在關聯(lián)中遞進性構建數(shù)學模型

伍愈文　晏興鼎

構建數(shù)學模型，不僅是《小學數(shù)學課程標準》的明確要求，更是學生發(fā)展的需要。北師大版小學《數(shù)學》教材在編寫上也充分凸顯了數(shù)學模型的重要性。它考慮到小學生的認知需要經(jīng)歷逐步深化、提高的過程，所以將四個領域的學習內容采用逐步拓展、漸進深化的結構，按照“問題情境——建立模型——解釋與應用”的敘述方式進行編排。

比如，由于學生對小數(shù)認識的最直接經(jīng)驗來自價錢，因此在第一學段中，教材設計了“元、角、分與小數(shù)”的單元，使學生在熟悉的情境中學習小數(shù)及其簡單加減運算的初步知識。這個單元的學習為以后小數(shù)的學習提供了一個直觀、具體的模型，是后續(xù)學習的基礎。在第二學段繼續(xù)學習小數(shù)及其運算時，教材首先通過豐富的實例拓展了學生對小數(shù)的認識；在探索小數(shù)運算法則時，仍然可以先借助元、角、分的模型，再拓展到身高、體重等具體模型，并最終脫離具體模型掌握小數(shù)的運算法則。

那么，如何在相互關聯(lián)的教學內容中，遞進性地構建數(shù)學模型呢？下面就以“小數(shù)意義的認識”為例，談一談自己的思考。

一、撥去面紗，初見端倪——第一學段建模

北師大版小學《數(shù)學》三年級上冊《文具店》，創(chuàng)設了學生文具店購買文具的具體情境，借助元角分幫助學生初步理解小數(shù)的意義。如何在初次認識小數(shù)時就借助建模的思想給學生幫助呢？筆者做了如下嘗試：

師：同學們，你們在購買文具時用到的錢，單位有哪些？

生（齊）：元、角、分。

師：請在學具袋中拿出老師為大家準備的學具，按照從大到小的順序擺一擺。

師：觀察桌上的擺圖，看看會發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？

生1：按照從大到小的順序擺的。

生2：從左往右依次平均分成10份，取其中的一份。

生3：從左往右，后者是前者的十分之一。

師：很會觀察，也很會思考。如果將它們進行分類，可以怎樣分？分類的標準是什么？

生4：100元、10元、1元為一類，1角、1分為一類。

生5：把元作單位的分為一類，角和分作單位的為一類。

生6：把等于或者大于1元的分為一類，不夠一元的分為一類。

師：如此，我們把這些錢分成了兩類（PPT演示：在1元和1角之間出現(xiàn)一條豎線）。

左邊的是1元以上的，右邊是不足1元的。現(xiàn)在把這些錢請上計數(shù)器，誰愿意來試一試？

（一名學生在PPT上操作，完成如圖：

師：在計數(shù)器上如何把1元以上的和不足1元的分開？

生1：打上一個點。

師：就按你們說的辦（PPT演示如下圖）。這個數(shù)是多少，請同學們在草稿本上寫一寫。

（學生寫數(shù)：111.11，教師用PPT示范。）

師：我們把像這樣的數(shù)稱作“小數(shù)”，這個點稱為“小數(shù)點”。你們在什么地方見過這樣的小數(shù)呢？

生2：商品的價錢。

生3：賽跑成績。

生4：體重。

生5：眼睛的視力。

生6：體溫。

師：同學們的生活經(jīng)驗很豐富。（手指大屏幕）再看看這個小數(shù)，小數(shù)點將小數(shù)分成了幾部分？每一部分可以怎樣命名？

生1：兩部分。左邊的是整數(shù)，右邊的……（學生遇到了困難）

生2：右邊的不足1元，是不是就應該是小數(shù)？

師：是啊，小數(shù)點將小數(shù)分成了左右兩部分，左邊的是整數(shù)部分，右邊的是小數(shù)部分（邊說邊用PPT出示下圖）。

師：小數(shù)點右邊第一位上的“1”表示什么？

生1：表示把1元平均分成10份，其中的1份是1角。

師：如果小數(shù)點右邊第一位上的數(shù)是“5”，它又表示什么？

生2：表示把1元平均分成10份，一份是1角，5份就是5角。

師：小數(shù)點右邊第二位上的“1”表示什么？

生3：表示把1角平均分成10份，其中的1份是1分。

生4：因為1元=100分，所以我認為也可以表示把1元平均分成100份，取其中的1份，也就是1分。

師：同學們，讓我們把熱烈的掌聲送給他，他特別善于開動腦筋。現(xiàn)在計數(shù)器上表示的是多少錢？

生（齊）：一百一十一元一角一分。

師：同學們很能干。請你隨意在草稿本上寫出一個小數(shù)，考考你的同桌，讓他說說小數(shù)部分每一個數(shù)位上的數(shù)表示什么，如果以“元”作單位，表示多少錢。

……

數(shù)學模型的構建過程，實際上就是“數(shù)學化”的過程。在實際操作中，借助擺一擺、找一找、分一分，發(fā)現(xiàn)小數(shù)相鄰兩個計數(shù)單位的十進制關系。通過計數(shù)器模型，直觀感受小數(shù)的組成，理解小數(shù)點右邊數(shù)位上的數(shù)表示的意義，依靠模型的意義解決生活中的實際問題。在這個建模思想的滲透過程中，由生活中的具體實例開始，借助操作予以內化和強化，最后通過闡述和思維發(fā)散加以擴展和推廣，賦予了小數(shù)深刻的模型意義。

