估算做得多思維自然活

張清華

教師們常說：估算既難教又難學！但是，實際教學中教師一面抱怨估算教學的困難，一面并沒有重視估算教學，估算教學普遍都未落到實處。這是教師對估算的理解、認識不足造成的，估算在提升學生數學思維能力、培養學生數學核心素養上可以有更大的作為。

一、估算是兒童成長的內在需要

學生天生愛探究，但小學生又喜歡憑直覺進行跳躍式的思考，并喜歡快速找到結論。這是小學生好勝的心理特征和直觀的思維特征決定的。而估算具有簡便、快速、整體、直覺和跳躍性的特點，這很符合小學生的心理狀態。所以，從估算的特點看，學生會比較喜歡。我們來看兩個教學實例：

1.雞兔同籠，數數頭14只，數數腳30只，雞和兔各有幾只？

這道題的數據不復雜，是接觸雞兔同籠問題的入門題目。教師往往會帶著學生們用假設法找出答案。如果我們先讓學生估一估，教學起來會不會更輕松呢？因為14×2=28，與30很接近，所以本題一定是兩只腳的雞只數很多，四只腳的兔只數很少。多了估算這一步，學生就可以從“雞多兔少”的角度來假設。稍稍一試，就知道13只雞和1只兔就是答案。因為題中的數據小、直觀，易激發學生自發地去估算，多做這樣的估算，假設法將變得有的放矢，學生也容易接受。如果沒有估算，學生雖然知道要用假設法一步一步去推算，但只知其然，不知其所以然，費時費力效率低，學生會覺得索然無味。

2.一本書的中間被撕掉一張，余下的各頁頁碼之和正好是1000，撕掉的那一張是第幾頁？

此題高年級的學生可以用等差數列求和公式計算，做起來不難。若用常規思路，低年級小學生將難以完成，但估算方法變一變，就給學生打開了方便之門。一個三年級的學生說：這本書的全部頁碼之和要比1000大一些，估計最大頁數不會超過50頁。我用計算器從1開始順著往后加，加到45就等于1035，超過1000了，所以，撕掉的是17和18頁；若再加到46，和是1081，撕掉的是40和41頁，但頁碼40和41不在同一張紙上……再往后加，發現已經超過最高頁數了。所以，答案只能是第17和18頁。其他學生一聽，連說：真簡單，我也來試試。這個問題就這樣解決了。

上面的估算過程不僅直觀有效，問題也變成了正向的推算，所以，學生體驗到：估算簡單，估算有趣。只要估算方法是符合兒童心理特征的，估算就成了學生的內在需要。

二、估算是發展思維能力的需要

在小學，學生需要掌握幾種具體的估算方法：進位法、去尾法、四舍五入法以及看成整十整百數等。單一的估算方法并不難，但學生的困難在于，面對綜合的實際問題該如何確定估算策略？是往大估、往小估還是四舍五入？

例如，學校圖書館有12個書架，每個書架能放48本書。如果問題是這些書架大約能放多少本書？就適合用“四舍五入”法；若問這些書架夠放600本書嗎？就適合往大估，把48看成50；若問這些書架夠放480本書嗎？就適合往小估，把12看成10。

學生在尋找估算策略的過程中是在不斷地進行比較、判斷、推理等思維活動的，所以，估算的過程就是學生提升數學能力、積累活動經驗、培養估算意識的過程。估算的過程是開放的、動態的，估算的結果也是不唯一的，這正是傳統的計算教學和應用題教學（傳統的應用題給出的條件不多不少，正好與問題匹配）所缺失的。所以，加強估算教學是提升學生思維的靈活性、開放性、創新性的重要途徑。

學生估算意識的形成還為數學的邏輯推理提供了支撐，提升了思維的深刻性。例如，教學《圓的周長》，一般的教法是教師指令學生統一去測量圓的周長和直徑，這種測量只動手未過心，經學生測算，周長可能是直徑的2倍多、3倍多、4倍多……

