辛對偶體系下薄壁圓柱殼強迫振動響應分析

李榆銀　張亞輝　秦朝紅

摘要：在辛對偶體系下，采用波傳播分析方法研究了薄壁圓柱殼在簡諧外力作用下的強迫振動響應。首先，通過Hamilton函數將薄壁圓柱殼的振動問題導入辛對偶體系；然后，通過求解辛本征問題建立了具有共軛辛正交性質的波形矩陣，并將物理空間中的問題轉換到波形空間中進行描述；最后，結合外力作用處和邊界處的位移和內力協調關系，以及圓柱殼軸向的波傳播關系，得到圓柱殼任意位置處的波幅表達式。與振型疊加法相比，此方法對高頻振動問題具有更高的計算精度和效率。另外，此方法可方便地處理復雜邊界條件。算例考慮了不同邊界條件的情況，與振型疊加法或NASTRAN的結果進行比較，驗證了此方法的有效性。

關鍵詞：強迫振動；薄壁圓柱殼；辛對偶體系；波傳播方法

引言

薄壁圓柱殼結構廣泛應用于土木、機械、航空航天和海洋等工程領域。近年來，國內外學者針對薄壁圓柱殼在復雜環境動荷載作用下的振動問題進行了大量的研究，發展了許多數值和解析的分析方法。以有限單元法為代表的數值方法通常用于處理結構或邊界條件比較復雜的情況，而解析方法能夠提供對問題的物理本質的認識，且更容易獲得一些規律性的結論，因此更適合對一些基本構件進行機理性的力學分析。在薄壁圓柱殼振動問題的解析方法中，基于梁函數的振型疊加法和基于波傳播的方法是最常見的兩種方法。

由于薄壁圓柱殼的軸向振型接近相同邊界條件梁的振型，因此在使用振型疊加法時，可采用軸向梁函數和周向三角函數的組合形式來描述薄壁圓柱殼的解析振型。王宇等采用振型疊加法研究了薄壁圓柱殼在簡諧激勵和沖擊激勵下的響應。Lee等利用振型疊加法分析了兩端簡支約束的層合薄壁圓柱殼在脈沖激勵下的動力學響應。Khalili等研究了有初始壓力的復合材料薄壁圓柱殼的自由振動特性和強迫振動響應。由于梁的振型函數僅在兩端簡支邊界條件下才有解析解，而其他邊界條件的振型函數需要通過求解超越方程得到；同時當圓柱殼在軸向存在厚度不連續情況時，比如有環肋或者篦齒，則很難確定其軸向振型函數，因此基于軸向梁函數的振型疊加法僅能處理相對簡單的問題。另一方面，采用振型疊加法處理結構高頻振動問題時需要大量的振型參與疊加，振型的截斷可能會導致精度或者計算效率問題。

基于波傳播分析的方法也被廣泛應用于薄壁圓柱殼的振動問題。zhang等采用波傳播法研究了薄壁圓柱殼自由振動特性，并進一步將研究拓展到了充液圓柱殼和水下圓柱殼的情況。Li將圓柱殼的軸向波形采用梁函數來近似，結合波傳播法研究了不同邊界條件下圓柱殼的振動特性，并對這種方法的精度進行了詳細的驗證和討論。Chen等采用波傳播方法研究了存在厚度不連續的圓柱殼模型的自由振動和強迫振動問題，考慮了經典邊界條件和彈性邊界條件等不同的情況。馬旭等在波傳播分析方法的基礎上，采用一種改進的傅里葉級數來模擬彈性約束邊界條件下的軸向波形，研究了邊界條件對圓柱殼振動特性的影響。基于波傳播的分析方法能提供連續體振動的物理本質上的解釋，在處理復雜邊界條件時有著天然的優勢，這是振型疊加法所不具備的。此外，振型疊加法需要同時對周向振型和軸向振型進行截斷，而波傳播分析法只涉及對周向波數的截斷，因此在處理高頻振動問題時，后者的優勢將更加明顯。

考慮到波傳播分析方法具有的上述優勢，張亞輝等將其與辛狀態空問理論結合，提出了針對矩形薄板和板列結構穩態受迫振動問題的辛空間波形展開方法，并將其應用于結構的中高頻振動分析以及功率流分析。這種方法不僅具有波傳播分析方法的優勢，同時還繼承了辛方法高精度和高數值穩定性的特點。xu等將圓柱殼在沖擊作用下的動態屈曲問題導人哈密頓體系，在辛空間中將臨界屈曲載荷和動態屈曲模態歸結為辛本征值和本征函數的求解問題，并討論了臨界屈曲載荷的影響因素以及屈曲模態的發生、發展規律。在此基礎上，本文將辛空問波形展開方法推廣到薄壁圓柱殼強迫振動分析。首先將薄壁圓柱殼的振動問題導人由對偶變量表示的Hamilton體系，然后通過求解本征值問題得到波傳播參數和波形，最后通過波的入射、反射以及傳播關系得到各波幅的表達式。本文方法在辛對偶體系下進行求解，使得分離變量法及辛本征函數展開的直接解析法得以實施。與振型疊加法相比，本文的方法在處理復雜邊界條件方面優勢明顯，且對于高頻振動問題，具有更高的計算效率和精度。