一道經典不等式問題的多種證法

■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆(特級教師)

一道經典不等式問題的多種證法

■陜西省武功縣教育局教研室 李 歆(特級教師)

綜合法、分析法和反證法是數學證明的三種基本方法,下面利用這三種方法給出一道經典不等式問題的多種證明方法,供同學們學習參考。

題目： 已知a,b,c∈R+,求證:a3+b3+c3≥3abc。

一、綜合法

本題可分別從作差比較法和作商比較法入手,利用熟知的立方和公式或和的立方公式以及基本不等式a2+b2≥2ab,以及a2+b2+c2≥ab+bc+ca進行證明。

證法一:

a3+b3+c3-3abc

=a3+3a2b+3ab2+b3+c3-3a2b-3ab2-3abc=(a+b)3+c3-3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2] -3ab(a+b+c)

=(a+b+c)[(a+b)2-(a+b)c+c2-3ab]

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bcca)≥0。

因此,a3+b3+c3≥3abc。

證法二:

a3+b3+c3-3abc

=(a+b+c)3-3a2b-3ab2-3b2c-3bc2-3c2a-3ca2-9abc

=(a+b+c)3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)

晞月嘆口氣：“從前雖然都是側福晉，我又比她年長，可是我進府時才是格格，雖然后來封了側福晉，可旁人眼里到底覺著我不如她，明里暗里叫我受了多少氣？同樣這個鐲子，原是一對的，偏要我和她一人一個，形單影只的，也不如一對在一起好看。”

=(a+b+c)[(a+b+c)2-3(ab+bc+ca)]

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bcca)≥0。

因此,a3+b3+c3≥3abc。

證法三:

a3+b3+c3-3abc

=(a+b+c)(a2+b2+c2)-a2b-ab2-b2c-bc2-c2a-ca2-3abc

=(a+b+c)·(a2+b2+c2)-(a+b+c)(ab+bc+ca)

=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bcca)≥0。

證法四:

所以a3+b3+c3≥3abc。

證法五:

證法六:

二、分析法

證法七:

要證a3+b3+c3≥3abc,只需證(a+b+c)3≥3(a2b+ab2+b2c+bc2+c2a+ca2)+9abc,即證(a+b+c)3≥3(a+b+c)(ab+bc+ca),(a+b+c)2≥3(ab+bc+ca),也即證a2+b2+c2≥ab+bc+ca,此不等式顯然成立,所以a3+b3+c3≥3abc。

證法八:

以上兩種證法,雖然采用的都是分析法,但是完全不是前面六種綜合證法的逆推,每種證法都是在等價轉化中進行,由此充分體現了這道經典不等式問題所蘊含的數學思想和知識含量。

三、反證法

假設要證的不等式不成立,如何得到矛盾的結論,是反證法證明的關鍵。對此題來說,放縮法不失為一種有效方法。

證法九:

假設a3+b3+c3＜3abc,則有(a+b+c) (a3+b3+c3)＜3abc(a+b+c)。

故a4+b4+c4+(a3b+ab3)+(b3c+bc3)+(c3a+ca3)＜3abc(a+b+c)。

因為a4+b4+c4+(a3b+ab3)+(b3c+bc3)+(c3a+ca3)≥a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2,所以a4+b4+c4+2a2b2+2b2c2+2c2a2＜3abc(a+b+c)。

故(a2+b2+c2)2＜3abc(a+b+c)。

又因為a2+b2+c2≥ab+bc+ca,所以(ab+bc+ca)2＜3abc(a+b+c)。(※)

但(ab+bc+ca)2=(ab)2+(bc)2+(ca)2+2abc(a+b+c)

≥ab·bc+bc·ca+ca·ab+2abc(a+b+c)=3abc(a+b+c)。

與(※)式矛盾,所以假設不成立。

因此,a3+b3+c3≥3abc。

此證法通過對不等式的等價變形,看起來將簡單的不等式變成了復雜的不等式,但是卻為放縮法的運用搭建了平臺,使問題解決實現了根本性的轉變。

(責任編輯 徐利杰)