半群WD(n,r)的非群元秩和相關秩

羅永貴

(貴州師范大學 數學科學學院, 貴州 貴陽 550001)

半群WD(n,r)的非群元秩和相關秩

羅永貴

(貴州師范大學 數學科學學院, 貴州 貴陽 550001)

設自然數n≥3,RCDOn是有限鏈[n]上的正則保反序且壓縮奇異變換半群.對任意的r(1≤r≤n-1),記WD(n,r)={α∈RCDOn:|Im(α)|≤r}為半群RCDOn的雙邊理想.通過對其非群元和格林關系的分析,分別獲得了半群WD(n,r)的極小非群元生成集、非群元秩和非冪等元秩.進一步確定了當1≤l≤r時,半群WD(n,r)關于其理想WD(n,l)的相關秩.

保反序; 正則壓縮; 奇異變換半群; 非群元秩和非冪等元秩; 相關秩

設S是半群,G是S的子群,A是S的一個非空子集,α,ε∈S.若G是S的真子群,對S的任意子群T,有G?T可推出G=T,則稱G是S的極大子群.若存在S的一個極大子群G使得α∈G,則稱α是S的一個群元素,否則稱α是S的一個非群元素,S中所有群元素之集記為G(S).若ε2=εε=ε,則稱ε是S的一個冪等元,否則稱ε是S的一個非冪等元,A中所有冪等元之集記為E(A).易見,半群S中的冪等元一定是群元素但群元素不一定是冪等元,非群元素一定是非冪等元但非冪等元不一定非群元素.

通常一個有限半群S的秩定義為

rank(S)=min{|A|:A?S,〈A〉=S}.

如果S是由冪等元之集E(S)生成的,那么S的冪等元秩定義為

idrank(S)=min{|A|:A?E(S),〈A〉=S};

如果S是由非冪等元之集SE(S)生成的,那么S的非冪等元秩定義為

Nidrank(S)=min{|A|:A?(SE(S)),〈A〉=S};

如果S是由群元素之集G(S)生成的,那么S的群元秩定義為

Grank(S)=min{|A|:A?G(S),〈A〉=S};

如果S是由非群元素之集SG(S)生成的,那么S的非群元秩定義為

NGrank(S)=min{|A|:A?(SG(S)),〈A〉=S}.

半群S關于其子半群V的相關秩定義為

r(S,V)=min{|A|:A?S,A∩V=?,

〈A∪V〉=S}.

易見,半群S的冪等元秩一定是群元秩但群元秩不一定是冪等元秩,非群元秩一定是非冪等元秩但非冪等元秩不一定是非群元秩,rank(S)≤idrank(S),r(S,S)=0.

對于有限半群的秩、冪等元秩、非冪等元秩、群元秩、非群元秩及其相關秩的研究目前已有許多結果(如文獻[1-10]).

設[n]={1,2,…,n-1,n}(n≥3)并賦予自然數的大小序.Tn與Sn分別表示[n]上的全變換半群和對稱群,Singn=TnSn是[n]上的奇異變換半群.設α∈Singn,若對任意的x,y∈[n],x≤y推出xα≤yα,則稱α是保序的.記On為[n]上的保序奇異變換半群.若對任意的x,y∈[n],x≤y推出xα≥yα,則稱α是反序的.記Dn為[n]上的所有反序奇異變換構成的集合,令

DOn=On∪Dn.

顯然,DOn是Singn的子半群,稱為保反序有限奇異變換半群.設α∈DOn,若對任意的x,y∈[n],有

|xα-yα|≤|x-y|,

則稱α是DOn的壓縮元.令

CDOn={α∈DOn:(?x,y∈[n]),

|xα-yα|≤|x-y|},

則稱CDOn為[n]上的保反序且壓縮奇異變換半群.設α∈CDOn,若存在β∈CDOn使得α=αβα,則稱α是CDOn的正則元.令

RCDOn={α∈CDOn:?β∈CDOnα=αβα},

易證RCDOn是半群CDOn的子半群.此時,稱RCDOn為[n]上的正則保反序且壓縮奇異變換半群.記

WD(n,r)={α∈RCDOn:|Im(α)|≤r},

1≤r≤n-1,

易見WD(n,r)是RCDOn的子半群,且對任意的α∈WD(n,r),β,γ∈RCDOn,均有

|Im(βαγ)|≤r,

即

βαγ∈WD(n,r),

因而WD(n,r)是RCDOn的雙邊理想.文獻[1]獲得了保反序有限奇異變換半群DOn的理想

LD(n,r)={α∈DOn:|Im(α)|≤r}

的秩及LD(n,r)關于其理想LD(n,l)的相關秩.文獻[2]證明了保反序且壓縮有限奇異變換半群CDOn的星理想

W(n,r)=WD(n,r)∩On

的秩和非群元秩及W(n,r)關于其理想W(n,l)的相關秩.本文考慮正則保反序且壓縮奇異變換半群RCDOn的雙邊理想WD(n,r)的秩、非群元秩、非冪等元秩和相關秩,獲得了如下結果.

