模糊規則相似性計算與性能分析研究

李微，喬俊飛，韓紅桂，曾曉軍

(1.北京工業大學 信息學部，北京 100124； 2. 計算智能與智能系統北京市重點實驗室，北京 100124； 3. 曼徹斯特大學 計算機科學學院，曼徹斯特 M13 9PL)

模糊規則相似性計算與性能分析研究

李微，喬俊飛，韓紅桂，曾曉軍

(1.北京工業大學 信息學部，北京 100124； 2. 計算智能與智能系統北京市重點實驗室，北京 100124； 3. 曼徹斯特大學 計算機科學學院，曼徹斯特 M13 9PL)

針對模糊規則相似性分析和計算問題，本文對模糊規則相似性計算方法進行了研究。首先，將模糊規則相似性等價地轉化為多變量模糊集相似性，并對模糊規則相似性計算方法提出3種應用性能評價指標——可區分性、維數依賴性和計算復雜性。其次，在現有兩種模糊規則相似性計算方法的基礎上，提出4種新的計算方法，對各種方法進行系統地性能分析和比較。最后，對模糊規則相似性計算進行仿真研究，結果表明了所提應用性能指標的有效性、計算方法的可行性及分析結果的正確性。本文研究結果為模糊規則相似性分析和計算提供了依據, 尤其為基于模糊規則相似性辨識和合并的模糊系統與模糊神經網絡結構簡化奠定了基礎，提供了一種新的設計思路。

模糊規則；相似性計算；可區分性；維度依賴性；計算復雜性

自從Zadeh教授于1965年創立模糊集理論[1]以來，以模糊集為基礎的模糊系統在自動控制、信息處理等領域得到了廣泛應用[2-4]。模糊集相似性分析是模糊系統研究的一個重要分支，得到眾多學者的關注，在系統辨識與結構簡化[5-15]、模式識別[16-17]、模糊聚類[18]等方面取得了豐碩的研究成果。

在模糊系統或模糊神經網絡設計過程中，不但要計算模糊集相似性，而且要計算模糊規則相似性，以合并相似規則，進而獲得簡潔的網絡結構，降低模型的復雜度。因此，模糊規則相似性分析與計算是模糊系統或模糊神經網絡研究領域的關鍵問題之一。

目前，針對模糊規則相似性分析與計算的研究工作不多。Chao等[5]提出最小值模糊規則相似度計算方法，該方法通過計算每個輸入變量隸屬函數的相似度，將所有變量相似度的最小值作為模糊規則的相似度。Chen等[6]、Tsekouras[7]都采用該方法對模糊規則相似性進行計算。然而，在理論方面，該方法與常用的相似度定義不一致；在應用方面，該方法不能很好地區分模糊規則的相似性。

模糊規則相似性研究通常只考慮滿足模糊集相似性的基本數學準則，而在模糊神經網絡簡化結構中，模糊規則相似性計算僅僅滿足基本數學準則不足以滿足應用的要求。

鑒于上述問題，文中提出4種模糊規則相似性計算方法，通過歸納應用中對模糊規則相似性的要求，提出3種應用性能評價指標——可區分性、維數依賴性和計算復雜性，并以此為基礎，對各種相似性計算方法進行詳細分析和比較。研究結果為模糊規則相似性分析及應用提供了依據。

1 模糊規則相似性計算問題描述

1.1 問題描述

討論模糊規則相似性計算問題之前，首先給出常用的模糊集相似性定義[5,8]。

式中：S(A,B)表示A和B的相似度；M(A∩B)表示A和B交集的面積；M(A∪B)表示A和B并集的面積。

在模糊規則相似性計算問題中，假設一對模糊規則RA和RB表述如下。

RA：如果x1是A1，…，xn是An，那么y是wA(x)

(2)

RB：如果x1是B1，…，xn是Bn，那么y是wB(x)

(3)

