模糊邏輯中的一些問題與研究進展

裴道武

(浙江理工大學 理學院, 浙江 杭州 310018)

模糊邏輯中的一些問題與研究進展

裴道武

(浙江理工大學 理學院, 浙江 杭州 310018)

在過去的30多年里,模糊邏輯在理論和應用2個方面都取得了較大的進展.時至今日,在該領域中還存在一些值得關注的研究方向和研究課題.就以下4個問題對于這個領域的部分進展展開討論:為什么需要模糊邏輯?早期模糊邏輯有哪些不足?現代模糊邏輯有哪些主要成就?以及模糊邏輯未來何處去？

模糊邏輯; 三角模; 剩余蘊涵; 計量邏輯; 模糊推理

近年來,隨著人工智能技術的再次興起,作為人工智能核心理論基礎之一的模糊邏輯,也受到學術界的關注.

第1個問題 為什么需要模糊邏輯?

在回答這個問題之前,先簡要回顧邏輯學的發展歷程[1-4].

邏輯學,又稱為形式邏輯學,創立于古希臘時代,主要代表人物是亞里士多德(A. Aristoteles,384 B.C.—322 B.C.).形式邏輯學是研究人類思維與推理的學問;又稱為經典邏輯,或傳統邏輯.形式邏輯學包含三大定律:同一律、矛盾律和排中律.

到19世紀中葉,隨著數學的發展,數理邏輯學應運而生.數理邏輯學是用數學方法研究邏輯學的學問;也叫符號邏輯,或二值邏輯.其代表人物有英國邏輯學家布爾(G. Boole,1815—1864)和德國邏輯學家弗雷德(G. Frege,1848—1925).布爾的代表性著作為《邏輯的數學分析》(1847)和《思維規律的研究》(1854),而弗雷德的代表性著作為《概念演算》(1897).在弗雷德的工作中,命題演算的形式演繹系統已經成型.

經過眾多邏輯學家的工作,經典邏輯的形式演繹系統L逐步完善.在這個命題演算系統中,命題已經被形式化地用符號來表示,公式集合F(S)可以由原子公式集合S={p1,p2,…}通過命題聯結詞┐(非)、∧(合取)、∨(析取)、→(蘊涵)和?(等價)等生成.命題的真值域為二元集合{0,1},其中,0表示假,1表示真.

語義理論的基本概念亦已形成,包括賦值、重言式、矛盾式和可滿足式等.

語構理論的框架亦已建立,公理系統L包括3條公理和1條推理規則(假言推理規則,即modus ponens,簡記為MP).相應地,定理與證明、理論與結論等概念也已經系統化.特別地,這個系統的可靠性與完備性也已經獲得證明.

幾千年來,經典邏輯已經成為人類最重要的思想財富,構成了自然科學、人文社會科學的幾乎所有學科共同的邏輯基礎.

盡管經典邏輯在人類科學技術發展史中發揮了十分重要的作用,它還是有其局限性的.比如,人類在處理不確定性問題和現象時,常常受到排中律的約束,科學研究、工程領域與包含人類的系統中遇到的許多問題的答案都不是非此即彼、黑白分明的.

在邏輯學歷史上,對于傳統邏輯中排中律的質疑導致了2次重大的突破.

第二次突破發生在20世紀60年代,其代表性成果是模糊集與模糊邏輯理論的建立.這個工作主要歸功于美國控制論專家扎德(L. A. Zadeh)[5]于1965年發表的開創性論文.

所謂模糊集(Fuzzy set),通俗地說,就是邊界不分明的集合;精確地說,就是從論域到[0,1]的映射,即隸屬函數.扎德在數學中首次引入程度化思想方法,將傳統邏輯中命題的真值集合擴展到實數的單位區間[0,1].

模糊邏輯的另一個代表人物是美國邏輯學家馬里諾斯(P. N. Marinos)[6],他于1969年首次建立了模糊邏輯的基本體系,并且將之應用于開關系統.

綜上所述,模糊邏輯的建立是人類認識水平不斷提高的必然產物,是人類處理模糊現象的必不可少的邏輯基礎;此后模糊邏輯的發展歷程也證實了這一點.

