關于橢球區域面積計算問題的討論

呂朋一

摘 要：目前關于橢球區域面積的計算都是采用邊界點高斯平面坐標進行，由于高斯投影為等角投影存在面積變形，因而所計算的面積和實際面積有一定差距。橢球面上的不規則面積計算則顯得尤為復雜困難。文章討論顧及地球曲率的面積計算方法，轉換為采用等面積投影的方法，采用平面坐標面積計算，對不規則橢球區域面積計算方法進行討論。

關鍵詞：橢球規則梯形計算；等面積投影；高斯投影；等角投影；高斯正反算

1 概述

目前橢球面面積的計算都是采用邊界線的高斯平面坐標進行，沒有考慮地球曲率。由于高斯投影存在面積變形，雖然單宗土地面積變形不大，但是全省、全國大面積統計，則影響不可忽視，因此精確計算橢球面區域面積，是國土部門亟待解決的問題。目前提出的方法多種多樣，如利用傅立葉級數快速轉化實現面積計算、利用freeman鏈碼矢量分析對邊界進行綜合處理獲取邊界像素坐標加權求和，求得面積等方法。上述的方法，最終并沒有成為解決橢球面區域計算的方法。

橢球梯形是橢球面上唯一能直接計算出準確面積的圖形，它是由兩條子午線和兩條平行圈圍成的梯形表面。但事實生產工作中并不會簡單的計算梯形面積，而是需要對不規則的圖形進行計算。本文希望能通過對簡單投影方法的運用，得到區域面積的計算簡便方法，并利用橢球梯形作為實際面積進行檢驗。利用等面積投影特有的投影后面積不變的特點和高斯投影直接利用坐標計算面積的方式，將不規則橢球區域坐標轉化為等面積投影和高斯投影坐標，再用平面面積計算公式計算不規則區域。通過具體數據比較高斯投影與等面積的投影轉化方法能否解決不規則區域面積計算，并用橢球梯形面積進行檢驗。

2 橢球面積計算方法

2.1 規則梯形面積計算

地球為一個不規則的球體，廣大區域上遍布著江河，湖海，高山，盆地，低洼，峽谷等等，因此地球上區域的面積計算就變得很困難，此時需要引入一個類地球的橢球，這個橢球的目的主要是為了方便地球表面上的測量計算工作。這個數學模型為規則的，它非常接近大地體并用來替代大地體。我國的參考橢球經歷了幾代更迭，從1952年前的海福特橢球，至1953年開始使用克拉索夫斯基橢球，1978年則使用75國際橢球，通過75橢球的基礎數據建立了我國自己的80坐標系，現在國家正在大力推行CGS2000坐標。

參考橢球雖然替代了大地體，但對于它上面的不規則區域面積計算仍然沒有簡單有效的解決辦法。雖說不規則的區域無法準確計算，但對于橢球梯形，通過微分、積分的方式能夠計算其面積，并總結得出以下公式：

公式中的xy，需要先經過（x，y）高斯投影→（L，B）大地坐標→（x，y）等面積投影來進行轉換，得到等面積投影的橫縱坐標。其中的S是一弧度對應的緯差B所構成的梯形面積。

3 不規則區域面積計算方法的討論

3.1 規則區域面積計算

3.1.1 高斯投影面積計算分析

由于高斯投影需要控制投影變形，就必須控制投影區域的范圍。面積計算受到分帶、形變等的影響，但是其方法簡便，直接利用平面坐標計算的方法，依然有可取之處。通過以下數據說明高斯投影與實際面積的差距。

表1中的數據取自不同經度差，不同大小的梯形。是為了能得到隨機數據，通過上表可以看出，在利用高斯投影直接進行梯形計算時絕對誤差較大，得到的相對誤差較等面積投影的相對誤差明顯偏大。根據上表中當經度差等于一度時數據可以看出，實際面積和高斯面積相差很大達到425440平方米，這個誤差相當于59個足球場的面積。這個面積差相當明顯不能忽視。當經度差減小時，實際面積和高斯面積之間的差值在不斷減少，但是這個數據僅僅是對梯形面積進行的比較，還未對不規則圖形進行分析。由于高斯投影面積變形與計算區域的中央子午線距離有關，而針對論文中討論的用梯形作為實際面積的參考物，經度差也就決定了實際面積與投影面積的關系，利用高斯投影做標準梯形的替代情況下，在經度差很小（如表面積相當于121公頃）甚至面積更小的情況下，獲得相對誤差數量級在E-07這個級別。

