高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一些應(yīng)用

金春

[摘 要]近年來(lái)“高觀點(diǎn)”下進(jìn)行的中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究層出不窮，在高等數(shù)學(xué)的指導(dǎo)下，可以進(jìn)行一系列的命題研究、教學(xué)研究以及解題研究。本文從具體實(shí)例出發(fā)，首先給出了目前“高觀中數(shù)”的形勢(shì)，然后指出了在“高觀點(diǎn)”下進(jìn)行教學(xué)實(shí)踐存在的困難，并提出了自己對(duì)“高觀中數(shù)”的理解，最后給出了高等數(shù)學(xué)在中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的一些具體應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞]高等數(shù)學(xué)；中學(xué)數(shù)學(xué)

高等數(shù)學(xué)與中學(xué)數(shù)學(xué)在知識(shí)的連續(xù)性以及思想方法的一貫性上十分顯著.新一輪的課程改革越來(lái)越注重中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)內(nèi)容的銜接，在中學(xué)數(shù)學(xué)中逐漸滲透了高等數(shù)學(xué)的元素、思想.例如更加注重?cái)?shù)學(xué)符號(hào)的應(yīng)用，在習(xí)題中融入了任意小量 ，在立體幾何中利用集合與元素的符號(hào)表示空間中點(diǎn)、線(xiàn)、面的關(guān)系等等.此外，增加了高等數(shù)學(xué)中一些較初步的內(nèi)容，如算法初步、微積分基礎(chǔ)等.為形成學(xué)生完整的知識(shí)體系提供了基礎(chǔ).

盡管如此，中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)畢竟在知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維水平上處于不同層面，中學(xué)數(shù)學(xué)常直接給出簡(jiǎn)潔的定理、法則等作為已知條件進(jìn)行技巧性的解題訓(xùn)練，而高等數(shù)學(xué)常研究脫離具體實(shí)例的抽象問(wèn)題，借助數(shù)學(xué)符號(hào)進(jìn)行邏輯證明.在這樣的斷層下，高等數(shù)學(xué)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)指導(dǎo)的實(shí)踐難以實(shí)現(xiàn).

在筆者看來(lái)，“高觀中數(shù)”可以解決學(xué)生在學(xué)而未滿(mǎn)的情況下對(duì)某一知識(shí)點(diǎn)提出的疑慮，激發(fā)學(xué)生探索問(wèn)題的興趣；或是在解題中提供多種思路提高學(xué)生解題水平，甚至借以開(kāi)拓學(xué)生視野培養(yǎng)審美情操.任勇在他的著作《任勇的中學(xué)數(shù)學(xué)主張》中提到：“我在中學(xué)數(shù)學(xué)中，根據(jù)學(xué)生的特點(diǎn)，注意加強(qiáng)高等數(shù)學(xué)的內(nèi)容、思想、觀點(diǎn)、方法和中學(xué)數(shù)學(xué)的聯(lián)系，使教學(xué)活動(dòng)生動(dòng)活潑，取得了較好效果.”基于任勇的中學(xué)教學(xué)主張，筆者將從具體實(shí)例出發(fā)，論述在教學(xué)實(shí)踐中如何實(shí)現(xiàn)高等數(shù)學(xué)對(duì)中學(xué)數(shù)學(xué)的指導(dǎo).

一、培養(yǎng)問(wèn)題意識(shí)，引導(dǎo)教學(xué)

高等數(shù)學(xué)可以解決中學(xué)數(shù)學(xué)不易解決的問(wèn)題.例如，特殊角的三角函數(shù)值是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容.對(duì)于一般角的三角函數(shù)而言，只能通過(guò)查表或借助計(jì)算工具加以計(jì)算.在學(xué)習(xí)導(dǎo)函數(shù)后，可以介紹泰勒展式，方便學(xué)生計(jì)算一般的三角函數(shù)值.再如，在學(xué)習(xí)了保守力做功問(wèn)題之后，學(xué)生自然會(huì)提出變力做功問(wèn)題，可拓展講解第二型曲線(xiàn)積分在求變力做功以及求磁通量、流量方面的應(yīng)用，解決學(xué)生的疑慮，作為學(xué)生可以理解但不要求掌握的內(nèi)容，拓展學(xué)生視野.