1 早期模糊邏輯的不足

早期模糊邏輯的主要研究領域包括:模糊邏輯命題聯結詞的研究(否定、析取、合取、蘊涵等),模糊邏輯電路的研究(模糊邏輯器件、邏輯函數的表示與極小化等),以及模糊邏輯系統的研究(代數結構、語義性質、量化命題研究等)[7-8].

在早期模糊邏輯的應用研究中,許多工作集中于模糊推理的模型與算法研究,以及模糊控制系統的建立和運用.

這里值得提到的是扎德于1973年提出了模糊推理的合成推理方法(compositional rules of inference),文獻中簡稱為CRI方法[9-11].

此后,英國控制論專家將CRI方法運用于控制領域,建立了模糊控制的理論和方法,并且將這個方法成功地應用于具體的控制流程;在學術界和工程領域產生了比較深遠的影響[12-13].

在模糊邏輯領域的第一個深刻的理論成果是由捷克邏輯學家帕維卡(J. Pavelka)[14]于1979年完成的.在他的3篇著名論文中,基于剩余格理論,建立了對應于盧卡西維茨蘊涵的2個形式系統(有限值和連續值情形),并且分別證明了它們的語義完備性.

第2個問題 早期模糊邏輯有哪些不足?

要回答這個問題,不得不提到發生于1993年的一場關于模糊邏輯作用的大論戰.

1993年7月,在美國第11屆人工智能年會上,美國加州大學伯克利分校的愛坎(C. Elkan)[16]宣讀了題為“模糊邏輯似是而非的成功”的報告,隨即引起人工智能和模糊界的爭議,從而爆發了一場論戰.

此后,世界著名期刊《IEEE Expert》組織了專題討論,并且于1994年出版專集刊登了愛坎的大會報告與18位相關領域的知名專家的評論,同時刊登了愛坎對這些評論的答復.1995年,吳望名[17]在《模糊系統與數學》上刊文專題介紹了這場爭論.

盡管參與爭論的各位專家各持己見,似乎沒有得到能為各方接受的共識;但是,這場爭論對于模糊邏輯的發展卻起到了相當重要的推動作用.

筆者認為,這場學術論戰至少具有以下2個歷史作用:

首先,通過這場爭論,在主流人工智能界與模糊界之間實現了溝通,公開了學術界對模糊邏輯的一些片面認識,同時也暴露了模糊邏輯自身的缺陷與不足.

比如,在模糊邏輯的文獻中,“模糊邏輯”一詞存在2種不同的含義:一種用于表示經典邏輯的邏輯推廣,如模糊開關邏輯、邏輯聯結詞、形式演繹系統等;另一種則是模糊集合理論與方法的別稱.這種歧義也是引起爭論的重要原因之一.

通過這場爭論,扎德[18]提出了狹義模糊邏輯(fuzzy logic in narrow sense)與廣義模糊邏輯(fuzzy logic in wide sense)的名稱,分別對應于以上2種情形.

其次,這場爭論吸引了學術界對模糊邏輯的關注,有力地促進了模糊邏輯的發展,直接導致了現代模糊邏輯的誕生.

在這場爭論中,人們看到了模糊邏輯的一些不足之處.比如,模糊推理中缺少誤差的度量,導致復合推理鏈中誤差的積累影響到推理結果的精確度;這種重應用輕基礎的現象很普遍.又比如,模糊推理方法不符合邏輯要求,規則合成具有很強的隨意性;這種重推理輕邏輯的問題也是十分嚴重的,直接導致推理結果的可信度不高.另外,缺少模糊邏輯的形式化與實用化研究,這是重語義輕語構的傾向.

2 現代模糊邏輯研究的主要成就

筆者于2004年在文獻[19]中曾經對模糊邏輯十年(1993—2003)的若干進展做過一次綜述,主要圍繞模糊邏輯的形式化、謂詞邏輯系統,以及模糊推理的邏輯基礎等3個問題展開論述.本文也可以看成是文獻[19]的續篇.

第3個問題 現代模糊邏輯有哪些主要成就?