定理 1 設r∈[1,n-1],則Jr是WD(n,r)的生成集,即WD(n,r)=〈Jr〉.

定理 2 設r∈[2,n-1],則

NGrank(WD(n,r))=Nidrank(WD(n,r))=

rank(WD(n,r))=n-r+1.

定理 3 設1≤l≤r≤n-1,則

r(WD(n,r),WD(n,l))=

1 預備知識

為敘述方便,引用Green-等價關系[11].不難驗證,在半群WD(n,r)中L、R、J有如下刻劃:對任意的α,β∈WD(n,r)有:

(α,β)∈L?Im(α)=Im(β),

(α,β)∈R?Ker(α)=Ker(β),

(α,β)∈J?|Im(α)|=|Im(β)|.

易見

L?J, R?J.

記

Jk={α∈WD(n,r):|Im(α)|=k},k∈[1,r].

顯然J1,J2,…,Jr-1,Jr恰好是WD(n,r)的r個J-類,并且

WD(n,r)={α∈RCDOn:|Im(α)|≤r}=

不難驗證RCDOn具有如下包含關系的雙邊理想鏈

WD(n,1)?WD(n,2)?WD(n,3)?…?

WD(n,n-2)?WD(n,n-1)=RCDOn.

對任意的m∈[n],若

minA≤m≤maxA

都有m∈A,則稱A是[n]的凸子集.設x,y∈[n],x≤y,令

[x,y]={m∈[n]:x≤m≤y},

由保反序性和正則壓縮性容易驗證WD(n,r)中的元素α有如下表示:

對任意的a∈[1,n],則

易見

若k∈[2,r],r∈[2,n-1]且a,b∈[1,n-k+1],則:

或

Jk.

易見

且

文中要求n≥3.本文未定義的術語及符號參見文獻[12-13].

2 定理的證明

為完成定理的證明需要如下引理與推論.

引理 1 J1?J2·J2.

證明 對任意的a∈[n]都有

以下分3種情形證明J1?J2·J2.

引理 2 設k∈[2,r-1]且r∈[2,n-1],則Jk?Jk+1·Jk+1·Jk+1·Jk+1.

情形 1 當b≥2且a=1時,

則δ1,δ2,δ3,δ4∈Jk+1且α=δ1δ2δ3δ4;

則σ1,σ2,σ3,σ4∈Jk+1且α=σ1σ2σ3σ4.

情形 2 當b≥2且a>1時,

則δ1,δ2,δ3,δ4∈Jk+1且α=δ1δ2δ3δ4;

則σ1,σ2,σ3,σ4∈Jk+1且α=σ1σ2σ3σ4.

情形 3 當b≤n-k且a+k-1=n時,

則δ1,δ2,δ3,δ4∈Jk+1且α=δ1δ2δ3δ4;

則σ1,σ2,σ3,σ4∈Jk+1且α=σ1σ2σ3σ4.

情形 4 當b≤n-k且a+k-1

則δ1,δ2,δ3,δ4∈Jk+1且α=δ1δ2δ3δ4;

則σ1,σ2,σ3,σ4∈Jk+1且α=σ1σ2σ3σ4.

定理1的證明 由引理1和引理2可知,對任意的α∈WD(n,r)都可以表達成WD(n,r)的頂端J-類Jr中秩為r的若干元素的乘積或者α∈Jr.即,Jr是WD(n,r)的生成集,WD(n,r)=〈Jr〉.

引理 3 設r∈[2,n-1],則在Jr中存在基數為n-r+1的非群元素集合M,使得Jr?〈M〉.

證明 首先,構造Jr中基數為n-r+1的非群元素集合M.容易驗證:

令M={α1,α2,α3,…,αi-1,αi,αi+1,…,αn-r-1,αn-r,αn-r+1},顯然有

M?(Jr∩(W(n,r)G(W(n,r)))),

且這n-r+1個元素位于Jr中不同的L-類和不同的R-類.

其次,對任意的α∈Jr,驗證α∈〈M〉,即

Jr?〈M〉.

以下分2種情形驗證.

α=αiαi+1…αj-2αj-1,

當i=j>1時有

α=αiαi+1…αn-rαn-r+1α1α2α3…αj-1αjαj+1…

αn-rαn-r+1α1α2…αi-2αi-1,

當i=j=1時有

α=α1α2α3…αn-rαn-r+1α1α2α3…

αn-rαn-r+1,

當i>j>1時有

α=αiαi+1…αn-rαn-r+1α1α2α3…αj-1αjαj+1…

αn-rαn-r+1α1α2…αj-2αj-1,

當i>j=1時有

α=αiαi+1…αn-rαn-r+1α1α2α3…αj-1αjαj+1…

αi-1αiαi+1…αn-rαn-r+1.