式中：xi∈Ui?R是第i個輸入變量；Ui是其相應輸入變量空間；Ai和Bi是關于輸入變量xi的模糊集，其相應隸屬函數分別為uAi(xi)和uBi(xi)，i=1,2,…,n；x=(x1,…,xn)，n為輸入變量個數；wA(x)和wB(x)是模糊規則的結論。當給定一個Mamdani型系統或網絡時，wA(x)=CA；當給定一個T-S型時，wA(x)=CA0+CA1x1+…+CAnxn，其中Cj(j=A,A0,…,An)為常數。

由于一對模糊規則涉及兩組模糊集，無法直接應用定義1給出的模糊集相似性計算模糊規則的相似性。因此，引入多變量模糊集對上述規則RA和RB重新表述如下。

RA：如果x是A，那么y是wA(x)

(4)

RB：如果x是B，那么y是wB(x)

(5)

式中：A和B為輸入空間U上兩個多變量模糊集；A=A1×A2×…×An，B=B1×B2×…×Bn，相應規則的激活強度分別為

模糊規則RA和RB的相似性定義為，在輸入空間U上兩個多變量模糊集A和B的相似性。

因此，通過引用多變量模糊集的概念，將兩條模糊規則的相似性等價地轉換成兩個多變量模糊集的相似性，而如何計算模糊規則RA和RB的相似度S(A,B)是需要解決的問題。

1.2 性能評價指標

由于模糊規則相似性等價于多變量模糊集相似性，因此也必須滿足模糊集相似性的基本數學準則[8-9]，歸納如下。

模糊規則相似性S(A,B)的基本數學準則如下。

1) 正則性：0≤S(A,B)≤1。

2) 對稱性：S(A,B)=S(B,A)。

3) 不相交模糊規則的相似度應為0，即

S(A,B)=0?uA(x)uB(x)=0,?x∈U。

4)相交模糊規則的相似度應大于0，即

S(A,B)>0??x∈U,uA(x)uB(x)>0。

當相似度為1時，兩條模糊規則是完全相同的，即

S(A,B)=1?uA(x)=uB(x),?x∈U

5) 縮放或移位下的不變性，即

S(A′,B′)=S(A,B)?uA′(l+kx)=uA(x),

uB′(l+kx)=uB(x),l∈Rn,k∈R,k>0。

然而，將模糊規則相似性計算方法應用于模糊神經網絡結構簡化時，不但要滿足基本數學準則，而且要滿足實際應用的要求。為此，提出以下3種評價指標。

1.2.1 可區分性

可區分性是指對兩個明顯不同模糊規則，其相應相似度能夠反映出模糊規則的不同。可區分性可被看作相似度定義的靈敏度性能指標，區分性好的相似度具有較高的靈敏度。該指標能夠更好地辨識出相似度高或低的模糊規則。

1.2.2 維數依賴性

維數依賴性是指模糊規則相似度值是否會隨著維數的增加或減少而變化。維數依賴性是模糊規則相似度辨識與合并中非常重要的性能指標。如果相似度的定義具有維數依賴性，對每個不同維數的系統辨識需要大量數據和實驗才能確定合適的相似度閾值，給實際應用帶來一定困難；如果相似度計算不依賴系統維數的變化而變化，可確定一個通用的相似度閾值，用于各種不同維數的模糊系統或網絡進行結構簡化。

1.2.3 計算復雜性

計算復雜性是指計算模糊規則相似度所需的步驟和時間。如果模糊規則相似度計算過于復雜，會影響計算的有效性，限制算法的可用性。

2 計算方法與性能分析

2.1 最小值方法

最小值方法[5-7]將所有輸入變量xi(i=1,2,…,n)相應模糊集相似度的最小值作為模糊規則的相似度，其計算公式如下：

首先，可證明基于最小值的模糊規則相似度計算方法滿足相似性的基本數學準則；其次，計算簡單，當得到每個輸入變量相應單變量模糊集的相似度S(Ai,Bi)后，取最小值運算即可得到模糊規則的相似度；最后，該方法取值僅取決于某個輸入變量相應模糊集的相似度，不具有維數依賴性。

