基于最大靈敏度的分數階內?？刂破髟O計

那景童,徐 馳

(1.大連交通大學 電氣信息學院，遼寧 大連 116028；2.北京化工大學 信息學院，北京 100029)

基于最大靈敏度的分數階內?？刂破髟O計

那景童1,徐 馳2

(1.大連交通大學 電氣信息學院，遼寧 大連 116028；2.北京化工大學 信息學院，北京 100029)

針對分數階控制器設計參數整定復雜的問題，提出一種基于最大靈敏度的分數階內?？刂破髟O計方法。采用粒子群優化算法對原系統模型進行簡化處理，根據內模控制原理設計分數階內?？刂破?；僅通過一個可調參數，實現分數階內模控制器的快速整定；通過最大靈敏度指標實現分數階內?？刂破鞯聂敯粽ā７抡娼Y果表明具有良好的控制品質及克服參數攝動的魯棒性。

分數階控制；模型簡化；內?？刂疲蛔畲箪`敏度

作為傳統整數階微積分的拓展，分數階微積分在控制領域受到越來越多的關注，特別是在分數階控制器設計與系統建模方面[1-2]。有關文獻指出，利用分數階微積分描述實際系統可以得到更加準確的系統模型，特別是對于熱工系統、粘彈性系統[3]。同時，對于分數階模型，采用分數階控制器能夠得到較傳統整數階控制器更好的控制性能，分數階控制效果更加細膩[4]。20世紀末，podluny提出了分數階PID控制器[5]，其一般格式記為PIαDβ。分數階PIαDβ控制器與傳統PID控制器相比，多了兩個可調參數(α,β)，當α=β=1時，控制器屬于常規PID控制器，由于α,β連續可調，因此分數階PIαDβ控制器具有更大的調節范圍、更強的魯棒性，為得到更優的系統動態性能創造了條件。但正是可調參數的增加增大了控制器參數的整定難度，文獻[6]提出基于控制系統期望帶寬的IMC-PIαDβ控制器，通過引入內模控制準則減少了分數階控制器的整定參數，但該方法設計過程中未考慮控制模型參數變化的情況，需要分析系統的頻率響應特性；當系統工作環境發生變化時，控制器性能會急劇下降。

針對上述問題，采用粒子群優化算法對原被控模型進行簡化，在簡化模型的基礎上將內?？刂扑枷胍氲椒謹惦A控制器設計中，利用內?？刂圃碛行p少分數階控制器參數的整定，并基于最大靈敏度指標實現了控制器的魯棒整定。

1 系統模型簡化和分數階內模控制器設計

1.1 系統模型簡化

文獻[7]針對分數階微分算子，采用改進的Oustaloup濾波器進行有理傳遞函數逼近，得到高階整數階模型，這使得系統控制器的設計變得更加復雜，所以針對分數階系統進行模型簡化是很有必要的。在模型簡化過程中大部分分數階模型都可以用式(1)模型結構進行逼近：

(1)

粒子群優化(PSO)算法[8]具有較強的全局搜索能力和魯棒性且不需要目標函數的特征信息，因此本文采用PSO算法進行模型簡化處理。其模型簡化的具體步驟如下：

(1)選取目標函數。本文所選目標函數為原系統模型和簡化模型的單位階躍響應誤差，即

(2)

式中，n為搜索次數，y(t)和ym(t)分別為原系統模型和簡化模型的單位階躍響應。

(2)確定搜索參數向量并進行初始化。本文選用簡化模型結構如式(1)，則搜索向量為θ=[k,T,α,L]，對待搜索參數進行隨機初始化，并隨機產生粒子種群、學習因子。本文所選粒子種群為M=35，c1=c2=1.5。

(3)評價每個微粒的位置適應值，計算其目標函數。

(4)對于每個微粒，將其適應值與微粒自身所經歷過的最好位置(pbest)進行比較，若更好，則將其替換為當前的pbest。

(5)對于每個微粒，將其適應值與整個群體所經歷過的最好位置(gbest)進行比較，若更好，則將其作為整個群體最優位置。

(6)截止條件判斷，若符合截止條件則輸出搜索向量，否則返回步驟(3)。

1.2 分數階內模控制器設計

內?？刂剖菍嶋H對象與對象模型相并聯，控制器取模型的動態逆，從而滿足閉環系統性能，并通過添加低通濾波器來增強系統的魯棒性。內?？刂频慕Y構如圖1，其中R(s)、Y(s)、D(s)分別為設定值、系統輸出和外來擾動,U(s)為控制率，Gp(s)和GFo(s)分別為實際被控對象模型和簡化模型。

圖1 內?？刂瓶驁D

(3)

分數階內?？刂破髟O計與內?？刂祁愃?，主要分為如下兩步：

(1)將簡化模型分解成可逆和不可逆兩部分：

(4)

(5)

(6)

