方形數陣的求和運算及其應用

余明芳 王欽敏

（福建教育學院數學教研室，福建 福州 350025）

方形數陣的求和運算及其應用

余明芳 王欽敏

（福建教育學院數學教研室，福建 福州 350025）

將方形數陣看作是數列在二維形式上的一種推廣，可以按某種方式歸納出許多方形數陣的數字變化規律，給出它們的通項與求和運算方式，并將其應用于一些數列求和問題中。方形數陣求和運算及其應用問題，是數列問題的自然延伸，是數列章節開展探究式教學的良好素材。

方形數陣；求和運算；自然數等冪和

一個數列中的數，不僅具有次序，而且大都具有一定的變化規律，我們可歸納其變化規律獲得許多數列的通項與求和公式。在各種圖式的數陣中，正方形圖式的數陣最為常見，筆者發現，如果將方形數陣看作是數列在二維形式上的一種推廣，也可以歸納許多方形數陣的變化規律，求出其通項與所有項之和的公式，并應用于一些數列求和問題中。

一、方形數陣的求和運算

在如下所示的n階方形數陣中，記其第m行第n列的數為通項amn，接著按數陣中標示的線路，分別記A1=a11，A2=a21+a22+a12，A3=a31+a32+a33+a23+a13，…，Am=am1+am2+…+amm+…+a2m+a1m，則方形數陣所有項之和S=A1+A2+A3+…+An，據此可將求方形數陣所有項之和問題轉化為數列的求和問題，對一些已知通項amn的方形數陣進行求和運算。

1.對通項為amn=mn(m,n∈Z+)的方形數陣，Am=am1+am2+…+amm+…+a2m+a1m=m+2m+3m+…+m2+(m -1)m+…+2m+m =m3，故

2.對通項為amn=a+(m-1)d+(n-1)r(m,n∈Z+)的方形數陣，

當a=2，d=r=1時，通項為amn=m+n(m,n∈Z+)，S=n3+n2。

3.對通項為 amn=apm-1qn-1(m,n∈Z+)的方形數陣，所以

二、方形數陣求和運算方式的應用

我們可以構造一個方形數陣，利用上述求方形數陣所有項之和的運算方式，求出數列｛n2｝、｛n3｝的前n項和。

教師在采用任務驅動教學法教學時，需重視學生的主體地位。因而，教師在設置實訓課程時，需將實訓內容包含在每個實訓任務當中。教師需指導學生自主發現、思考、解決問題，學生在完成實訓任務之后，教師需及時進行總結，并鼓勵學生發現問題、解決問題。教師在設置實訓任務時，需重視培養學生自主學習能力及思維能力，為學生日后的學習及發展奠定堅實基礎。教師在教學過程中，需重視對學習方法的講解。教師在設置車工實訓任務時，需重視實訓任務的層次性。由于每個學生的理解能力、綜合素質水平不同，因此教師在設置實訓任務時，需重視任務的有效性，做到因材施教，以保證教學效果。教師需指導學生自主分析、解決問題。

由12+22+32+…+n2=1+(1+2+1)+(1+2+3+2+1) +…+[1+2+3+…+n+(n-1)+…+2+1]與13+23+33+…+n3=12×1+22×2+32×3+…+n2×n =1+(1+2+1)2+(1+2+3+2+1)3+…+[1+2+3+…+n +(n-1)+…+2+1]n，易歸納并證得S=1k+2+2k+2+3k+2+…+nk+2=1k+22×2k+32×3k+…+n2×nk1k+(1+2+1)2k+(1+2+3+2+1)3k+…+[1+2+3+…+n +(n-1)+…+2+1]nk。

因而可構造數陣

不難發現，這個數陣與自然數等冪和問題有密切聯系，不妨稱其為自然數冪和數陣。我們可以利用這個數陣給出前n個自然數平方和公式與立方和公式的直觀模型。

1.當k=0時，數陣為

數陣所有項之和為S=12+22+32+…+n2。若將數陣中的所有項按數陣中新給出的線路相加，又可得所

換一個角度看，將數陣左下部分逐行相加，再將右上部分逐列相加，數陣中所有項的和

從以上過程可見，自然數冪和數陣在數列求和問題中有獨特作用。

2.當k=1時，數陣為

這時，數陣所有項之和為S=13+23+33+…+n3。

通過觀察可以發現這個數陣的各行各列均為等差

數列，其通項為aij=ij，所有項之和

換個角度觀察數陣，易看出數陣的第k列的n個數之和是第1列的n個數之和的k倍，故所有項的和應為第1列的n個數之和的倍，從而可以直觀地看出等式成立。

方形數陣的求和運算及其應用問題，是數列問題的自然延伸，在數列章節教學中，將這些內容作為探究式教學素材，可以幫助學生拓寬認知視野，提高學習興趣，從更高層面理解數列的概念與相關知識間的關系。

［1］王欽敏.教材邊上好數學［M］.福州：福建人民出版社，2014.

［2］王欽敏.如何對數學教材進行有益的拓展與改造［J］.數學通報，2013(1).

［3］余明芳，王欽敏.例談高中數學探究性課題的選擇與教學設計［J］.數學通報，2015(11).

（責任編輯：萬丙晟）

福建省教育科學“十三五”規劃2016年度重點課題“中學生發現數學問題能力的培養研究”（項目編號：FJJKCGZ16-177）。