α=αiαi+1…αj-2αj-1αjαj+1…αn-rαn-r+1α1α2α3…

αi-1αiαi+1…αj-2αj-1,

當i=j>1時有

α=αiαi+1…αn-rαn-r+1α1α2α3…αi-2αi-1,

當i=j=1時有

α=α1α2α3…αn-rαn-r+1,

當i>j>1時有

α=αiαi+1…αn-rαn-r+1α1α2α3…αj-2αj-1,

當i>j=1時有

α=αiαi+1…αn-rαn-r+1.

由引理3可知,對任意的α∈Jr(2≤r≤n-1)可以表達為M中若干元素的乘積或α∈M,即

Jr?〈M〉.

再由定理1,知M是WD(n,r)的生成集,即

WD(n,r)=〈M〉,

其中M的定義見引理3的證明過程.注意到|M|=n-r+1.于是,可得:

推論 1 設r∈[2,n-1],則:

NGrank(WD(n,r))≤n-r+1,

且

rank(WD(n,r))≤n-r+1.

引理 4 設α,β∈WD(n,r),若(α,β)∈J且(α,αβ)∈J,則(αβ,β)∈L且(α,αβ)∈R.

證明 設α,β∈WD(n,r),若(α,β)∈J且(α,αβ)∈J,由Green-等價關系可知

|Im(α)|=|Im(β)|=|Im(αβ)|.

注意到Im(αβ)?Im(β),Ker(α)?Ker(αβ)與[n]的有限性知

Im(αβ)=Im(β), Ker(α)=Ker(αβ),

再由Green-等價關系可得

(αβ,β)∈L,

且

(α,αβ)∈R.

定理2的證明 由引理4可知WD(n,r)的任意一個生成集都必須覆蓋Jr中每個L-類和R-類.注意到,當2≤r≤n-1時,Jr中共有n-r+1個L-類和n-r+1個R-類.進一步有

rank(WD(n,r))≥n-r+1,

且

NGrank(WD(n,r))≥n-r+1.

因此,結合推論1及其非群元秩一定是非冪等元秩,必有:M是WD(n,r)的非群元構成的極小生成集,且

NGrank(WD(n,r))=Nidrank(WD(n,r))=

rank(WD(n,r))=n-r+1.

定理3的證明 當l=r時,顯然有

r(WD(n,r),WD(n,l))=0.

當1≤l

WD(n,r)=〈M〉,M∩WD(n,l)=?,

|M|=n-r+1.

再由相關秩的定義,可知

r(WD(n,r),WD(n,l))=n-r+1.

綜合上述,證得

r(WD(n,r),WD(n,l))=

注 1 由引理1的證明可知

WD(n,1)=J1=E(J1).

于是,WD(n,1)不存在非群元秩.另一方面,注意到J1中有n個L-類和1個R-類,進而有

rank(WD(n,1))=idrank(WD(n,1))=

Grank(WD(n,1))=n.

[1] 羅永貴. 半群DOn中理想的秩和相關秩[J]. 吉林大學學報(理學版),2013,51(1):69-73.

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[11] GREEN J A. On the structure of semigroups[J]. Ann Math,1951,54(1):163-172.

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2010 MSC:20M20

(編輯 余 毅)

Non-group Rank and Relative Rank of the SemigroupWD(n,r)

LUO Yonggui

(CollegeofMathematicsScience,GuizhouNormalUniversity,Guiyang550001,Guizhou)

LetRCDOnbe the semigroup of all regular order-reversing and compressing singular transformations on a finite-chain [n] for eachn≥3, andWD(n,r)={α∈RCDOn:|Im(α)|≤r} be the two-sided ideal of the semigroupRCDOnfor an arbitrary integerrsuch that 1≤r≤n-1. By analyzing the non-group elements and Green’s relations, we obtain the minimal non-group elements generating set, non-group rank and non-idempotent rank of the semigroupWD(n,r). Furthermore, the relative rank of the semigroupWD(n,r) with respect to itself idealWD(n,l) is determined for 1≤l≤r.

order-reversing; regular compression; singular transformation semigroup; non-group rank and non-idempotent rank; relative rank

2016-10-10

貴州省科學技術基金-貴州師范大學聯合科技基金(黔科合LH字(2014)7056號)

羅永貴(1985—),男,講師,主要從事半群代數理論的研究,E-mail:luoyonggui851010@hotmail.com

O

A

1001-8395(2017)03-0308-05

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.005