這個問題有點大,只能就筆者的理解,大致介紹在模糊邏輯近30年的發展歷程中6個方面的成就,包括:模糊邏輯的形式化研究、模糊邏輯與模糊推理的結合研究、廣義重言式理論、計量邏輯學、模糊蘊涵的研究,以及模糊數學的邏輯基礎.

第1個成就 模糊邏輯的形式化研究.

在眾多的模糊邏輯系統中,比較著名的模糊邏輯形式系統有形式系統L*、形式系統BL(Basic Logic)、形式系統MTL(Monoidal T-norm based Logic),以及形式系統Π.

王國俊[21-22]提出的形式系統L*由3個部分構成:公式集F(S):是由原子公式集S,通過命題聯結詞集合{┐,∨,→}生成的自由代數;公理集Axm(L*)中包含了14條公理(后來簡化為10條);推理規則集包含2條規則,即MP規則和交規則(后來簡化為一條,即MP規則).

回顧系統L*的研究歷程,1996—1997年,提出了語構和語義的基本形式[21-22];1998—2000年,主要是語構方面的研究[23-24];2000年提出了R0代數的理論[2];2002年,系統L*的完備性獲得證明[25-29].

由于歷史的緣故,基于三角模的模糊邏輯總是受到很多的關注[30-31].在這種模糊邏輯中,合取聯結詞由某個適當選擇的三角模T給出解釋;蘊涵聯結詞由T誘導的剩余蘊涵R(定義為R(a,b)=sup{c∈[0,1]-T(a,c)≤b},a,b∈[0,1])給出解釋;否定聯結詞由R的自然否定n(定義為n(a)=R(a,0),a∈[0,1])給出解釋;析取聯結詞則由T關于n對偶的三角余模S(定義為S(a,b)=n(T(n(a),n(b))),a,b∈[0,1])給出解釋.

因此,基于三角模的模糊邏輯可以由一個三角模完全給出解釋.

基于三角模的模糊邏輯系統具備許多優良的邏輯性質,這些性質基本反映了人類思維和常識推理的邏輯特征.因此,這種模糊邏輯系統已經被廣泛地應用于模糊推理和其它人工智能領域中.

在相關文獻中,基于三角模的模糊邏輯理論主要有2個:一個是基于連續三角模的模糊邏輯理論,另一個是基于左連續三角模的模糊邏輯理論[30].

基于連續三角模的模糊邏輯理論的創始人是捷克科學院院士哈耶克(Hjek:Basic Logic,BL)[20].

與系統BL對應的代數結構為BL代數,即滿足準線性和連續性的剩余格.

關于系統BL的完備性及對應的謂詞邏輯系統,已經有比較系統的研究成果.特別地,以下的標準完備性結論是十分重要的.

定理 2.1[32]系統BL是所有基于連續三角模的模糊邏輯的共同形式化.

基于左連續三角模的模糊邏輯理論由西班牙的愛斯太瓦(F. Esteva)和高德(L. Godo)于2001年共同創立的,他們稱之為基于三角模的Monoidal邏輯(Monoidal T-norm based Logic),簡記為MTL[33].

基于左連續三角模的模糊邏輯是基本邏輯BL的發展,其公式集合與BL相同,推理規則也只有1條,即MP規則.

系統MTL與BL的主要區別在于,MTL將合取聯結詞∧作為獨立的聯結詞,而且二者的公理略有相同,系統MTL的公理模式有10條.

系統MTL具有以下幾個重要的模式擴張:弱冪零極小邏輯(Weak Nilpotent Minimum),簡記為WNM;對合MTL邏輯(Involutive MTL),簡記為IMTL;以及冪零極小邏輯(Nilpotent Minimum),簡記為NM.

系統MTL的語義代數模型為MTL代數,即滿足準線性的剩余格.

關于系統MTL及其模式擴張的完備性及相應的謂詞邏輯系統研究,已經取得許多有意義的成果.特別地,以下標準完備性結論也是重要的.

定理 2.2[34]系統MTL是所有基于左連續三角模的模糊邏輯的形式化.

于2003年得到以下有趣的結果:

定理 2.3[35]1) 系統L*和NM是等價的,并且R0-代數和NM代數是同樣的代數系統.