高等數(shù)學(xué)可以幫助學(xué)生打破思維定勢(shì)，跳出中學(xué)知識(shí)框架.在數(shù)系從有理數(shù)擴(kuò)充到實(shí)數(shù)后，學(xué)生會(huì)提出有理數(shù)多還是無(wú)理數(shù)多的問(wèn)題，無(wú)限集元素多少的問(wèn)題等等，盡管學(xué)生可能無(wú)法理解這部分內(nèi)容，但高等數(shù)學(xué)對(duì)學(xué)生的疑慮給予了解答.

二、滲透思想，深化教學(xué)內(nèi)容

高等數(shù)學(xué)可以幫助學(xué)生掌握教材內(nèi)容.人教版必修一《函數(shù)的基本性質(zhì)》一節(jié)給出了函數(shù)最值的定義.以最大值為例：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)镮，如果存在實(shí)數(shù)M滿(mǎn)足

定義中蘊(yùn)含兩層內(nèi)容：體現(xiàn)最大、最小以及最值能夠取到.此處可擴(kuò)展講解有界性定理與最大最小值定理，幫助學(xué)生掌握這部分內(nèi)容；再如函數(shù)的零點(diǎn)教學(xué)可結(jié)合高等數(shù)學(xué)的介值性定理和根的存在性定理深刻說(shuō)明.

高等數(shù)學(xué)可以幫助學(xué)生了解知識(shí)點(diǎn)的地位和作用.例如笛卡爾引進(jìn)坐標(biāo)系建立了代數(shù)與幾何的內(nèi)在聯(lián)系，變量的概念就此進(jìn)入了數(shù)學(xué)，引進(jìn)了動(dòng)點(diǎn)的軌跡這一數(shù)學(xué)概念，建立起了方程與曲線(xiàn)之間的聯(lián)系，由此，才有了直線(xiàn)、圓、雙曲線(xiàn)的方程，刻畫(huà)了變量間相互依賴(lài)的函數(shù)概念.這是中學(xué)大量使用“數(shù)形結(jié)合”思想的基礎(chǔ).

三、運(yùn)用高等數(shù)學(xué)觀點(diǎn)，幫助理解教材

解：觀察方程組易得滿(mǎn)足，該方程同解于，即上述方程的根為.根據(jù)三次多項(xiàng)式的韋達(dá)定理，易得系數(shù)分別為.

五、貫穿思想方法，挖掘本質(zhì)

窮竭法是中學(xué)數(shù)學(xué)的常用方法，起源于幾何學(xué)中的“化圓為方”問(wèn)題，它提出了尋求曲邊形面積的一般方法，即先合理地將未知的曲邊形的面積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為已知的正多邊形求解問(wèn)題，再用一系列內(nèi)接多邊形的面積近似所求的曲邊形面積.例如，定積分的教學(xué)是從一個(gè)具體問(wèn)題——曲邊梯形的面積提出的，在分割、近似求和、取極限的求解過(guò)程當(dāng)中，滲透了化曲為直，以直代曲、化歸、歸納、代換、窮竭法等眾多思想方法，為將來(lái)學(xué)習(xí)不定積分、反常積分等奠定了基礎(chǔ).

在高等數(shù)學(xué)視角下進(jìn)行中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究是必然的教育形態(tài)，以上從五個(gè)方面淺述了在教學(xué)實(shí)踐中如何實(shí)現(xiàn)“高觀中數(shù)”.在教學(xué)過(guò)程中，教師當(dāng)不斷反思如何實(shí)踐的問(wèn)題，補(bǔ)充中學(xué)數(shù)學(xué)存在的空白，解決教學(xué)中存在的問(wèn)題，更好的實(shí)現(xiàn)學(xué)科知識(shí)整合.

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