然而，由式(7)可知，該方法與相似度定義(式(1))不一致，且可區分性較差。例如，有兩條模糊規則，其相應輸入變量xi的模糊集合分別為Ai和Bi(i=1,2,3)，考慮以下兩種情況。情況1：每個變量相應模糊集的相似度均相同，即S(Ai,Bi)=0.4,(i=1,2,3)，采用最小值方法，這兩條規則的相似度為S1(A,B)=0.4。情況2：各變量相應模糊集的相似度分別為S(A1,B1)=0.4，S(A2,B2)=0.9，S(A3,B3)=0.9，采用最小值方法，這兩條規則的相似度仍為0.4。結果顯示，在第2種情況下，兩條模糊規則的相似度明顯大于第一種情況的相似度。因此，最小值方法不能很好地區分模糊規則間的明顯差異，在一定程度上影響相似度的有效判定。

2.2 乘積方法及其改進方法

針對最小值方法存在可區分性差的問題，提出了乘積方法，該方法是對最小值方法的改進，通過計算所有輸入變量相應模糊集相似度的乘積得到模糊規則的相似度，即

首先，可證明乘積法滿足相似性的基本數學準則；其次，乘積方法計算簡單，且可區分性較好。如上例，采用乘積方法，在兩種情況下，兩條模糊規則的相似度分別為0.064和0.324。結果表明，第2種情況比第1種情況下的模糊規則具有更高的相似度。因此，乘積方法能夠更好地區分模糊規則的相似性。

然而，由式(8)可知，乘積方法仍然與相似度定義1不一致，是一種直觀方法。而且，由于相似度取值范圍為[0，1]，隨著維度不斷增加，相似度越來越小。如上例，在第1種情況下，每個單變量模糊集的相似度均為0.4，n維變量模糊規則相似度為(0.4)n，當維數逐漸增加時，得到的相似度呈現遞減的趨勢。

為了克服乘積法具有維數依賴性的缺點，提出了一種改進的方法(第3種方法)，即

該方法繼承了乘積方法滿足基本數學準則、計算簡單和可區分性好的優點，克服了維數依賴性的不足。如上例，當每個變量模糊集的相似度均為0.4時，無論維數如何增加，模糊規則的相似度仍為

即相似度不隨維數的變化而變化。

綜上所述，改進的乘積方法是一種比較理想的模糊規則相似度計算方法，不足之處在于該方法是一種直觀的方法，不滿足常用的相似度定義。

2.3 交并面積和比值法

根據模糊集相似度定義[5,8]的直觀意義，兩條模糊規則總交集的面積可定義為每個輸入變量相應的一對模糊集的交集面積之和。同理，其總并集的面積可定義為每個輸入變量相應的一對模糊集的并集面積之和，從而類似于定義1，模糊規則相似性定義為交集面積之和與并集面積之和的比值。因此，將該方法(即第4種方法)命名為交并面積和比值法，其計算公式為

其中

首先，由式(10)～(12)可以證明，該方法滿足相似性的基本數學準則；其次，計算簡單，當得到每個輸入變量相應模糊集的交集與并集面積后，通過簡單的求和與比值運算即可得到模糊規則的相似度。而且，該方法不具有維數依賴性。例如，在n維空間的兩條模糊規則，每對單變量模糊集Ai和Bi(i=1,2,…,n)的交集面積為0.4，并集面積為0.8，則當n=1時，這兩條規則的相似度為0.5；當n>1時，相似度為