二、曲徑通幽，再探究竟——第二學段建模

在三年級借助元、角、分現(xiàn)實背景初步認識小數(shù)的基礎上，第二學段對于小數(shù)的認識，主要是將它和分數(shù)之間進行意義上的關聯(lián)，即：一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……教材中學習內容的編排是層層遞進的：通過生活中的元、角、分素材，認識小數(shù)與十進分數(shù)的關系，再抽象到一般意義上的小數(shù)與十進分數(shù)的關系，最后讓學生帶著對小數(shù)意義的認識回歸生活，進一步體會小數(shù)的意義。如何體現(xiàn)這次建模與第一學段建模的關聯(lián)性，并在第一學段建模的基礎上，遞進性地幫助學生深入理解小數(shù)的意義呢？教學片段如下：

師：同學們，0.1元是多少錢？為什么？

生1：0.1元是1角。因為將1元錢平均分成10份，1份是1角。

師（出示圖1）：如果用這樣的一個長方形表示1元，你能把它分一分、涂一涂，將0.1元表示出來嗎？

師：誰來介紹一下自己的做法？

生1：我先把這個長方形平均分成10份，然后選取其中的一份涂色。

師：涂色的一份是不是0.1？

（學生點頭。）

師：用分數(shù)如何表示？為什么？

生1：十分之一。因為選取的這一份是長方形的十分之一。

師：這個長方形除了可以表示1元，還可以表示什么？

生1：10元。

生2：4個蘋果。

生3：一袋米。

生4：一包糖。

師：同學們很會思考。生活中的物品，不管它有多少，是一個，還是多個，都可以用這個長方形來表示。那0.1除了可以表示錢以外，還可以表示什么？

生2：可以表示長度，0.1米。

師：0.1米是多長？為什么？

生2：0.1米是1分米。因為把1米平均分成10份，每一份是1分米。

師：還可以表示什么？

生3：0.1攝氏度。

師：0.1攝氏度是怎樣得到的？

生3：把1攝氏度平均分成10份，取其中的一份。

師：還可以表示什么？又是怎樣得到的？

生4：0.1千克。是把1千克平均分成10份，取其中的一份。

生5：0.1平方米。把1平方米平均分成10份，取其中的一份。

師：如果我們把長方形表示的物品用“1”來表示，0.9是怎么得到的？用分數(shù)怎樣表示？

生1：0.9表示把“1”平均分成10份，取其中的9份。用分數(shù)表示是十分之九。

師：下面請同桌兩人一組，互相說一個像0.1、0.9這樣的小數(shù)，讓對方說說這個小數(shù)是怎么得到的，以及用分數(shù)表示是多少。

（學生兩人一組開始活動。）

師：同學們說得這么熱烈，我也來湊湊熱鬧（板書：1.3）。如果還是用一個長方形表示“1”，怎樣才能表示出1.3呢？請同學們在學具紙上涂一涂、畫一畫。

（學生獨立在學具紙上操作。）

師：誰來分享一下自己的做法？

生1：我畫了兩個長方形，第一個全部涂成黑色。第二個平均分成10份，只涂其中的3份。（教師將其展示如圖3。）

師：為什么要這么做？

生1：因為1.3里面已經(jīng)有了一個1，就要先選一個長方形，剩下的0.3就要把第二個長方形平均分成10份，選取其中的3份。

師：如果一個練習本2.6元，又該如何用圖來表示呢？

生1：先畫兩個長方形，全部涂成顏色。再把第三個平均分成10份，涂出其中的6份。

師：好，就像這樣，同桌兩人一組，其中一人說一個小數(shù)，另一人說如何用圖表示，開始。

……

上述教學過程將抽象的數(shù)與生活實際相連，給予發(fā)散拓展，緊緊圍繞知識間的聯(lián)系（小數(shù)與十進分數(shù)的關系）展開。在學生大膽的嘗試與摸索中，借助于直觀圖形的形象支撐，建立起了一位小數(shù)的“直觀模型”——將長方形平均分成10份，選取其中的幾份。這種形象的“直觀模型”架起了小數(shù)和分數(shù)之間的橋梁，很好地承擔起了“種子知識點”的任務，為后面兩位小數(shù)、三位小數(shù)的學習起到了引領作用。

這兩個教學案例告訴我們，運用建模思想來指導小學數(shù)學教學，有利于學生從生活經(jīng)驗和客觀事實出發(fā)，在研究具體問題的過程中學習、理解和應用數(shù)學。這為學生提供了大量觀察、操作、實驗、思考與交流的機會，有利于學生掌握數(shù)學知識的內涵，學會數(shù)學地思考，提高解決問題的能力，獲得良好的情感體驗。但是對學生“模型意識”的培養(yǎng)和“建模方法”的指導，不僅要根據(jù)具體內容和學習對象而有不同的要求，更要準確把握教材，充分考慮到學習內容之間的聯(lián)系、延伸與拓展，有的放矢地做到有層次地、遞進性地培養(yǎng)學生的建模能力，逐步滲透模型思想。

（作者單位：伍愈文，五峰土家族自治縣實驗小學；晏興鼎，五峰土家族自治縣中小學教研培訓中心）

責任編輯 孫愛蓉