根據這個結論,系統L*實際上是MTL的模式擴張.因此,這個系統也是基于三角模的模糊邏輯.事實上,這個邏輯就是基于冪零極小三角模的模糊邏輯,而R0蘊涵就是由冪零極小三角模誘導的剩余蘊涵[4].

在模糊邏輯理論中,考慮代數類之交的形式化問題也是有意義的工作.捷克邏輯學家辛特拉(P. Cintula)[36]于2001年考慮了幾個代數簇的交集的公理化:1)Π:MV代數類和Π-代數類的交;2)G:MV代數類和G?del代數類的交;3) GΠ:G?del代數類和Π-代數類的交;4)GΠ:以上3個代數類的交.這里,值得特別關注的是形式系統Π.

形式系統Π的構成:公式集F0(S)是由S生成的

型自由代數;推理規則有2條:MP規則和△-添加規則;公理模式有14條.

比較有影響的模糊邏輯形式化的其他工作還有:直覺主義邏輯IL(IntuionisticLogic)、乘加直覺主義線性邏輯MAILL(MultiplicativeAdditiveIntuionisticLinearLogic)、Monoidal邏輯ML(MonoidalLogic)、一致模邏輯UL(UninormLogic),以及格蘊涵代數的邏輯研究等[37-38].

第2個成就 模糊邏輯與模糊推理的結合研究.

已知模糊推理最基本的模型是模糊取式FMP(fuzzymodusponens):給出一個模糊規則“如果A,那么B”,翻譯為蘊涵式A→B,以及一個模糊輸入A*,尋求模糊輸出B*,其中A和A*是論域X上的模糊集,B和B*是論域Y上的模糊集.

以上推理模型可以形式化地表示為:

FMPA→B,A*?B*.

扎德[9-10]于1973年提出了CRI方法:首先使用適當的模糊蘊涵R,將A→B轉化為X×Y上的模糊關系R,它在點(x,y)處的隸屬度為

R(x,y)=R(A(x),B(y));

其次將小前提A*和模糊關系R做合成得到結果

B*:B*=A*°R,

王國俊[39,2]基于對模糊推理方法的分析,指出:在使用CRI方法求解FMP問題時,合成運算sup-∧不是十分合理的,背離了推理的語義蘊涵的原則.因此,他于1999年提出了模糊推理的新方法,叫做全蘊涵三I方法,簡稱為三I方法,作為對傳統的CRI方法的改進.

王國俊[2]又于2000年借助于部分賦值方法,將三I方法納入模糊邏輯的框架之中.

關于三I方法的文獻比較多,王國俊等[40]曾撰文對此進行綜述.這些研究主要集中于以下課題的工作:具體算法的研究、一般算法及其還原性的研究[41-43]、連續性的研究[44]、一階系統的研究[45]、邏輯基礎的研究[46-47]、三I方法的變異方法研究(反向算法、約束度算法、支持度算法、模糊熵算法)[48]、三I方法的應用研究(模糊控制器響應能力分析)[49-54]等.

另外,也有文獻討論更一般模糊推理模型的三I算法、區間值三I算法,以及模糊推理的非模糊形式[55].

第3個成就 廣義重言式理論的建立.

這方面的工作開始于1998年,這類文獻主要集中于討論不同多值邏輯與模糊邏輯系統中的廣義重言式理論、帶參數模糊邏輯系統中的廣義重言式理論,以及廣義重言式理論的應用(語構研究、推理研究)[56].

第4個成就 計量邏輯學的建立.

王國俊開創性地將數值計算的方法引入抽象的形式邏輯中,基于公式的平均真度概念,于1998年建立了積分語義學理論[2,57-58],并進而于2001年建立了計量邏輯學的理論體系[59-60].

在這方面的文獻中,大部分工作集中于公式的真度理論、公式間的積分相似度、公式間的偽距離、公式集中的近似推理,以及理論的相容度和發散度等[61-64];有關論述參見文獻[65-66].

第5個成就 模糊蘊涵的研究.