3.1.2 等面積投影分析

由方案一可知單獨考慮用高斯投影來解決不規則區域面積的計算，不太可行。考慮到等面積投影雖角度長度都有變形，但整體面積投影后沒有發生變化，這正是解決區域面積計算的理想方法，利用等面積投影的方法，理論上能夠避免不規則區域面積計算的轉換損失。將橢球梯形面積與等面積投影面積進行比較可以得到如下數據（Dc距中央子午線距離，De距赤道距離，δ相對誤差，△B經度差）。

通過與橢球梯形對比，由上表可以看出：

隨離中央子午線距離越遠，橢球梯形面積與等面積投影面積并無明顯差異，距離中央子午線遠近，不會決定面積的大小變化。

對于同樣的橢球梯形，面積不會隨經度變化而變換，當緯度變化時，面積會以減函數的性質變化。

經度差的大小可以看作是梯形面積的大小，由表中可知，面積越大計算出來的絕對誤差就會越大，相對誤差應該基本保持在一個水平內不變化（表4的梯形起始最小經緯度分別為L=0°，B=10°）

3.1.3 高斯投影加入改正數后面積計算分析

由第1種方法看，高斯投影在橢球梯形面積越小的情況下，計算面積絕對誤差較小，但是這種誤差依然無法忽視，能不能通過加入改正數的形式，修正這種誤差。由高斯投影的性質不難看出，以中央子午線作為標準線的高斯投影，在中央子午線處面積變形很小，但當遠離子午線時，這種形變成曲線上升，呈現出以中央子午線為最低點的開口向上的函數圖形。下圖為大致函數圖像：

圖1中趨勢可以看出，高斯投影的面積可以通過函數的形式呈現，那么利用函數的方式能夠獲取改正數，引入高斯投影改正數，從而減小或消除投影時與實際面積的誤差。利用最小二乘原理，對上圖中的拋物線進行分析擬合，將橢球面積假設為S而高斯投影后的平面坐標面積設為s，它們存在著K=S/s的函數關系，結合1、2中和大量的計算數據通過多組方程得到

K=0.999999888-2.46E-14ym （5）

這個K正是改正數。由此改正數加入高斯投影改正得到如下表所示的數據：（？駐B經度差，St為橢球面積，Sg高斯面積，Kg高斯改正，δ前改正前相對誤差，δ后改正后相對誤差）

從表5可以看出在經過高斯改正后，相對誤差和絕對誤差明顯減小了一個數量級更加接近實際面積，表明在進行高斯投影時可以引入高斯投影改正來進行梯形面積的計算以達到實際面積。

3.1.4 簡單規則圖形投影分析

從上面三種方法的數據表來看，對于簡單梯形來說，當梯形面積小時，等面積投影和高斯投影面積的相對誤差都在很小的范圍，但是等面積由于理論上投影時只發生了角度和長度變形，面積并沒有發生變形，梯形面積小時等面積投影的相對誤差在E-09左右（及構成的梯形的經度差在幾秒時），這個誤差范圍可以忽略。由此可以得出，對于有兩條經緯線相交的橢球梯形，利用等面積投影可以較準確得出橢球梯形的實際面積，這種方法直觀，容易被理解，經過簡單的坐標轉換就可以得出，可以采用。同樣的利用高斯投影改正后計算面積的方法，也能得到比較準確的實際面積，相比之下這種方法甚至省略了高斯的正反算和等面積投影轉換，直接利用平面坐標計算面積，更簡單直接，容易實施。第1、3兩種方法針對橢球梯形情況下都能得到較準確的實際面積，但各有利弊。

3.2 不規則區域面積計算

3.2.1 等面積投影方法

等面積投影的步驟是首先要將高斯投影后的坐標利用公式：

轉換為等面積投影坐標。在程序設計中首先采集的是大地坐標，在通過高斯反算推出平面坐標，再完成上述投影步驟。數據的采集有以下幾種類型，這幾種類型也是便于對結論進行全面比較的。每組比較采用兩個圖形進行對比（圖例中用長方形表示梯形）。