我們來對比一下由估算引出的探究過程：教師從我國最早的數學著作《周髀算經》中的“周三徑一”是什么意思引入，“周長真的是直徑的三倍嗎？”這立刻激起了學生強烈的探究欲望。我們可以先用幾何直觀的方法去探究、去估算，如下圖：

顯然，從圖中可以直觀地估算出：正六邊形的周長<圓的周長<正方形的周長，因為正六邊形的周長=直徑的3倍，正方形的周長=直徑的4倍，所以，直徑的3倍<圓的周長<直徑的4倍。

然后，學生再去測量驗證，就使測量有了明確的方向和精確度，避免了操作的空泛、表面化。估算意識促進了理性和感性的結合，促進了學生自主、深刻地建構圓周長的意義，這種建構是一個充滿激情的、開放的、理性的生成過程?？鬃釉?，不憤不啟，不悱不發。顯然，傳統的單一指令學生測量的教學與先估后量的教學不論在學生的情感體驗和數學化體驗上都相去甚遠。

估算提升了學生的思維能力，沒有估算意識的頭腦就會缺少思維的靈活性、深刻性、創新性等，就會降低思考過程的整體質量。

三、估算是聯系生活和數學的需要

長期以來，數學給人的印象是抽象、枯燥、高高在上，學得多，用得少。這是因為傳統的數學教學內容單一、過深、過難、脫離實際。新教材以“情境化”的呈現方式力求溝通數學與生活，新課標力求把學生培養成懂數學，會生活的人。

生活離不開估算。開車行駛在高速公路上，我們常常要估一估離目的地大約還有多遠，油箱里大約還有多少油；買一處新居，我們常常要先估算一下每個房間大約多大等等。生活中的很多統計量都只是一個近似值，而解決現實生活中的很多問題并不需要算出精確值，往往只需要估算出大致的結果，即使求精確值，也離不開估算，如筆算除法要用估算幫忙試商，我們還常用估算檢驗結果的合理性。所以，估算很實用。

除了實用，估算更重要的內在價值是豐富了數學的內涵，開闊了數學思想，促進了數學的問題解決。如前所述，估算提升了學生的思維能力，更促進了學生直覺思維的發展，為問題解決快速找到靈感。筆者曾給五年級的學生出過一道難題：某車間每天能生產甲種零件500個，或者生產乙種零件600個，或者生產丙種零件750個。甲、乙、丙三種零件各一個配成一套，現要在30天內生產最多的成套產品，問甲、乙、丙三種零件，各應生產多少天？此題的一般解法是列方程組。對于五年級的學生而言，列出方程難，解出方程更難。

奇特的是，幾個學生迅速地給出了正確答案。他們是這樣想的：因為每種零件各一個配成一套，要生產最多的成套產品，每種零件的數量就要同樣多。把30天分成3個10天，但500×10、600×10、750×10肯定不相等，所以，500要乘多一點的天數，750要乘少一點的天數。再用幾個數字試一試，很容易得到500×12=600×10=750×8，所以甲、乙、丙各應生產的天數分別是12天、10天、8天。

雖然這樣解題帶有一定的偶然性，但學生當時的表現很精彩——學生有很強的數感和估算意識，他們思想開放，躍過一步一步推理，憑直覺直接抓住問題的核心。數學家龐加萊說：“邏輯用于證明，直覺用于發明。”牛頓、愛因斯坦都是抓住直覺，做出偉大發明的典范。顯然，估算教學是落實新課標理念、培養學生良好的數感和推理能力的重要途徑。

估算就像一股充滿活力的新鮮血液，幫助學生完善了對數學的認識，形成了更靈活的數學思維。以前，我們認為數學是“絲絲入扣、分毫不差”，現在，我們要認識到：“千真萬確”的是數學，“模糊大約”的也是數學。數學教育不是刻板的、單一的、精準的“智力”，而是充滿溫情的、開放的、生動的“智慧”。

（作者單位：華中科技大學同濟醫學院附屬小學）

責任編輯 陳建軍