在邏輯系統的研究中,蘊涵起著非常重要的作用,而模糊蘊涵的研究已經成為模糊邏輯研究的重要方向.關于這方面的成就,建議參考文獻[67-68],這里不展開討論.

第6個成就 模糊數學的邏輯基礎研究.

在相關文獻中,已經被形式化的項目有:屬于關系(∈)、隸屬函數、模糊集的運算、擴展原理、模糊關系、模糊關系的運算、模糊關系類的結構、模糊預序關系、模糊相似關系、模糊分劃等.

模糊數學的若干項目在FCT中形式化后,論域中的元素x、模糊集、n元模糊關系、三角模*、剩余蘊涵R、取小運算、取大運算分別形式化為對象變量x、一元謂詞符號、n元謂詞符號、強合取&、蘊涵聯結詞→、弱合取∧、弱析取∨.

值得指出的是,關于模糊邏輯的代數研究工作,也取得了相當卓越的成就,這方面的工作參見文獻[70-71].

3 模糊邏輯研究的未來

第4個問題 模糊邏輯未來何處去?

模糊邏輯未來的主要研究方向有:模糊邏輯形式系統的研究、模糊推理合理性的研究、基于程度化的模糊推理方法的研究、模糊量詞的研究,以及模糊推理的應用研究等.

關于模糊邏輯形式系統的研究,盡管有了比較豐富的研究成果,但是仍然存在不少值得深入研究的課題.比如,基于一般三角模的模糊邏輯形式系統仍然有待建立;又如,模糊邏輯的形式系統已經有很多,那么這些系統的比較與選擇問題,也有待深入的討論;另外,與經典邏輯相比,許多模糊邏輯系統的邏輯性質還需要更深入的研究.

關于模糊推理的合理性問題,這是一個十分緊迫的研究課題.在這方面的研究已經有一些文獻涉及.比如:模糊推理的擾動或魯棒性問題研究[72-77]、模糊推理連續性研究[78,44]、基于重言式的模糊推理方法研究[79]、基于計量邏輯學的模糊推理研究[80],以及模糊推理邏輯基礎的研究[46-47]等.自然地,考慮基于相似度的模糊推理方法[81-82]的合理性問題也是有重要意義的.

關于模糊量詞的研究,主要有:帶有模糊量詞的邏輯系統研究[83]、量化命題的模糊推理研究[84]等.

關于模糊推理的應用研究,我們知道,邏輯的核心問題是推理,而推理的真正價值在于應用.模糊推理的主要應用領域有:模糊邏輯控制、模糊專家系統、模糊決策分析,以及模糊關系方程[49-54,85-86]等.

4 結論

本文簡要地介紹了最近30年來模糊邏輯研究的主要成果,就學術界關注的幾個問題展開了論述,這些問題包括:模糊邏輯的重要性、早期模糊邏輯的主要缺陷、現代模糊邏輯的主要成就,以及未來模糊邏輯的幾個發展方向.

值得指出的是,以上論述僅僅反映了筆者的見解,而且只限于筆者比較熟悉的狹義模糊邏輯的幾個研究領域,很難保證沒有遺漏,也可能存在偏見,歡迎國內外同行專家提出寶貴的批評意見.

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2010 MSC:03B50; 03B52; 68T27; 68T37

(編輯 余 毅)

Some Problems and Advances of Fuzzy Logic

PEI Daowu

(SchoolofSciences,ZhejiangSci-TechUniversity,Hangzhou310018,Zhejiang)

In the past thirty years, a great development has been done for fuzzy logic in both theory and application. Up to today, there still are some interesting directions and topics which are wirthy of further research. In this paper, we discuss some advances about the four problems: Why is fuzzy logic necessary? What shortcomings are there in the old fuzzy logic? What main results are there in the modern fuzzy logic? Where will fuzzy logic go in the future?

fuzzy logic; T-norm; R-implication; quantitative logic; fuzzy reasoning

2016-12-26

國家自然科學基金(11171308、61379018和61472471)

裴道武(1956—),男,教授,主要從事模糊邏輯與近似推理的研究,E-mail:peidw@163.com

O141.1

A

1001-8395(2017)03-0411-08

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.023