（1）由相同經度差橢球梯形組成

由表6可以得出如下結論：當不規則區域由面積較大（面積在幾千公頃或幾萬公頃以上）的橢球梯形組成，相對誤差較大，通常構成的梯形經度差為分（如表面積相當于110804公頃時）時，其相對誤差數量級在E-05左右，而當經度差越小時為秒（如表面積相當于331公頃）時，其相對誤差的數量級為E-09左右，這時的實際面積與等面積投影面積基本相等，誤差在厘米左右。

（2） 相同經度，不同緯度的不規則區域

圖6、7均表示不同緯度相同經度情況下的相同形狀的不規則圖形，由表中數據可以得到以下結論：經度相同的相同形狀的圖形，在不同緯度時具有不同的面積大小，并且緯度越大圖形面積反而越小。

（3）相同緯度不同經度（距中央子午線遠近）

圖形由經度差不同的梯形組成，它們的起始經度分別為0°和0°40′10″。

比較數據如表9所示（見圖9）：

由表9得到了如下結論：中央子午線遠近不影響等面積投影計算的面積，其面積基本屬于一個定值，變化很小可以忽略不計。

3.2.2 高斯投影改正法

高斯投影改正是在計算出平面坐標面積的情況下加以改正。下面是高斯投影的幾種情況及數據分析：

（1）圖形由同等大小的梯形組成

如等面積投影中的圖3、4、5，它們分別為經度差為5′、10′、25″的梯形組成不規則圖形，有以下數據：

由表10可以得到如下結論：不規則區域越大的圖形，其相對誤差也相對變大，當單個梯形的經度差為分（面積相當于24929公頃）時其相對誤差為E-05左右，當為秒（如表面積相當于331公頃）時相對誤差明顯變小為E-08左右。同時與等面積投影相對誤差相比，等面積投影與高斯投影改正的面積基本在同一數量級。

（2）緯度相同經度不同

如等面積投影中的圖6、圖7，它們分別為起始緯度為35°、45°10′和45°40′10″、20°50′10″，下面將以兩個表分別說明圖6和圖7，在高斯投影改正中的情況：

由上面兩個表可以得出如下結論：當經度相同時相同圖形緯度不同面積不同，并且緯度越高所得到的圖形面積越小。同時從表中還可以看出，相比于等面積投影，高斯投影改正計算的面積相對誤差要大一些。

（3）距離中央子午線遠近對面積的影響

如等面積投影中的圖8所展示的圖形，起始的經度分別為0°和0°40′10″，它們的緯度相同，經度發生變化，經度的變化相當于距離中央子午線的遠近發生變化，下面是高斯投影改正后的面積受中央子午線的影響情況：

由表13所示，高斯投影改正面積基本不受距離中央子午線的遠近的影響，同時在這種情況下，高斯投影改正后的面積和等面積投影面積基本差不多。

4 結束語

對于大范圍的橢球不規則區域的面積計算，與之前章節所分析的一樣，由于等面積投影和等角投影一樣，都是微分概念，面積越大，形變會增大，如等面積投影中例子來說，當面積達到110804公頃（經度差為10′起始緯度為35°）時，其與實際面積相對誤差為E-05這個數量級。而當面積變為331公頃（經度差為25″起始緯度為35°）時，其與實際面積相對誤差為E-09這個數量級。由此可以看出當面積如上述達到幾萬公頃這個級別時，可以說這樣的大面積在計算不規則區域時相對誤差很大，不太適合進行等面積。但對于小范圍如幾百公頃面積時的計算本文得到如下的結論：

（1）相同經度差組成的不規則圖形，當實際面積為110804公頃（經度差為10′起始緯度為35°）時，等面積高斯投影得到面積，與實際面積有明顯差距，通常相對誤差達到E-05左右，并且等面積投影精度略高于高斯投影改正后的面積。當面積變為331公頃（經度差為25″起始緯度為35°）時，等面積投影與高斯投影改正后的面積與實際面積明顯縮小，相對誤差在E-09左右，這個范圍內可以認為等面積和高斯投影改正的方法，可以較準確的計算出實際面積。

（2）距離中央子午線的遠近，并不會使高斯投影改正面積和等面積投影面積受形變被拉長，這兩種方法基本不受中央子午線遠近影響。

綜合上面的結論，當不規則區域在幾百公頃（即經度差為秒時）使用等面積投影和高斯投影改正能夠很好的等效計算出實際面積，相對誤差很小在億分之一的范圍內，等面積投影和高斯投影改正能夠達到同樣的效果，不過等面積更加接近橢球區域面積的實際面積。