天地和幾何學

孫正凡

在我們觀察宇宙時，不可避免地要涉及天體大小（尺度）、角度、距離等問題，這就需要幾何學來幫忙。在古詩詞里，古人也想知道日月距離、天地大小，可是有時候文科生不懂幾何學啊。

近大遠小看風景

劉磐幕

宋·許元信

山懸翠幕幾千丈，我疑山頂即天上。

捫蘿躡蹬到山巔，猶如平地上青天。

始知天高應無極，幕阜蒼蒼一卷石。

洞庭八百古所傳，對此遙看一鏡圓。

當此再上三千丈，那知天下有山川。

《劉磐幕》這首詩的作者叫許元信，我們只知道他是宋朝人，其他信息就不知道了。在《全宋詩》中收錄了他的兩首詩，這是其中之一，另一首題為《幕阜山》，也就是本詩提到的“幕阜”。幕阜山，在湖南省平江縣南江鎮東面，海拔1 596米，為湘、鄂、贛三省邊界最高峰，風景秀麗。本詩題目說的“劉磐幕”中的劉磐是三國時代割據荊州的刺史劉表的侄子，他曾經率軍攻打東吳，與吳軍將領建昌都尉太史慈在此對峙。后人把劉磐立營之地稱為“劉磐幕”，太史慈駐兵之處為“營幕坪”，“幕阜”之名也由此而來。

吐槽：其實“阜”就是山，估計后人忘了“阜”的意思，于是今天變成了“幕阜山”，幕山山。

作者覽勝訪古至幕阜山，登上山頂之后產生了一些很有意思的想象。往上看，“天高應無極”，往下看，龐大的幕阜山成了小小的“一卷石”，遠處方圓八百里的浩渺洞庭湖變成了“一鏡圓”。作者非常準確地描寫了視覺上“近大遠小”的幾何學規律。其實，這就是遙感技術的科學原理啊！在天文學上，同樣也適用幾何學規律，只不過由于天體離我們實在太遠，以至于看起來都太小了，遙遠的行星、恒星看起來都只是一個光點兒，只有太陽和月亮能夠看出圓面。

十五的月亮十六圓

中秋無月既望月甚佳二首

宋·楊萬里

其一

中秋無月莫尤天，月入秋來夜夜妍。

且道今宵明月色，何曾減卻半分圓。

其二

月到中秋故故無，今宵月好莫渠孤。

舊傳月徑圓千里，影落金杯只粒珠。

同樣為宋朝人的楊萬里，名氣要比許元信高到不知道哪里去了。他號“誠齋”，是一代詩宗，光流傳下來的詩作就有4 200首，與陸游、尤袤、范成大并稱“南宋四大家”。古人云“文章憎命達”，可楊萬里詩文寫得好，官兒也做得順，官至寶謨閣直學士，又受封廬陵郡開國侯。更難得的是，楊萬里寫的詩語言淺近明白，描寫景物清新自然，富有幽默情趣，號稱“誠齋體”。我們最熟悉的一首詩《曉出凈慈寺送林子方》：畢竟西湖六月中，風光不與四時同。接天蓮葉無窮碧，映日荷花別樣紅。

這兩首描寫中秋月色的詩詞同樣極具“誠齋體”的特點。在這一年的中秋節，八月十五當天沒有見到月亮，第二天月色卻甚好。夏歷把每月初一稱為“朔”，十五稱“望”，十六稱“既望”，月相變化周期因此稱為“朔望月”。這首詩的題目讓我們不禁想到有句俗話叫作“十五的月亮十六圓”。雖然按照日子來算，十五是夏歷一個月（29天或30天）的中間，但由于月亮最圓，也就是月亮、地球和太陽排成一條直線的時候，實際上大多數出現在十六。

“月入秋來夜夜妍”，秋季天高氣爽，空氣的透明度好，大氣層對光線的吸收也少，所以秋季的月光顯得格外皎潔，大概這也是為什么八月十五的月亮最適宜觀賞的原因了。所以楊萬里非常豁達地說，十五沒有月亮也不要緊啊，“今宵月好莫渠孤”，今晚不要辜負它就好了。孤，通“辜”，渠，是方言“它”。

日月的大小

最后兩句詩非常罕見地談到了月亮的大小：“舊傳月徑圓千里，影落金杯只粒珠”，以前的傳說認為月亮有千里之大，但是落到酒杯里看起來小得像是一粒珠子。這句詩其實揭示出了一個非常有意思的問題，月亮的大小應該怎么形容呢？

對于月亮的形容，常見的“玉盤”或“寶鏡”，如李白《古朗月行》“小時不識月，呼作白玉盤。又疑瑤臺鏡，飛在青云端。”不過，如果我們真的拿一個盤子或拿個鏡子來跟月亮作對比的話，會發現其實月亮并沒有那么大。其實我們伸長手臂，一個手指頭就可以把月亮擋住了，普通大小的盤子或鏡子會比手指頭大十倍以上。可見這個說法略帶夸張，不過由于夜空里月亮最亮，我們感覺上會認為它挺大的。

在天文學上談論月亮的視大小是用幾何角度來描述的。我們伸長手臂，小指寬度約等于一度，而月亮大小其實只有半度。張衡在《靈憲》里談到，（日、月）“其徑當天周七百三十六分之一”（有現代學者認為應該是730分之一），也是半度。可見天文觀測不能單憑印象去判斷，一定要借助科學儀器來測量。

根據這個數據，結合“月徑圓千里”，其實我們可以計算月亮離我們的距離。也就是1千里對應半度的張角，這樣可以計算出來距離為11.5萬里。實際上，在中國傳統天文學“天圓地方”的模型里，認為天的高度是十萬里或者八萬里，并且認為日月的距離跟天的高度是一致的。（也許，孫悟空一個跟頭十萬八千里，這個數字就是從這里來的吧，猴哥可是經常上天呢。）

現代天文學觀測的結果發現，月亮直徑是3 476千米，月亮離我們的距離是38.4萬千米，這兩個數值比古人想的“月徑圓千里”或者“天地相去十萬里”擴大了六七倍。看來關于宇宙之大，我們的想象力還需要提升呢。