p-內平凡kG-模上的Green對應

黃文林

(中國人民大學 信息學院, 北京 100872)

p-內平凡kG-模上的Green對應

黃文林

(中國人民大學 信息學院, 北京 100872)

將內平凡kG-模擴充為p-內平凡kG-模，并證明了若H是群G的強p-嵌入子群，那么Green對應建立了一個從不可分解p-內平凡kH-模的同構類到不可分解p-內平凡kG-模同構類之間的一一對應.

p-可除模；p-內平凡模； Green對應

在有限群表示論中，p-可除kG-模被稱為絕對p-可除kG-模，并被用于研究Green環中的冪零元素[1].文獻[2]從可裂跡模的角度對p-可除kG-模也進行了細致地研究，得到將張量積分解為不可分解模直和的方法，還得到與有限群表示相關的幾乎可裂序列的結論.

E. Dade[3]首次提出內平凡kG-模，內平凡kG-模在p-塊代數的穩定范疇上的自等價和Dade群的結構方面扮演著關鍵角色，而且與源模和源代數有關的一些問題可以約化到內平凡kG-模上來處理[3-5].本文利用p-可除kG-模，將內平凡kG-模擴充為p-內平凡kG-模.一方面，p-內平凡kG-模是內平凡kG-模的廣義化[3];另一方面，任何p-內平凡kG-模也是可裂跡模[2].由此，本文研究了一類特殊的可裂跡模——p-內平凡kG-模.

Green對應在有限群表示論中具有根本的重要性，沿著Green的工作思路，本文得到p-內平凡kG-模上誘導和限制的系列結論，特別地，證明了若H是群G的強p-嵌入子群，那么Green對應建立了一個從不可分解p-內平凡kH-模的同構類到不可分解p-內平凡kG-模的同構類之間的一一對應.

本文設定:p是素數，G是階含有素因子p的有限群，k是特征為p的代數封閉域；本文中所有的模都是有限生成的，所有的群都是有限群；關于本文的記號和術語，請參考文獻[6-7].

1 p-內平凡模及其Green對應

定義 1 對于kG-模V和素數p，若V的任意不可分解直因子的維數能被p整除，則稱V為p-可除kG-模[1].

讀者可證明下面的關于p-可除kG-模的基本結論.

引理 2 設U和V都是p-可除kG-模，W是kG-模，P是G的真p-子群,則:

1)P-投射kG-模是p-可除kG-模，特別地，投射kG-模是p-可除kG-模；

2)V*是p-可除kG-模；

3)U⊕V是p-可除kG-模，反之也成立；

4)U?W是p-可除kG-模；

5) Hom(U，V)是p-可除kG-模；

6)U的直因子是p-可除kG-模，特別地，k不是U的直因子，也不是End(U)的直因子.

2) 限制到代數封閉域k，任何不可分解kG-模是絕對不可分解的[1]，由此，本質上，p-可除kG-模是由素數p控制的，并且文獻[1]中的絕對p-可除kG-模即是本文中的p-可除kG-模.

3)p-可除kG-模是一個較大的模類，它包含所有的P-投射kG-模(特別地，所有的投射kG-模)，然而，平凡kG-模k不是p-可除kG-模,從而給出下面的定義.

定義 4 設V是kG-模，若內同態(自同態)模End(V)在kG-模同構的意義下可以分解為平凡kG-模k和p-可除kG-模U的直和，也即End(V)?k⊕U，則稱V是p-內平凡kG-模.

p-內平凡kG-模推廣了熟知的內平凡kG-模[3].平凡kG-模k是最簡單的p-內平凡kG-模，p-內平凡kG-模的維數與p互素，并且，p-可除kG-模一定不是p-內平凡kG-模.

引理 5 設V是p-內平凡kG-模，W是p-可除kG-模，則：

1)V⊕W是p-內平凡kG-模；

2) 在kG-模同構的意義下，V有唯一一個p-內平凡kG-模直因子.

證明 1) 一方面，有下面典范的kG-模同構

End(V⊕W)?End(V)⊕End(W)⊕
Hom(V，W)⊕Hom(W，V);

另一方面，由引理2得知End(W)、Hom(V，W)、Hom(W，V)都是p-可除kG-模.綜上得知End(V⊕W)是平凡kG-模k和p-可除kG-模的直和，也即V⊕W是p-內平凡kG-模.

2) 相反，設U是V的不可分解非p-可除直因子，則End(U)|End(V)，由Krull-Schmidt定理，以及V是p-內平凡kG-模得知End(U)=k⊕M，這里M是p-可除kG-模，再由定義4得知U是p-內平凡kG-模.

進一步，若X是V的另一個不可分解p-內平凡直因子，且U⊕X|V，則k⊕k|End(V)，矛盾.因此，在kG-模同構的意義下，V有唯一一個p-內平凡kG-模直因子.

引理5表明對于任何p-內平凡kG-模V，在kG-模同構的意義下，V是它的唯一的不可分解p-內平凡kG-模直因子和p-可除kG-模的直和.

引理 6 設G≥H，P是G的p-子群，U是kP-模，以及V是kG-模.

3) 若U不是p-可除kP-模，則IndGHU是p-可除kG-模當且僅當P是G的真p-子群.

證明 1) 由Krull-Schmidt定理可知結論成立.

然而，由Frobenius互反律[7]得知

引理 7 設G≥H，V是kG-模,則:

另一方面，

其中M是p-可除kH-模.

