含有Siegel盤的多項(xiàng)式的擾動(dòng)

徐 玲, 楊文鈺, 周 吉*

(1. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066; 2. 石河子大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 新疆 石河子 832000)

含有Siegel盤的多項(xiàng)式的擾動(dòng)

徐 玲1, 楊文鈺2, 周 吉1*

(1. 四川師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院, 四川 成都 610066; 2. 石河子大學(xué) 數(shù)學(xué)系, 新疆 石河子 832000)

討論具有Siegel盤且次數(shù)m>2的多項(xiàng)式P(z),構(gòu)造函數(shù)列

擬共形映射; Siegel盤; Hartogs延拓定理

1 預(yù)備知識(shí)

解析函數(shù)的Siegel盤的存在性是解析函數(shù)局部動(dòng)力學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容[1-4].設(shè)原點(diǎn)為解析函數(shù)的不動(dòng)點(diǎn),且在原點(diǎn)附近可表示為

f(z)=e2πiαz+O(z2),

(1)

這里α為無(wú)理數(shù).已經(jīng)知道:Siegel盤的存在性與α的性質(zhì)有很大的關(guān)系[3,5].設(shè)pn/qn是實(shí)數(shù)α的第k個(gè)漸進(jìn)分?jǐn)?shù),即是最佳有理逼近.如果

稱α為Brjuno數(shù),用B表示這些Brjuno數(shù)所組成的集合.G. A. Bogar[6]得到：當(dāng)α∈B,由(1)式所定義的函數(shù)f(z)在0點(diǎn)存在一個(gè)Siegel盤.J. C. Yoccoz[7]還得到：二次多項(xiàng)式在原點(diǎn)存在Siegel盤的充要條件是α∈B.因此,對(duì)于d次多項(xiàng)式

P(z)=e2πiαz+c2z2+c3z3+…+cdzd,

當(dāng)α∈B,如果對(duì)次數(shù)大于1的項(xiàng)進(jìn)行擾動(dòng),所得到的多項(xiàng)式仍然在原點(diǎn)存在一個(gè)Siegel盤.最近,文獻(xiàn)[8]得到如下結(jié)果.

引理 1.1[8]設(shè)f和fn是定義在原點(diǎn)的某個(gè)鄰域U上的解析函數(shù),其中

fn(z)=e2πiαnz+O(z2).

若對(duì)任意n,fn在原點(diǎn)都有Siegel盤,并且fn在U的任意緊子集上收斂于f,則f在原點(diǎn)也存在Siegel盤.

反過(guò)來(lái),如果一個(gè)解析函數(shù)在原點(diǎn)有Siegel盤,是否存在收斂于該函數(shù)的解析函數(shù)列,它的每個(gè)元素在原點(diǎn)處都有Siegel盤?就多項(xiàng)式的情形,本文對(duì)該問(wèn)題給出了正面的回答.

為了得到本文的結(jié)果,需要擬共形映射和多復(fù)變函數(shù)方面的一些基本知識(shí).

則稱f是擬正則的.

引理 1.3[10]對(duì)于區(qū)域Ω上的復(fù)值函數(shù)μ,‖μ‖∞表示μ在Ω上的本性上界,若μ是Lebesgue可測(cè)的且滿足‖μ‖∞<1,則稱μ為Ω上的一個(gè)Beltrami系數(shù).

引理 1.4[10]假設(shè)f:U→V是擬正則的,μ:V→C為Beltrami系數(shù),定義μ在f下的拉回

利用Hartogs延拓定理[12-13]可以得到下列結(jié)果.

引理 1.6 多復(fù)變解析函數(shù)無(wú)孤立零點(diǎn).

2 主要結(jié)果及證明

定理 2.1 假設(shè)次數(shù)(m>2)的多項(xiàng)式

P(z)=λz(1+a2z2+…+amzm-1),

λ=e2πiα,α是無(wú)理數(shù),在原點(diǎn)有Siegel盤S,那么存在函數(shù)列

Qn(z)=P(z)+Am-1(n)zm-1+…+A2(n)z2,

其中,Ai(n)(i=2,3,…,m-1)不全為0,(Qn)收斂于P,并且對(duì)每個(gè)n,Qn與P在原點(diǎn)都有Siegel盤,且包含原點(diǎn)的某鄰域S0.

注 2.1 當(dāng)m=2時(shí),J. C. Yoccoz[7]的結(jié)果表明上述結(jié)論仍成立.

證明 當(dāng)P僅有一個(gè)非零零點(diǎn)時(shí),借助于共形共軛,不妨設(shè)復(fù)平面上的m次多項(xiàng)式P形如P(z)=λz(cz-1)m,λ=e2πiα,α為無(wú)理數(shù),c是復(fù)平面上非零常數(shù),并且在原點(diǎn)有Siegel盤S.由文獻(xiàn)[14]知,存在

Qa(z)=P(z)+c(a)z2g(z),

對(duì)任意a滿足|a|<δ,都存在Siegel盤,并且包含原點(diǎn)的某鄰域S0,其中,f、g、c解析,c(0)=0,g(0)≠0.特別地,將a取為序列(1/n)有

因此,(Qn)收斂于P,并且對(duì)每個(gè)n,(Qn)與P在原點(diǎn)的Siegel盤包含原點(diǎn)的某鄰域S0.

