勾股定理在圓中的應用

史新景

勾股定理是初中數學中的一個重要定理，在有關幾何的證明與計算題中到處可以看到它的身影，在圓的世界中更是如此.本文通過以下幾個實例說明勾股定理在圓中有著廣泛的應用.

一、勾股定理與垂徑定理

例1 如圖1所示，某窗戶由矩形和弓形組成，已知弓形的跨度AB=3m，弓形的高EF=1m，現計劃安裝玻璃，請幫工程師求出[AB]所在圓的半徑.

【分析】弦心距用半徑來表示是解決問題的關鍵，設半徑為r，則弦心距為r-1，根據勾股定理可得方程r2=[32]2+（r-1）2，從而問題得解.

解：∵OE⊥AB，∴AF=[12]AB=[32]（m），

設AO=r，則OF=r-1，

在Rt△AOF中，AO2=OF2+AF2，

即r2=[32]2+（r-1）2，∴r=[138].

[AB]所在圓的半徑為[138]m.

【點評】此類題目中垂徑定理與勾股定理如影相隨，通常采用把半弦、弦心距、半徑三者放到同一個直角三角形中，利用勾股定理解答.

二、勾股定理與切線長定理

例2 如圖2，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5， Rt△ABC的內切圓O與三邊分別相切于點D、E、F，半徑r=2，求△ABC的周長.

【分析】見切點，連半徑，得垂直，連接OE，OF，得到四邊形OECF為正方形，CE=CF=r=2，因為BC=5，所以BF=BD=3，要求三角形的周長只需要求出AD，AE的長度，設為x，在直角三角形中運用勾股定理即可求解.

解：連接OE、OF，設AD=x，則AE=AD=x，

∵點D、E、F是切點，∴OE⊥AC，OF⊥BC，

又∵∠C=90°，OE=OF，

∴四邊形OECF為正方形，

∵⊙O的半徑為2，BC=5，

∴CE=CF=2，BD=BF=3，

在Rt△ABC中，∵AC2+BC2=AB2，

即（x+2）2+52=（x+3）2，∴x=10，

∴AC=12，AB=13，

∴△ABC的周長為12+5+13=30.

【點評】本題主要考查切線長定理、正方形的判斷和勾股定理的應用，連接OE、OF，構造正方形OECF是解題的關鍵.

三、勾股定理與內切圓

例3 某新建小區要在一塊等邊三角形的公共區域內修建一個圓形花壇.

（1）若要使花壇面積最大，請你在這塊公共區域（如圖3（1））內確定圓形花壇的圓心P；

（2）若這個等邊三角形的邊長為18m，請計算出花壇的面積.

【分析】（1）在△ABC內作一個內切圓，則此圓面積最大，點P為角平分線的交點.（2）注意到Rt△BPD一個銳角為30°，BP=2PD，再利用勾股定理問題就迎刃而解了.

解：（1）見分析如圖3（2）；

（2）在Rt△BPD中，BD=9m，∠PBD=30°，設PD=x，則BP=2x，由勾股定理得：x2+92=（2x）2，解得 x1=[33]，x2=-[33]（舍），

∴花壇的面積為π?（[33]）2=27π（m2）.

【點評】要使花壇的面積最大，作出三角形的內切圓即可.

四、勾股定理與正多邊形

例4 一個亭子的地基是半徑（外接圓半徑）為8m的正六邊形，求地基的周長與面積.

【分析】正六邊形的中心角是60°，易知△OBC是正三角形，邊長等于半徑，周長為半徑的六倍，正六邊形的面積為△OBC面積的六倍.

解：連接OB、OC，∵∠BOC=60°，

∴△OBC是正三角形，∴BC=OB=8m，

∴正六邊形ABCDEF的周長=6×8=48（m）.

過O作OG⊥BC于G，

∴BG=[12]BC=[12]×8=4，

在Rt△BOG中，由勾股定理得

OG=[BO2-BG2]=[82-42]=[43]，

∴S△OBC=[12]BC?OG=[12]×8×[43]=[163]，

∴S=6S△OBC=6×[163]=[963]（m2）.

【點評】本題考查的是正六邊形、等邊三角形的性質及勾股定理，難度不大，注意掌握數形結合思想的應用，掌握輔助線的作法是解此題的關鍵.

五、勾股定理與切線

例5 （2016·哈爾濱）如圖5，AB為⊙O的直徑，直線l與⊙O相切于點C，AD⊥l，垂足為D，AD交⊙O于點E，連接OC、BE.若AE=6，OA=5，則線段DC的長為 .

【分析】OC交BE于F，如圖5，由圓周角定理得到∠AEB=90°，加上AD⊥l，則可判斷BE∥CD，再利用切線的性質得OC⊥CD，則OC⊥BE，可判斷四邊形CDEF為矩形，所以CD=EF，接著利用勾股定理計算出BE，然后利用垂徑定理得到EF的長，從而得到CD的長.

解：OC交BE于F，如圖5，

∵AB為⊙O的直徑，

∴∠AEB=90°，

∵AD⊥l，∴BE∥CD，

∵CD為切線，

∴OC⊥CD，∴OC⊥BE，

∴四邊形CDEF為矩形，

∴CD=EF，

在Rt△ABE中，BE=[102-62]=8，

∵OF⊥BE，∴BF=EF=4，∴CD=4.

（作者單位：江蘇省豐縣初級中學 ）