即隨著輸入空間維數的變化，模糊規則相似度不會隨之變化。

此外，該方法具有很好的可區分性。例如，一對兩維模糊規則的單變量交集與并集面積分別為

M(A1∩B1)=M(A2∩B2)=0.4

M(A1∪B1)=M(A2∪B2)=0.8

則根據式(10)得到這對模糊規則的相似度為0.5。假定另一對模糊規則的單變量交集與并集面積分別為

M(A1∩B1)=0.4,M(A1∪B1)=0.8

M(A2∩B2)=0.35,M(A2∪B2)=0.8

則相似度為0.47。因此，該方法能夠很好地區分模糊規則的相似性。

綜上所述，交并面積和比值法是一種較理想、具有很好直觀意義的模糊規則相似度計算方法，而且在一定程度上接近于常用的相似度定義。

2.4 交并總面積比值法及其改進方法

第5種方法是作者前期提出的交并總面積比值法，其相似度計算公式如下[19]：

式中

首先，由式(13)～(16)可知，該方法與相似度定義一致；其次，該方法滿足相似性的基本數學準則(證明過程見附錄)。而且，由于模糊規則或多變量模糊集A和B之間的任何不同之處都可通過M(|A～B|)體現，導致式(13)定義的S(A,B)不同。因此，該方法具有很好的可區分性。

式中：c為兩個高斯函數的中心；σA和σB分別為兩個高斯函數的寬度，且σA>σB>0。于是，

M(|A～B|)如式(16)所示。由于σA>σB>0，推出

因此得出

代入式(13)得到：

由式(21)得出：

因此，由式(23)可推出，當n→時，

即無論Ai和Bi多相似，只要它們不相同(即相似度小于1)，當輸入空間維數逐漸增加時，A和B的相似度會逐漸減小；當輸入空間維數趨于無窮時，相似度趨于0。

為了克服維數依賴性的缺點，提出一種改進的交并總面積比值法(即第6種方法)，如下式所示：

該方法滿足相似性基本數學準則，具有很好的可區分性，且不具有維數依賴性。如上例，采用該方法計算式(23)可得到：

因此，得到的相似度不隨維數的變化而變化。

需要指出的是，改進的交并總面積比值法仍存在計算復雜的缺點。同時，該方法不再滿足常用的相似性定義。

2.5 6種方法的性能比較

上述分析和比較結果顯示，6種方法都滿足相似性定義的基本數學準則。在應用性能指標方面，每種方法各有不同。表1給出了這6種方法在3個性能指標方面的比較結果。

表1 6種方法的性能對比

由表1可知，改進的乘積方法與交并面積和比值法是兩種比較理想的模糊規則相似性計算方法。

3 仿真實驗

本文所做的實驗研究均是基于Matlab R2014a在Intel?CoreTM2 Duo CPU 3 GHz，內存2 GB的普通PC機上進行的。

3.1 實驗1

假設有3個輸入變量(x1,x2,x3)、6條模糊規則(R1,R2,R3,R4,R5,R6)，高斯函數中心(c)和寬度(σ)如表2所示。分別采用最小值法、乘積法、改進乘積法、交并面積和比值法、改進交并面積和比值法、交并總面積比值法及改進交并總面積比值法共6種方法對模糊規則相似性進行計算，其中單變量相似性計算方法采用文獻[20]提出的方法。得到的相似度及相應的運行時間如表3所示，采用最小值方法得到部分規則相似度如表4所示，其中，Sij代表第i和第j條規則的相似度，M1～M6依次代表上述6種相似性計算方法。

表2 中心和寬度值

表3 6種方法相似度及運行時間

表4 最小值方法相似度

從3個應用性能指標方面對實驗結果進行進一步分析。

3.1.1 可區分性

由表2可知，對變量x1而言，在規則R1中其值近似于2.547 6 (即其中心)，而在R2和R5中，其值近似于3.821 2和3.541 6。因此，與R1最不相似的是R2和R5。對于變量x2和x3而言，相比R1與R5，R1與R2則較為相似。然而，由表3及表4可知，對最小值方法而言，相似度S12和S15完全取決于在各個變量中最不相似模糊集的相似度，即0.343與0.352，如表3所示，最小值方法得到的S12和S15較為接近，其余5種方法得到的S12和S15均呈現出差異。因此，該實驗表明最小值法的可區分性較差，而另5種方法在一定程度上克服了這一缺點。

3.1.2 維數依賴性

由表3可知，方法M2和M5所得到的模糊規則相似度都小于0.5。通常相似度大于0.5才能進行規則合并。如果采用方法M2或M5，則沒有一對規則需要進行合并，而通過相應的改進方法M3或M6，該缺陷得到了明顯的改善，多對模糊規則都顯示出很好的相似性。

