對一道物理競賽題的物理模型的分析

胡長城

(長春吉大附中實驗學校,吉林 長春 130021)

?

·競賽園地·

對一道物理競賽題的物理模型的分析

胡長城

(長春吉大附中實驗學校,吉林 長春 130021)

對一道高中物理競賽題目進行分析,發現按照常規的受力分析方法,題目中的物理模型存在固有的矛盾,對正確理解題意造成困惑. 通過改變力的作用點,可以合理地解釋題目中物理模型的矛盾,進一步通過物理推導說明了這種解釋的合理性.

一般物體的平衡;力的作用點;力矩

1 原題及解答

圖1

如圖1所示,一個半徑為R的均質金屬球上固定著一根長為L的輕質細桿,細桿的左端用光滑鉸鏈與墻壁相連,球下邊墊上一塊木板后,細桿恰好水平,木板下面是光滑的水平面. 由于金屬球和木板之間有摩擦(已知動摩擦因數為μ),所以要將木板從球下面向右抽出時,至少需要大小為F的水平拉力.問:現要將木板繼續向左插進一些,至少需要多大的水平推力?(用F、R、L、μ表示)

此題的解答如下:設向外拉出木板時球體受到木板的摩擦力為f,支持力為N,球的重力為G,輕桿與球組成的系統對轉軸O轉動平衡，有

fR+N(R+L)=G(R+L).

(1)

球和板之間已經發生相對滑動，球受摩擦為

f=μN.

(2)

由方程(1)、(2)式可解得

再由木板平衡,可得拉力為

同理,如果木板向左插入時,輕桿與球組成的系統對轉軸O轉動平衡，有

f′R+G(R+L)=N′(R+L).

(3)

f′=μN′.

(4)

由木板平衡,可得推力為

2 深入探究

從上述求得的結果看,向外拉木板和向里推木板時拉力和推力大小不同,木板與球在豎直方向的作用力也不同,從而輕桿與球在豎直方向的作用力也不相同.題目中的輕桿是典型的輕質模型,則要求輕桿對轉軸O的合力矩為0.[1]輕桿會受到球施予的豎直方向的一個作用力,輕桿的合力矩是如何為0的?這個問題在求解本題過程中經常被忽略掉,本文針對這個問題進行討論. 輕桿是固定在球上而非鉸接,故在二者連接處需特殊分析. 為了使本題的物理模型合理,對其進行修正如下:輕桿右端插入球中有一段距離,并且輕桿與球在豎直方向的作用力有兩個等效作用點. 在上述修正的基礎上,再去分析輕桿和球的平衡問題,來檢驗修正后的物理模型的合理性.

圖2

當向右抽出木板時,對球進行受力分析如圖2所示.圖2中所畫出的力均是作用在球上的力,且未畫出輕桿與球在水平方向的作用力.球和桿在豎直方向的作用力不在同一點上,這樣才能保證輕桿對轉軸O的合力矩為0.力N1的作用點到轉軸O的距離小于力N2的作用點到轉軸O的距離,為了保證輕桿處于轉動平衡狀態，則要求N1>N2.

由于輕質桿可給球提供沿水平方向的任何大小的力的作用,則球在水平方向的平衡一定可以滿足.球在豎直方向的平衡條件為

N1+N=G+N2.

(5)

對球心C的轉動平衡條件為

fR+N2d2=N1d1.

(6)

其中d1、d2分別是球心C到力N1、N2的作用線的距離.由(5)、(6)兩個方程可解得

向右抽出木板時,由球的平衡條件得到N1>N2,這與輕桿處于轉動平衡的條件相符合.

表達式中f、N的數值已由(1)、(2)方程求出,d1、d2未定. 只要取d2

圖3

當向左插入木板時,對球進行受力分析如圖3所示.圖3中所畫出的力均是作用在球上的力,且未畫出輕桿與球在水平方向的作用力.為了保證輕桿處于轉動平衡狀態則要求N1′>N2′.

球在豎直方向的平衡條件為

N1′+G=N+N2′.

(7)

對球心C的轉動平衡條件為

fR+N2′d2′=N1′d1′.

(8)

其中d1′、d2′分別是球心C到力N1′、N2′的作用線的距離.由(7)、(8)兩個方程可解得

向左插入木板時,由球的平衡條件得到N1′>N2′,這也與輕桿處于轉動平衡的條件相符合,并且也可得到合理的N1′、N2′的值.

通過上面的分析可知,修正后的物理模型能很好地符合出題意圖,這個修正有其合理性. 實際上,無論向右抽出木板還是向左插入木板,球和輕桿相互作用后,輕桿都要發生微小的彎曲形變,彎曲的輕桿與球之間不僅有相互作用力,還有相互作用的力矩,表現在外面的結果就是輕桿有一段插入球中,與球之間力的作用點不唯一.

通過改變力的作用點,也可以很好地解釋下面一道題目的物理模型中存在的困惑.

圖4

題目.如圖4所示,已知物塊m1、m2通過輕繩跨在一個固定在桌邊的定滑輪上,定滑輪是質量為m,半徑為R的勻質的圓盤.m1放在光滑水平面上,連接m1的輕繩處于水平狀態且繩連接在m1的中心C的下方,m2處于豎直狀態,忽略定滑輪輪軸處的摩擦.求剛釋放瞬間m1、m2的加速度.

應用由牛頓第二定律和轉動定律,很容易得出題目的結果,在本文不再贅述. 通常的受力分析認為,水平桌面施予物體m1的支持力N垂直接觸面且通過中心C,如圖4所示. 題干中明確說明了水平繩與m1的作用點在中心C的下方,則物體m1受到的力對通過C點的轉軸的合力矩不為0,那么m1物體是如何做到不轉動的?這個疑問在求解本題過程中經常給解題者帶來困惑. 分析物體受到水平桌面支持力時,想當然認為支持力一定過C點這是不合理的. 實際上,m1物體從靜止到被拉動的過程中,水平桌面對m1物體的支持力N的作用點從C點的正下方轉移到了偏左側的位置上,在作用點移動的過程中,支持力的大小不改變,如圖4中的N′所示. 在支持力、重力和拉力共同作用下,m1物體在豎直方向上處于平衡狀態. 對質心C,拉力的力矩和支持力的力矩的矢量和為0,m1物體處于轉動平衡狀態,所以在m1物體向左加速運動過程中,可以不發生轉動.

3 小結

建立合理的物理模型是高中物理競賽學習中至關重要的一個環節. 對有些物理競賽題目,在構建物理模型過程中,如果按照常規的分析方法往往發現物理模型自身存在矛盾,無法進行合理的解釋. 遇到這樣的問題,應另辟蹊徑,尋找科學合理的解釋來說明物理模型存在的合理性.

1 鄭永令,賈起民等.力學(第二版)[M]. 北京:高等教育出版社, 2002: 283-284.

2017-01-11)