2) 設End(V)?k⊕Y，其中Y是p-可除kG-模,則

性質 8 設U和V都是p-臨界kG-模，則U*、U?V、Hom(U，V)也都是p-臨界kG-模,而且任何p-臨界kG-模都是p-內平凡kG-模.

證明 由引理2得知U*和U?V都是p-臨界kG-模，而且Hom(U，V)也是p-臨界kG-模；又因為k是p-內平凡的，結合引理5和7得知任何p-臨界kG-模都是p-內平凡kG-模.

性質 9 設V是p-內平凡kG-模,若V是不可分解的，則V的頂是G的西羅p-子群，并且V屬于G的滿虧p-塊；若V是H-投射的，則H包含G的某個西羅p-子群.

證明 反證法.若不可分解模V的頂P是G的真p-子群，則p|dim(V)，矛盾.所以P是G的西羅p-子群，并且V屬于G的滿虧p-塊.若V是H-投射的，則V的不可分解直因子仍是H-投射的，從而H包含G的某個西羅p-子群.

dim(V)=|G∶H|dim(U)，

所以p不能整除dim(V).與此同時，

(1)

稱H是群G的強p-嵌入子群，若p||H|且對于任意x∈G-H有p|H∩xH|；強p-嵌入子群在有限單群分類中有重要的應用；注意到群G的強p-嵌入子群H包含G的任何p-子群在G中的正規化子，以及若群G有平凡西羅交，則G一定有強p-嵌入子群.

證明 由定理10和強p-嵌入子群定義即知本結論成立.

設H是群G的子群，P是G的p-子群，并且G≥H≥NG(P)，著名的Green對應定理建立了頂為P的不可分解kG-模的同構類和頂為P的不可分解kH-模的同構類之間的一一對應[7].特別地，若P是G的西羅p-子群，V是不可分解p-內平凡kG-模，以及U是不可分解p-內平凡kH-模，下面的結論表明V的Green對應仍是p-內平凡的；然而，一般地，U的Green對應可能是，也可能不是p-內平凡的.

性質 13 設H是G的子群，P是G的西羅p-子群，并且G≥H≥NG(P)；又設U是不可分解p-內平凡kH-模，V是U的Green對應；若對于任何g∈G-H有p||G:H∩gH|，則V是不可分解p-內平凡kG-模.

定理 14 設H是G的子群，P是G的西羅p-子群，并且G≥H≥NG(P)；若H是G的強p-嵌入子群，那么Green對應建立了一個從不可分解p-內平凡kG-模的同構類到不可分解p-內平凡kH-模同構類之間的一一對應.

證明 當H是G的強p-嵌入子群時，推論11和性質12和13共同表明:不可分解p-內平凡kG-模V的Green對應是p-內平凡kH-模，以及不可分解p-內平凡kH-模U的Green對應是p-內平凡kG-模，而且它們有公共的頂P；既然U和V有公共的頂P，以及Green對應建立了具有公共頂的不可分解kG-模的同構類和不可分解kH-模同構類之間的一一對應，綜上得知Green對應在不可分解p-內平凡模上封閉，并且也建立了一個從不可分解p-內平凡kG-模的同構類到不可分解p-內平凡kH-模同構類之間的一一對應.證畢.

定理14說明若H是G的強p-嵌入子群，則不可分解p-內平凡模作為頂為P的不可分解模的子類，它的同構類也在從頂為P的不可分解kG-模到頂為P的不可分解kH-模的Green對應下保持封閉.

[1] BENSON D, CARLSON J. Nilpotent elements in the Green ring[J]. J Algebra,1986,104(2):329-350.

[2] AUSLANDER M, CARLSON J. Almost-split sequences and group rings[J]. J Algebra,1986,103(1):122-140.

[3] DADE E. Endo-permutation modules overp-groups II[J]. Ann Math,1978,108(2):317-346.

[4] BOLTJE R, XU B. OnP-permutation equivalences: Between Rickard equivalences and isotypies[J]. Trans Am Math Soc,2008,360(10):5067-5087.

[5] PEREPELITSKY P.p-permutation equivalences between blocks of finite groups[D]. San Diego:University of California,2014.

[6] THEVENAZ J.G-algebras and Modular Representation Theory[M]. New York:Oxford University Press,1995.

[7] WEBB P. A Course in Finite Group Representation Theory[M]. New York:Cambridge University Press,2016.

[8] CARLSON J, MAZZA N, NAKANO D. Endo-trivial modules for the general linear group in a nondefining characteristic[J]. Mathematics,2014,278(3/4):901-925.

[9] CARLSON J, THEVENAZ J. The classification of torsion endo-trivial modules[J]. Ann Math,2005,162(2):823-883.

[10] CRAVEN D. The modular representation theory of finite groups[D]. Birmingham:University of Birmingham,2006.

2010 MSC:20C05; 20C20

(編輯 周 俊)

The Green Correspondence for thep-EndotrivialkG-Modules

HUANG Wenlin

(Schoolofinformation,RenminUniversityofChina,Beijing100872)

In this paper, we extend the ordinary endo-trivialkG-module to thep-endotrivialkG-module, and prove that Green correspondence sets up a bijection between the isomorphism classes of the indecomposablep-endotrivialkG-modules and that of the indecomposablep-endotrivialkH-modules, whenHis stronglyp-embedded inG.

p-divisible module;p-endotrivial module; Green correspondence

2016-11-08

國家自然科學基金(10826057)

黃文林(1977—)，男，博士，主要從事有限群表示論的研究,E-mail:wenlinhuang@163.com

O152.6

A

1001-8395(2017)03-0320-04

10.3969/j.issn.1001-8395.2017.03.008