此外，對任何一對模糊規則，方法M2的相似度都小于方法M5的相似度，因此，方法M2比M5維數依賴性更強。

3.1.3 計算復雜性

表3顯示，方法M1、M2、M3和M4的運行時間短，計算簡單，而方法M5與M6則較復雜。對于一個三維輸入、6條規則的模糊神經網絡，方法M5與M6的計算時間是方法M1、M2、M3和M4的4 000多倍。對于更加高維和具有更多規則的模糊系統或模糊神經網絡，計算時間會更長。因此，方法M5與M6不適用于高維復雜系統的結構簡化。

實驗結果表明，改進的乘積方法與交并面積和比值法是較理想的模糊規則相似性計算方法。

3.2 實驗2

假設有4個輸入變量(x1,x2,x3,x4)、一對模糊規則(R1,R2)，高斯函數中心(c)和寬度(σ)如表5所示。與實驗1類似，分別采用最小值法等六種方法對模糊規則相似性進行計算，得到的相似度及相應的運行時間如表6所示，其中，S12代表兩條規則的相似度，M1、M2、M3、M4、M5和M6依次代表6種相似性計算方法。

表5 中心和寬度

表6 6種方法相似度及運行時間

Table 6 Similarity degree and running time of six methods

S12時間/sM10.0660.036M20.0150.037M30.3520.038M40.4630.038M50.0671359.807M60.5081366.569

由表6可知，與方法M3、M4和M6相比，方法M2與M5得到的模糊規則相似度小很多，表明這兩種方法具有維數依賴性。在運行時間方面，相比前4種方法，方法M5與M6計算較為復雜。因此，實驗結果進一步表明，改進的乘積方法與交并面積和比值法不具有維數依賴性，計算較為簡單，是較理想的模糊規則相似性計算方法。

3.3 實驗3

該實驗以三角形隸屬函數為例。假設有3個輸入變量(x1,x2,x3),一對模糊規則(R1,R2)，三角形函數的參數包括下部左頂點(p1)、上部頂點(q)和下部右頂點(p2)值如表7所示。與實驗1和實驗2類似，采用最小值法等6種方法計算得到的規則相似度及相應的運行時間如表8所示。

表7 三角形函數的參數

表8 六種方法相似度及相應的運行時間

由實驗結果可知，6種模糊規則相似性計算方法不但適用于高斯隸屬函數，而且適用于三角形隸屬函數，具有很好的通用性。在維數依賴性方面，方法M2與M5得到的模糊規則相似度較小，表明這兩種方法具有維數依賴性。在運行時間上，方法M5與M6計算較為復雜。

因此，實驗結果進一步表明，改進的乘積方法與交并面積和比值法不具有維數依賴性，計算簡單，是較理想的模糊規則相似性計算方法。而且，基于文中分析與討論，交并面積和比值法具有更好的直觀性，更接近常用的相似度定義。

4 結束語

本文對模糊規則相似性計算進行了研究。首先，證明了模糊規則相似性等價于多變量模糊集的相似性，并提出了3種應用性能評價指標——可區分性、維數依賴性和計算復雜性。其次，在現有兩種模糊規則相似性計算方法的基礎上，提出了4種相似性計算方法，進行了詳細分析和比較。分析和比較結果表明，提出的交并面積和比值法，可區分性好，不具有維數依賴性，計算簡單、直觀，是一種比較理想的模糊規則相似性計算方法。最后，為更好地說明最小值法等六種方法的優缺點，給出了數值分析實例，并對實驗結果進一步分析。

文中的研究具有以下幾方面意義：1)證明了模糊規則相似性等價于多變量模糊集相似性；2)證明了常用的模糊集相似性定義在應用于模糊規則相似性計算中也存在不足之處，證實了對模糊規則相似性進一步研究的必要性；3)研究結果為模糊規則相似性分析和計算方法選取提供了依據，尤其是為基于模糊規則相似性分析與合并的模糊神經網絡結構簡化提供了方法基礎和設計思路。

