關于高等數學極限部分教學的幾點改進

◎趙文雯

關于高等數學極限部分教學的幾點改進

◎趙文雯

極限既是整個高等數學的基礎，也是學生在學習高等數學中接觸的第一個和初高中掌握的概念形式不同的知識點。如果極限的概念和應用掌握不好，一方面對于后續的導數、積分等概念難以理解，還極易產生厭學的情緒。本文根據極限部分知識特點，針對極限概念引入及極限求解等方面給出了相關的教學改進建議，以達到引起學生興趣，便于學生理解和應用的目的。

高等數學是指相對于初等數學而言，數學的對象及方法較為繁雜的一部分。廣義地說，初等數學之外的數學都是高等數學，也有將中學較深入的代數、幾何以及簡單的集合論初步、邏輯初步稱為中等數學的，將其作為中小學階段的初等數學與大學階段的高等數學的過渡

極限作為高等數學中最先引入的知識點，既是難點也是重點，如果極限的概念和應用掌握不好，一方面對于后續的導數、積分等概念難以理解，還極易產生厭學的情緒。同時，除本科數學專業開設數學分析課程外，很多學習高等數學課程的專業并非數學類專業，因此學生本身的不重視加上課程有一定難度，經常會導致學生成績不理想的結果，因此對于高等數學基本概念，極限的引入與展開是一個值得深入探索的課題。

我國高校高等數學課程的教學水平各不相同，根據以往的研究發現，目前在高等數學課程的開設方面, 仍然存在著許多問題, 就課程的內容而言, 高等數學課堂上教師在教學中向學生灌輸大量的“定義、定理、推導、證明、計算”等，而對于概念的深入思考卻十分欠缺，導致概念與習題不能有效的對接，學生忽略對于理論本身的理解，進而在遇到更復雜的知識點時難以掌握，只能靠硬背來學習數學。據此，本文結合高等數學課程教學中遇到的問題，結合實際教學經驗，提出如下三方面的教學改進方案。

多角度詮釋極限的概念

極限在高等數學中的定義與在中學階段的“趨近于”之類描述是有差別的，學生第一次接觸用數學語言描述的極限定義，對于此類定義的理解有一定困難，因此在講授過程中重復性的強調是必須的，但單純的重復容易引起學生的厭學心理，因此需要從極限定義入手，除了書本上經常出現的以數軸為基礎的幾何描述方式外，積極探索不同角度的描述該概念的方法，讓同學們可以根據自己的思維方式選擇某一個角度對極限概念進行理解。

事實上，一直以來同學們對于函數的學習，遠多于對數列的學習，因此可以考慮將數列看做定義在正整數集上的函數，在二維平面中表示出數列，以體現極限定義的趨近效果，而非單純從一個數軸上進行幾何方面的觀察。如圖1中，以xn=1/n為例。

圖1

當用圖1中函數形式表示數列極限時，和同學們一直以來常見的圖像表示函數的視覺效果類似，通過實踐表明，很大一部分同學對該圖示的理解效果比對數軸形式的幾何描述理解效果更好。同時，在數列極限之后講解函數極限時，將圖1中的點直接連起來即可，兩個概念從圖像上看相關性更強，不會有脫節的感覺，同學們學習起來也更加流暢。

注重結論在實踐問題中的應用

生活離不開數學，數學離不開生活，數學知識源于生活而高于生活，最終服務于生活，數學就是人們用來解決實際問題的重要手段之一。在極限教學中，很多我們最早用來引出的極限的實例，其實通過后續的學習都是可以驗證的，只是教材上沒有體現，很多老師在講授的過程中也并沒有在意。同學們學習的過程中如果不能帶著問題去學習，學過了一些結論，不能用來解釋心中的問題，那么這種填鴨式教學，最終的教學效果也很難保證。因此在教學過程中如果可以積極的探索各個結論之間的相互印證，發現其中教材上并未體現的內在聯系，那么學生的學習過程也會經常遇到驚喜，進而培養學生的數學思維，刺激學生主動思考。

舉例來說，在學過第一個重要極限之時，學生會發現該極限與正弦函數有關，并且該極限的證明過程借助了圓形，在這樣的背景下，實際上可以借助第一重要極限反過來證明正多邊形趨近于圓，可以通過對圓的內接正n邊形面積求極限，驗證該面積趨近于圓的面積；也可以通過對圓的內接正n邊行周長求極限，驗證周長趨近于圓的周長；具體推導過程在借助第二重要極限的基礎上并不困難，不在此贅述。事實上，在進行了上述求解后，還可以提出問題：周長相等、面積相等的兩個平面圖形就是一樣的嗎？以此來引起學生學習數學的興趣，而對此問題最直接的解釋就是：周長相等的平面圖形，圓形的面積最大。

四、綜合整理極限的各種求解方式

在學生學習高等數學第一章時，最重要的考點就是求極限。而求極限問題情況多變，方法多樣。在教學中需要積極尋求有規律的求解思路，根據不同類型題目總結各種方法對應的類型題目，綜合實際問題進行系統的講解。為后期學習其他求極限方法做鋪墊。

通過對求極限方法與各類情況的初步總結，可暫時給出如下思路步驟：

1）直接將趨勢代入。當極限值為以下情況時可以直接得到結果：0，C，C/0，0/C，C/∞，∞/C，∞（其中C為非零常數）；

2）如果代入后不能得到以上形式的結果，則需要進行整理，常用手段如下：

① 0/0型：約分、有理化、等價無窮小。

② ∞/∞型：抓大頭法、同除xa。

③ 冪指函數：第二個重要極限。

④ 數列形式：求和公式、分解抵消、夾逼準則。

⑤ 其他形式：多個項相加減時嘗試通分。

3）利用第二步中的常用技巧處理原問題后再重復第一部代入嘗試求解，如果不可行，再繼續第二部，直到得到最終結果。

以上求解步驟隨著高等數學后續深入學習，還會有其他方法加入進來，在此框架下，當遇到其他求解方法時只要加入以上步驟即可，學生最終復習時可以作為統一的求解思路，指導自己進行求極限的復習。

綜上所述，極限作為高等數學的第一部分，其引入與講授對于學生掌握高等數學思想，養成適合自己的數學學習方法是尤為重要的。因此本著培養實踐型人才的理念，在單一的傳統教學方式下進行教學上的創新，以極限的概念為切入點，尋求一些促進學生學習興趣，打好高等數學學習基礎的教學改進方法是很有意義的，并且是十分必要的。

本文初步給出了三種教學改進方法，并給出了具體的例子及總結。通過對極限的概念多角度的詮釋，使得學生初學高等