式中，γ是為了保證系統的物理可實現，τ為濾波器f(s)參數，也是內模控制中唯一可調參數，減小τ系統動態性能得到提高但魯棒性變差，增大τ情況正好相反。

2 基于最大靈敏度的分數階內?？刂破鲄嫡?/h2>

過程控制中，用于控制器設計的系統模型一般都不夠精確。因此，控制器的設計應考慮對參數變化的魯棒性[9]?；谏鲜鏊釂栴}考慮，本文利用最大靈敏度Ms來設計FOIMC控制器(fractionalorderinternalmodelcontrol)。最大靈敏度定義為

(7)式中，C(jω)Gp(jω)為系統開環傳遞函數，最大靈敏度是指系統開環傳遞函數的Nyquist曲線與臨界(-1,0)的最短距離的倒數，其幾何解釋如圖2。

圖2 最大靈敏度幾何解釋

文獻[10]指出，Ms的取值范圍為1.1～2.5且Ms越小系統的魯棒性越強。如圖2，設相切點為C，則

Gl(jω)=C(jω)Gp(jω)。

(8)

在C點有：

(9)

(10)

式中，θ為過臨界點與C點的直線與負實軸的夾角。若GFo(s)=Gp(s)，由式(3)可得系統的開環傳遞函數為：

(11)

令

(12)

將式(11)代入到式(12)可得：

(13)

將式(13)代入到式(9)(10)，利用Matlab中fsolve函數求解可得到B與Ms的表達式：

(14)

可得濾波器參數τ與Ms的關系式：

(15)

再由給定的Ms可以得到濾波器f(s)的時間常數τ。

3 仿真及結果分析

考慮分數階被控對象[11-13]：

(16)

利用本文1.1節所提PSO優化算法對式(16)進行模型簡化，優化結果為

θ=[K,T,α,L]=[0.994 6,6.230 1,1.039 4,0.299 6]。

(17)

因此，可得式(16)的化簡模型為

(18)

針對簡化模型式(18)設計分數階內模控制器，這里取Ms=1.2，由本文2節控制器設計步驟可得分數階內模控制器為：

(19)

文獻[11]針對式(18)給出了最優分數階PID控制器為：

(20)

文獻[12]針對式(16)給出的一種分數階內模PID控制器為：

(21)

(22)

分別采用本文方法，文獻[11-13]方法得到系統的單位階躍響應如圖3。

圖3 系統單位階躍響應對比

從圖3可得，本文設計的分數階內模控制器相比文獻[11-13]所提控制器具有上升時間短、穩態誤差小、存在微小超調，綜合考慮本文所提分數階內模控制器具有良好的控制品質。

當系統參數發生變化時，即：

(23)

此時，系統單位階躍響應如圖4。為了有效說明本文所提控制器具有更好的控制品質和魯棒性，本文選取閉環系統的超調量δ%、調節時間、絕對時間誤差積分ITAE作為驗證系統控制品質的指標，見表1。由圖3、4和表1可得，本文方法與文獻[11-13]方法相比，都存在微小超調，綜合考慮本文所提控制器在動態響應和魯棒性方面均具有一定優勢。

圖4 模型失配時系統的單位階躍響應對比

方法簡化模型參數攝動后模型δ%調節時間ts/sITAEδ%調節時間ts/sITAE本文0.01433.6611.65390.0124.2113.5241文獻[11]0.01367.1092.93150.1837.24101.8423文獻[12]08.03141.63160.1859.12183.4213文獻[13]0.0876.0140.76840.118.0747.6533

4 結 論

本文針對以往分數階控制器參數整定復雜問題，提出一種基于最大靈敏度的分數階內模控制器設計方案。利用PSO算法對原系統模型進行簡化處理，然后將內模控制思想引入到簡化模型中設計分數階內模控制器，所得控制器僅有一個可調參數，再通過靈敏度指標Ms推導出控制器唯一

參數的數學表達式。仿真結果說明文章所提方法是行之有效的。

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(責任編輯 趙環宇)

A Design of Fractional Order Internal Model Controller Based on Maximum Sensitivity

NA Jing-tong1, XU Chi2

(1.School of Electrical Information, Dalian Jiaotong University, Dalian Liaoning 116028, China;2.School of Information, Beijing University of Chemical Technology, Beijing 100029, China)

With respect to the complexity of fractional order controller parameters tuning, a scheme of maximum sensitivity based fractional order internal controller is proposed. Firstly, the original model is simplified by using particle swam optimization (PSO) algorithm. Secondly, a fractional order controller is designed according to the principle of the internal model control (IMC) based on the simplified model. The proposed controller has only one adjustable parameter, through which the rapid tuning can be achieved. Finally, the robust tuning of the controller parameter is realized using maximum sensitivity index. Simulation results show that this method has good control quality and robustness.

fractional order control; model simplified; internal model control; maximum sensitivity

2016-09-18；最后

2016-11-14

那景童(1989-)，男，遼寧大連人，大連交通大學電氣信息學院碩士研究生，主要從事分數階控制研究。

2096-1383(2017)03-0227-04

TP273

A