為了有效改善目前模糊規則相似性在計算有效性和精確性方面的不足，將提出的各種方法應用于模糊神經網絡結構簡化是下一步要進行的研究工作。

附錄

交并總面積比值法滿足相似性基本數學準則的定理如下。

定理 假設多變量模糊集A和B的相應規則的激活強度分別如式(6)所示，且uAi(xi)和uBi(xi)是U=U1×U2×…×Un上的連續函數，則由式(13)～(16)給出的相似度計算方法滿足相似性的基本數學準則。

證明 由于該方法對準則(1)和準則(2)顯然成立，因此，僅證明準則(3)～準則(5)成立。

準則(3)：由于uA(x)≥0，uB(x)≥0，在U上連續，則

?

準則(4)：由于uA(x)≥0，uB(x)≥0，在U上連續,則

?

而且, 根據式(13)～(16)，得到

?

準則(5)：

作積分變換y=l+kx，則上式變為

證明完畢。

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Computing and performance analysis of similarity between fuzzy rules

LI Wei1,2， QIAO Junfei1,2， HAN Honggui1,2， ZENG Xiaojun3

(1. Faculty of Information Technology, Beijing University of Technology, Beijing 100124, China; 2. Beijing Key Laboratory of Computational Intelligence and Intelligent System, Beijing 100124, China; 3. School of Computer Science, the University of Manchester, Manchester M13 9PL, UK)

Facing the weaknesses of the existing analysis and computing methods for the similarity between fuzzy rules (FRs), this paper investigated the computing methods for the similarity between FRs. First, the similarity between FSs was transferred equivalently into the similarity between multivariable fuzzy sets, and then three application based performance criterions-distinguishability, dimension dependency, and computing complexity were proposed to evaluate the computing methods of the similarity between FRs. Second, four new methods were proposed based on the two existing methods for computing the similarity between FRs, and then the performance analysis and comparison between these new and existing methods were performed. Next, a simulation example for the similarity computing between FRs was provided, and the simulation shows effectiveness of the proposed performance criteria, feasibility of the computing methods, and correctness of the analysis conclusions. The results obtained in this paper provide powerful tools and guides for the similarity analysis and computing of FRs. Inparticular, they establish the methodological foundation and provide a new design approach for the merging of similar FRs in the structure simplification of fuzzy systems and fuzzy neural networks.

fuzzy rules; similarity computing; distinguishability; dimension dependency; computing complexity

李微，女，1985年生，博士研究生，主要研究方向為智能信息處理。

喬俊飛，男，1968年生，教授，博士生導師，教育部長江學者特聘教授，國家杰出青年基金獲得者，教育部新世紀優秀人才，中國人工智能學會科普工作委員會主任，主要研究方向為智能信息處理、智能控制理論與應用。獲教育部科技進步獎一等獎和北京市科學技術獎三等獎各1項。發表學術論文100余篇，被SCI檢索20余篇，EI檢索60余篇。

韓紅桂，男，1983年生，教授，博士生導師，入選國家自然科學基金優秀青年科學基金、中國科協青年人才托舉工程等，主要研究方向為智能特征建模、自組織模糊控制和多目標智能優化。發表學術論文60余篇。

10.11992/tis.201512040

http://kns.cnki.net/kcms/detail/23.1538.TP.20170227.1758.004.html

2015-12-22.

日期：2017-02-27.

國家自然科學基金項目(6162200417, 61533002, 61225016)；中國博士后科學基金項目(2014M550017)；北京市教育委員會科研計劃項目(KZ201410005002，km201410005001)；高等學校博士學科點專項科研基金項目(20131103110016).

喬俊飛. E-mail：isibox@sina.com.

TP18

A

1673-4785(2017)01-0124-08

李微，喬俊飛，韓紅桂，等.模糊規則相似性計算與性能分析研究[J]. 智能系統學報， 2017, 12(1): 124-131.

英文引用格式：LI Wei， QIAO Junfei， HAN Honggui， et al.Computing and performance analysis of similarity between fuzzy rules[J]. CAAI transactions on intelligent systems, 2017, 12(1): 124-131.