當(dāng)P有2個(gè)不同非零零點(diǎn)時(shí),設(shè)復(fù)平面上的m次多項(xiàng)式P形如

P(z)=λz(z-z1)(z-z2)g(z),

λ=e2πiα,α為無(wú)理數(shù),非零零點(diǎn)z1≠z2,g(0)≠0,在原點(diǎn)有Siegel盤S,則有

P-1(S)?S∪S1∪S2,

其中,S1和S2分別是包含z1和z2的Fatou分支.選擇適當(dāng)?shù)摩?0使得D2ε(zi):={z∈C||z-zi|<2ε}?Si,i=1,2.選擇ξ(t)∈C∞,ξ(t):[0,+∞)→[0,1],其中,當(dāng)t≤1時(shí),ξ(t)=1;當(dāng)t≥4時(shí),ξ(t)=0.對(duì)a,b∈C,定義

Pa,b(z)=P(z)+

顯然,Pa,b∈C∞.令Λi={z∈C|ε≤|z-zi|≤2ε},i=1,2,則有

下面證明在a和b適當(dāng)?shù)娜≈捣秶鷥?nèi),Pa,b關(guān)于z是擬正則函數(shù).當(dāng)z∈C(Λ1∪Λ2)時(shí),有Pa,b(z)=P(z)或Pa,b(z)=P(z)+a或Pa,b(z)=P(z)+b.因此,Pa,b解析并且Pa,b在C(Λ1∪Λ2)上是擬正則的.當(dāng)z∈Λ1∪Λ2時(shí),Pa,b∈C∞.下面只需要計(jì)算在(Λ1∪Λ2)上的復(fù)特征

因?yàn)棣?t)∈C∞并且ξ′(t)有緊支撐,故

選擇合適的ε使得

因此

故μPa,b(z)關(guān)于a和b是解析映射.令δ=mε/(12M).若|a|<δ,|b|<δ有

所以,對(duì)z∈(Λ1∪Λ2),|a|≤δ以及|b|≤δ,有‖μPa,b‖≤1/2,其中,‖·‖是本性上界,Pa,b是3-擬正則的.因此μPa,b是Beltrami系數(shù).

接下來(lái)在復(fù)平面C上構(gòu)造不變的Belrtami系數(shù)μa,b.首先對(duì)Beltrami系數(shù)作拉回,并且拉回后仍然是Betrami系數(shù).

由于Pa,b的軌道只要進(jìn)入(Λ1∪Λ2),最終將留在S中.因此定義

μa,b(z):=

則有

其中,Pn表示P的n次迭代,IP-n(Λ1∪Λ2)表示P-n(Λ1∪Λ2)的特征函數(shù).由最后的和式可知μa,b(z)是可測(cè)的.此外,μa,b(z)關(guān)于a和b解析.由于區(qū)域(Λ1∪Λ2)關(guān)于P和Pa,b的原像在C(D2ε(z1)∪D2ε(z2))上且相等,則有

或者

則有

μa,b是Pa,b在C上不變得Beltrami系數(shù).由引理1.5知,存在擬共形映射φa,b:C→C,μφa,b=μa,b滿足φa,b(0)=0,φa,b(∞)=∞,φa,b(z1)=z1.令

Qa,b(z)-P(z)=Am(a,b)zm+

Am-1(a,b)zm-1+…A2(a,b)z2,

其中,Ai(i=2,3,…,m)和z無(wú)關(guān)并且關(guān)于a和b在|a|<δ和b|<δ上解析.

由于(a,b)=(0,0),記Q0,0:=Q,φ0,0:=φ有

Q(z)=φ°P°φ-1(z).

由于P在C上解析,則復(fù)特征μP=0,φ在C上是共形映射,即M?bius變換.由于φ(∞)=∞,φ(0)=0,φ(z1)=z1,φ是恒等映射,即Q=P.因此

Ai(0,0)=0,i=2,3,…,m.

由引理1.6,存在極限為(0,0)的收斂點(diǎn)列cn:=(an,bn),對(duì)任意n,0<|an|<δ,0<|bn|<δ,使得

Am(an,bn)=0,n=1,2,….

記(a0,b0)=(0,0),Ai(n):=Ai(an,bn),Qn:=Q(an,bn),則有

Qn(z)=P(z)+Am-1(n)zm-1+…+A2(n)z2.

由Ai解析且Ai(0,0)=0,i=2,3,…,m有

Am-1(n)zm-1+…+A2(n)z2)=P(z).

下面證明對(duì)任意正整數(shù)n,Qn≠P.事實(shí)上,只需證明存在整數(shù)k,2≤k≤m-1,Ak(n)≠0.

