具有工作休假的離散時間Geo/Geo/1重試排隊系統

彭懿

DOI：10.7612/j.issn.10002537.2017.02.015

摘要研究了具有工作休假的離散時間Geo/Geo/1重試排隊系統. 服務臺具有工作休假模式，休假時間服從幾何分布并且不能被打斷. 分析了此排隊系統的馬氏鏈， 得到了系統穩態存在的充要條件. 利用系統演化的平衡方程組求出了重試組隊長和服務臺狀態的聯合平穩分布. 最后利用重試組隊長的概率母函數， 進一步得到了一系列重要的排隊性能指標.

關鍵詞離散時間重試排隊系統；工作休假；擬生滅過程

中圖分類號O122文獻標識碼A文章編號10002537（2017）02008906

The DiscreteTime Geo/Geo/1 Retrial Queue with Working Vacations

PENG Yi*

（Junior Education Department， Changsha Normal University， Changsha 410100， China）

AbstractThe classical Geo/Geo/1 retrial queue with working vacations was studied， where working vacations are geometric distributed and cannot be interrupted. The Markov chain underlying the considered queueing system was analyzed and its stability condition was derived. Using the balance equations， the steadystate joint distribution of the number of customers in the obit and the states of the server was obtained. Furthermore， the generating functions of the number of customers in the orbit was found and some performance measures of the system in the steadystate was presented.

Key wordsdiscretetime retrial queues； working vacations； QBD

近年來， 越來越多的文獻探究了重試排隊系統， 特別是連續時間重試排隊系統. 重試排隊系統是指顧客到達系統時， 若發現服務臺空閑則立即接受服務； 若發現服務臺忙但有空的等待位置， 則按某種排隊規則在隊列中等待服務； 若發現服務臺忙且所有的等待位置均被占據， 則進入重試組不斷重試直到成功接受服務. 重試排隊系統廣泛應用于電話交換系統， 通信網絡以及計算機網絡等領域. 電話訂票系統和網上訂票系統都可理解為重試排隊系統， 包括無線網絡的計算機和具有以太網類協議的局域網. 有關重試排隊系統的主要研究方法和成果， 有Yang和Templeton[1]， Falin[2]以及Falin和Templeton等[3]. 目前重試排隊系統的研究主要集中于連續時間的情形. 然而， 在一些應用中， 離散時間重試排隊系統比連續時間重試排隊系統更加適合模擬計算機通訊系統和電信系統. 這是因為在許多通信系統中， 時間被劃分為可作為一個時間單位的時隙. 例如， 在ATM網絡中， 每個單元具有固定的大小和服務時間. 系統從一個狀態轉換到另一個狀態只發生在時隙的開始或結束. 盡管離散時間重試排隊系統十分重要， 關于這方面的研究工作卻很少.

在過去三十年中， 很多學者致力于研究休假排隊系統. 休假是指服務臺終止在隊列中服務， 服務臺可能正在修復， 或者是被迫停止服務. 休假排隊系統已廣泛用于通信系統， 計算機網絡， 生產管理， 業務管理的性能分析等許多現實生活應用中. 關于休假排隊系統的文獻參見Doshi[4]， Takagi[5]以及Tian和Zhang[6]等. 在這些研究中， 通常假設服務器在休假期間停止服務. 最近， 越來越多的學者感興趣于工作休假排隊系統. 工作休假是指當服務臺休假時并不完全停止服務， 只是服務速度比正常工作時的服務速度要慢. Servi和Finn[7]首先研究了M/M/1工作休假排隊系統. Wu和Takagi[8]將這項工作擴展到多重工作休假的M/G/1排隊系統. Baba[9]考慮了具有多重工作休假的GI/M/1隊列. Li[10]分析了具有工作休假的GI / Geo / 1離散時間排隊系統. Tian 等[11]研究了具有多重工作休假的Geo/Geo/1離散時間排隊系統. Li[12]分析了指數工作休假的M/G/1排隊系統. Chae[13]探究了單重工作休假的GI/M/1隊列和GI/Geo/1排隊系統. Goswami和Selvaraju[14]研究了多重工作休假的MAP/PH/1離散時間排隊系統. Do[15]考慮了工作休假的M/M/1重試排隊系統. Li等[16]研究了具有工作休假且休假可被打斷的離散時間Geo/Geo/1重試排隊系統. 然而， 他們的模型并不能包含具有工作休假且休假不能被打斷的離散時間重試排隊系統. 其次， 當其模型中的重試率趨于無窮時， 其穩定性條件與離散時間Geo/Geo/1隊列的穩定性條件不一致. 所以我們試圖重新探究具有工作休假的離散時間重試排隊系統.

本文重新探究具有多重工作休假的離散時間Geo/Geo/1重試排隊系統， 得到一系列非常重要的排隊性能指標. 本文的研究主要應用于無線網絡中的媒體訪問控制功能的性能分析[17].