復數及推理與證明全國名校測試題

■河南省虞城縣高級中學 何海濤

復數及推理與證明全國名校測試題

■河南省虞城縣高級中學 何海濤

一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,共60分。每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的)

A.一 B.二 C.三 D.四

3.關于合情推理和演繹推理,下列說法錯誤的是( )。

A.合情推理包括歸納推理和類比推理

B.合情推理的結論一定為真

C.演繹推理的主要形式是“三段論”

D.演繹推理中當前提為真時,結論必然為真

A.2 B.-2 C.0 D.1

5.已知復數z滿足z z1=z1-2z且有z1=-2+i(i為虛數單位),則=( )。

6.用反證法證明命題“四邊形的內角中至少有一個不大于90°”時,應假設的內容是( )。

A.四個內角至多有一個大于90°

B.四個內角都不大于90°

C.四個內角都大于90°

D.四個內角至多有兩個大于90°

8.下列推理中屬于歸納推理且結論正確的是( )

A.設數列{an}的前n項和為Sn,由an= 2n-1,求出S1=12,S2=22,S3=32,…,可推斷:Sn=n2

B.由f(x)=xco sx滿足f(-x)= -f(x)對?x∈R都成立,可推斷:f(x)= xco sx為奇函數

C.由圓x2+y2=r2的面積S=πr2,推斷:橢圓=1(a＞b＞0)的面積S= abπ

D.由(1+1)2＞21,(2+1)2＞22,(3+1)2＞23,…,推斷:對一切n∈N+,(n+1)2＞2n

A.0 B.-1 C.1 D.2

10.設集合M={y|y=|s i nx+co sx|, x∈R},并且集合N=,則集合M∩N=( )。

A.(0,1) B.(0,1]

C.[0,1) D.[0,1]

11.已知雙曲線的中心在坐標原點,F為左焦點,A為實軸右頂點,B為虛軸上頂點,當 ,此類雙曲線被稱為“黃金雙曲線”。類比“黃金雙曲線”可推算出“黃金橢圓”的離心率為( )。

12.一個同學看到一組數據如下:

1212221222221222222212222222221

……。如果以此規律繼續下去,得到一系列的數字,那么在前2017個數字中數字“2”的個數為( )。

A.1970 B.1971C.1972 D.1973二、填空題(本大題共4小題,每小題5分,共20分)

13.若復數z=(x2-3x+2)+(x2-4)i(i為虛數單位,x∈R)是純虛數,則x=____。

14.已知復數z1=1+i,z2=1-i(i為虛數單位),下面關于復數z1,z2的命題正確的是____。

①p1:z1=z2;②p2:z21=z22;③p3:z1,z2互為共軛復數;④的虛部為i。

16.用數學歸納法證明:1+2+3+…+n3=時,則當n=k+1時,左端應在n=k的基礎上加上的項的個數為____個。

三、解答題(本大題共6小題,共70分。解答應寫出必要的證明過程或演算步驟)

17.(本小題滿分10分)

問實數m為何值時,復平面內表示復數z= m-1+(m2-9)i(i為虛數單位)的點:

(1)位于實軸上;

(2)位于第二或第四象限;

(3)位于拋物線x2=y上。

18.(本小題滿分12分)

設復數z=3s i nθ-4co sθi(i為虛數單位)。

(2)若復數z所對應的點在直線x+2y=0上,求s i n 2θ+co s 2θ的值。

19.(本小題滿分12分)

20.(本小題滿分12分)

21.(本小題滿分12分)

設0＜a,b,c＜1,求證:(1-a)b(1-b)c,(1-c)a,不可能同時大于

22.(本小題滿分12分)

蜜蜂被認為是自然界中最杰出的建筑師,單個蜂巢可以近似看成是一個正六邊形,圖形采用環繞鑲嵌模式,其中第一個圖有一個蜂巢,第二個圖有七個蜂巢,第三個圖有十九個蜂巢,按此規律,以f(n)表示第n幅圖的蜂巢總數。

(1)試給出f(6),f(10)的值,并寫出f(n)的表達式(不要求證明);

1.B 2.C3.B 4.B 5.B 6.C7.A 8.A 9.C10.C11.B

12.C提示:由這組數據規律發現:

“2”出現的次數為1,3,5,7,…,2n-1;

“1”則在其后每組出現一次。

故1+3+5+…+(2n-1)+n=2017。

則n2+n=2017,44＜n＜45。

則有45個“1”,2017-45=1972(個)“2”。

故選C。

13.x=1

14.③

16.3k2+3k+1

17.由題意知復數z的實部為m-1,虛部為m2-9。

(1)當點在實軸上,虛部為0,則m2-9=0,m =±3。

(2)當點位于第二或第四象限時,實虛部異號,則(m-1)(m2-9)＜0,m＜-3或1＜m＜3。

(3)位于拋物線x2=y上時,(m-1)2=m2-9,解得m=5。

18.復數z=3s i nθ-4co sθi。

19.假設方程f(x)=0有負根x0(x0≠-1),則x0＜0且x0≠-1,f(x0)=0。

又因為a＞1,所以0＜ax0＜1,因此0＜與假設x0＜0且 x0≠-1矛盾,因此,方程f(x)=0沒有負數根。

(2)假設n=k(k≥2,且k∈N+)時命題成立,即

故命題成立。

由(1)(2)知,原不等式在n∈N+,n≥2時均成立。

21.假設(1-a)b,(1-b)c,(1-c)a三個值均大于。

22.(1)f(6)=91,f(10)=271。

f(2)-f(1)=7-1=6。

f(3)-f(2)=19-7=2×6。

f(4)-f(3)=37-19=3×6。

f(5)-f(4)=61-37=4×6。

因此,當n≥2時,有f(n)-f(n-1)=6(n -1)。

f(n)=[f(n)-f(n-1)]+[f(n-1)-f(n -2)]+…+[f(2)-f(1)]+f(1)

=6[(n-1)+(n-2)+…+2+1]+1

=3n2-3n+1。

又f(1)=1=3×12-3×1+1,所以f(n)= 3n2-3n+1。

(責任編輯 徐利杰)