由于φn是擬共形的,因此在0<|an|<δ時(shí),φn(an)≠0.又由

Qn(z1)=P(z1)+Am-1(n)zm-1+…+A2(n)z2,

=Am-1(n)zm-1+…A2(n)z2.

因此

Am-1(n)zm-1+…+A2(n)z2=φn(an)≠0,

即存在整數(shù)k,使得2≤k≤n-1,Ak(n)≠0.

最后,證明對(duì)每個(gè)n,Qn與P在原點(diǎn)的Siegel盤包含原點(diǎn)的某鄰域S0.

在P的Siegel盤S上,Pa,b≡P且φa,b是共形的,故Pa,b有Siegel盤S,又

則對(duì)任意|a|<δ,|b|<δ,Qa,b有Siegel盤φa,b(S),且φa,b(0)=0,φa,b(∞)=∞,φa,b(z1)=z1,由文獻(xiàn)[15],函數(shù)族φa,b是3-擬共形的正規(guī)族,故φa,b是等度連續(xù)的.由此可知Qa,b與P在原點(diǎn)的Siegel盤φa,b(S)(|a|<δ,|b|<δ)包含原點(diǎn)某固定鄰域S0.

特別地,對(duì)于收斂于(0,0)的點(diǎn)列(an,bn),|an|<δ,|bn|<δ,(Qn)與P在原點(diǎn)的Siegel盤都包含鄰域S0.證畢.

[1] CARLESON L, GAMELIN T. Complex Dynamics[M]. New York:Springer-Verlag,1993.

[2] 呂以輦. 復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)[M]. 北京:科學(xué)出版社,1995.

[3] MILNOR J. Dynamics in One Complex Variable[M]. Princeton:Princeton University Press,2006.

[4] 任福堯,邱維元. 復(fù)解析動(dòng)力系統(tǒng)[M]. 上海:復(fù)旦大學(xué)出版社,1997.

[5] SIEGEL C L. Iteration of analytic functions[J]. Ann Math,1942,43(4):607-612.

[6] BOGAR G A. Oscillation properties of two term linear differential equations[J]. Transactions of the American Mathematical Society,1971,161:25.DOI:10.2307/1995925.

[7] YOCCOZ J C. Theorem de Siegel, nombres de Brjuno et polynomials ratiques[J]. Asterisque,1995,231:3-88.

[8] BUFF X, CHéRITAT A. A new proof of a conjecture of Yocooz[J]. Ann Inst Fourier, Grenoble,2011,61:319-350.

[9] BRANNER B, FAGELLA N. Quasicconformal Surgery in Holomorphic Dynamics[M]. Cambrige:Cambrige University Press,2014.

[10] 崔貴珍. 復(fù)分析[M]. 北京:科學(xué)出版社,2014.

[11] 李忠. 復(fù)分析導(dǎo)引[M]. 北京:北京大學(xué)出版社,2004.

[12] FRITZSCHE K, GRAUERT H. From Holomorphic Functions to Complex Manifolds[M]. New York:Springer-Verlag,2002.

[13] STEVEN G K. The Hartogs extension phenomenon redux[J]. Complex Variables and Elliptic Equations,2011,53(4):343-353.

[14] GEYER L. Siegel discs, Herman rings and the Arnold family[J]. Transactions of the American Mathematical Society,2001,353(9):3661-3683.

[15] LEHTO O, VIRTANEN K I. Quasiconformal mappings in the plane[J]. Die Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften,1973,90(24):11958-11959.

2010 MSC：37F50

(編輯 李德華)

Perturbation of a Polynomial with a Siegel Disk

XU Ling1, YANG Wenyu2, ZHOU Ji1

( 1.CollegeofMathematicsandSoftwareScience,SichuanNormalUniversity,Chengdu610066,Sichuan; 2.DepartmentofMathematics,ShiheziUniversity,Shihezi832000,Xinjiang)

In this paper, we show that for any polynomialP(z) of degreem>2 with a Siegel disk centered at 0, there exists a sequence of functions of formQn(z)=P(z)+Am-1(n)zm-1+…+A2(n)z2,whereallAi(n)(i=2,3,…,m-1) are not all equal to 0, such thatQnconverges toP. Moreover, eachQnhas a Siegel disk containing a fixed neighborhood of 0.

quasiconformal mapping; Siegel disk; Hartogs extension

2016-01-05

國(guó)家自然科學(xué)基金(11371266)、教育部博士點(diǎn)專項(xiàng)基金(20095134110001)和四川省應(yīng)用基礎(chǔ)研究項(xiàng)目(07JY029-013)

O174.5

A

1001-8395(2017)03-0285-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.001

*通信作者簡(jiǎn)介：周 吉(1963—),男,教授,主要從事復(fù)分析的研究,E-mail:zhouji@sicnu.edu.cn

Qn=P(z)+Am(n)zm+Am-1(n)zm-1+…+A2(n)z2,

其中Ai(n)(i=2,3,…,m-1)不全為0,使得Qn收斂于P.而且,對(duì)每個(gè)n,Qn在原點(diǎn)的Siegel盤都包含原點(diǎn)的某固定鄰域.