））-kixi）+（k0-■-α）xT（t）Qx（t）≤ξT（t）Φξ（t）+（k0-■-α）V（x（t）），

其中：ξT（t）=[xT（t）， gT（x（t））].

由Φ<0， 知：

LV（x（t））≤（k0-■-α）V（x（t）） （12）

由式（5）知：

HV（x（t））■=2xT（t）Qσ（x（t））■=4xT（t）Qσ（x（t））■≥2k0V2（x（t）） （13）

對任意t∈[tk-1， tk）， k∈N，由It？觝公式可得：

lnV（x（t））=lnV（x（tk-1））+■■ds-■■■ds+■■dw（s） （14）

對于t=tk，由式（8）可知：

（15）

因此，對于任意t≥t0， 由式（12）～式（15）并利用迭代技巧可得：

lnV（x（t））≤lnV（x0）+■lnμ+（k0-■-α）（t-t0）-■■■ds+M（t） （16）

其中：

M（t）=■■dw（s）

是一個連續鞅并且滿足初值M（t0）=0， 其二次變差過程=■■ds.

任意取定ε∈（0，1），由指數鞅不等式，對k∈N

由Borel-Cantelli 引理可得對幾乎所有的樣本點ω∈Ω，都存在一個整數k0=k0（ω），當k≥k0時有：

因此，對任意t0≤t≤k都有：

M（t）≤■lnk+■

證：由假設1及式（23）知

Φ1=-2hQ△+BTQB-（k0-■-α）Q a（x（t））QA+a（x（t））K？撰 * -2h？撰<0.

定義Lyapunov函數V（x（t））=xT（t）Qx（t）. 由條件（24）可知：

對任意t≠tk，由It？觝公式可得：

dV（x（t））=LV（x（t））dt+HV（x（t））dw（t），

其中：

2■λiai（xi（t））gi（xi（t））（gi（xi（t））-kixi）+（k0-■-α）xT（t）Qx（t）≤ξ1T（t）Φ1ξ1（t）+（k0-■-α）V（x（t）），

. 由Φ1<0，知：

LV（x（t））≤（k0-■-α）V（x（t））

由式（25）知：

以下證明過程與定理1相同，故省略. 證畢.

3 數值例子

考慮如下脈沖隨機CGNN：

dx（t）=-a（x（t））[b（x（t））-Ag（x（t））]dt+σ（x（t））dw（t）， t≠tkx（tk）=Cx（tk-），k∈N （26）

其中，a（x（t））=3+sinx1（t） 0 0 3+sinx2（t），b（x（t））=2x1（t）2x2（t），A=1 00 1，σ（x（t））=4x1（t）4x2（t），g（x（t））=tanh（x1（t））tanh（x2（t）），C=1.2I，

tk=0.1k.

通過簡單計算可選取：

h=2， l=4， k0=32， Δ=diag（2，1）， K=0.5I， D=16I.

令ρ=0.386 7， α=0.01， 利用MATLAB工具箱求解可得滿足線性矩陣不等式（3）和式（4）的可行解：

γ=25.930 3， Q=19.212 3 0 0 20.443 3，？撰=11.943 5 0 0 12.922 3.

由脈沖強度矩陣C=1.2I知，脈沖對網絡的穩定性起擾動作用，選取μ=1.44，則矩陣不等式（6）成立.

由定理1知神經網絡（26） 在lmin（0.386 7）上一致幾乎必然指數穩定. 選取脈沖時間間隔tk-tk-1=0.4， 初始值x0=[0.5， 0.1]T，神經網絡（26）的單個樣本軌跡如圖1所示：

4 結論

本文對一類隨機脈沖Cohen-Grossberg神經網絡的幾乎必然指數穩定性進行了研究.通過選取適當的Lyapunov函數和利用線性矩陣不等式工具，得到判定其幾乎必然指數穩定的充分性條件.最后，通過一個數值例子和仿真模擬驗證了結論的有效性.

參考文獻

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Abstract： This paper focuses on the analysis of almost sure exponential stability of stochastic Cohen-Grossberg neural networks with impulse. Based on the Lyapunov stability theory， by using some stochastic analysis techniques and linear matrix inequality tool， we establish a set of sufficient conditions of almost sure exponential stability of system in terms of matrix inequalities. Finally， we give a numerical example to illustrate the effectiveness of the results obtained.

Key words： Cohen-Grossberg neural networks； impulse； linear matrix inequality； Lyapunov function； almost sure exponential stability

（學科編輯：張玉鳳）