“圓”中易錯(cuò)點(diǎn)剖析

朱信化

在有關(guān)圓的計(jì)算或證明中，有些題目特別是無附圖題，經(jīng)常會(huì)有多解的可能，我們?cè)诮忸}過程中，一定要認(rèn)真審題，全面考慮，抓住關(guān)鍵，避免漏解.下面就常見的幾種類型加以總結(jié)，同學(xué)們復(fù)習(xí)時(shí)應(yīng)加以重視.

例1 （2016·黑龍江）若點(diǎn)O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，則△ABC的面積為（ ）.

A.[2+3] B.[233]

C.[2+3]或[2-3] D.[4+23]或[2-3]

【學(xué)生錯(cuò)解】如圖1（1），∵點(diǎn)O是等腰△ABC的外心，且∠BOC=60°，底邊BC=2，OB=OC，∴△OBC為等邊三角形，OB=OC=BC=2，作OD⊥BC于點(diǎn)D，∴CD=1，OD=[3]，則BC邊上的高為[2+3]，所以△ABC的面積為[2+3]，選A.

【分析】根據(jù)題意畫出所有情況的圖形，然后根據(jù)不同情況，求出相應(yīng)的邊的長(zhǎng)度，從而可以求出不同情況下△ABC的面積.

解：（1）如圖1（1），△ABC的面積為2+[3]；（2）如圖1（2），當(dāng)點(diǎn)O在△ABC的外部時(shí)，易求BC邊上的高為[2-3]，所以△ABC的面積為[2-3].綜合可知△ABC的面積為[2+3]或[2-3]，選C.

【特別提醒】由于O點(diǎn)可以在三角形的內(nèi)部也可以在三角形的外部，因而解決問題應(yīng)進(jìn)行分類討論.

例2 （2016·西寧）⊙O的半徑為1，弦AB=[3]，弦AC=[2]，則∠BAC度數(shù)為 .

【學(xué)生錯(cuò)解】如圖2（1）所示：

連接OA，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，∠OEA=∠OFA=90°，

由垂徑定理得：AE=BE=[32]，AF=CF=[22]，cos∠OAE=[AEAO]=[32]，∴∠OAE=30°，同理，∠OAF=45°，∴∠BAC=45°+30°=75°.

【分析】連接OA，過O作OE⊥AB于E，OF⊥AC于F，根據(jù)垂徑定理求出AE、FA的值，根據(jù)解直角三角形的知識(shí)，求出∠OAB和∠OAC的度數(shù)，然后分兩種情況求出∠BAC即可.

解：（1）如圖2（1），∠BAC=45°+30°=75°；（2）如圖2（2），同樣可求∠OAE=30°，∠OAF=45°，∴∠BAC=45°-30°=15°.答案應(yīng)填15°或75°.

【特別提醒】弦可以在圓心的同側(cè)，也可以在圓心的兩側(cè).

例3 （2015·紹興）在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AC=4，點(diǎn)P在以C為圓心，5為半徑的圓上，連接PA，PB.若PB=4，則PA的長(zhǎng)為 .

【學(xué)生錯(cuò)解】如圖3（1），連接CP，

∵CP=5，CB=3，PB=4，∴CB2+PB2=CP2，

∴△CPB為直角三角形，∠CBP=90°，

∴PB∥AC，而PB=AC=4，

∴四邊形ACBP為矩形，

∴PA=BC=3.

【分析】連接CP，延長(zhǎng)PB交⊙C于P′，如圖3（2），先計(jì)算出CB2+PB2=CP2，則根據(jù)勾股定理的逆定理得∠CBP=90°，再根據(jù)垂徑定理得到PB=P′B=4，接著證明四邊形ACBP為矩形，則PA=BC=3，然后在Rt△APP′中利用勾股定理計(jì)算出P′A=[73]，從而得到滿足條件的PA的長(zhǎng)為3或[73].

解：（1）如圖3（1），PA=3；

（2）如圖3（2），PB的延長(zhǎng)線交⊙C于P′，同上面的解法可知四邊形ACBP為矩形，由BC⊥P′P，則P′B=PB=4，在Rt△APP′中，∵PA=3，PP′=8，∴P′A=[82+32]=[73].

∴PA的長(zhǎng)為3或[73].

【特別提醒】點(diǎn)的位置可以確定該點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系，反過來已知點(diǎn)到圓心距離與半徑的關(guān)系可以確定該點(diǎn)與圓的位置關(guān)系.

例4 已知⊙P的圓心P在直線y=2x-1的圖像上運(yùn)動(dòng).

（1）若⊙P的半徑為2，當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

（2）若⊙P的半徑為2，當(dāng)⊙P與y軸相切時(shí)，求P點(diǎn)的坐標(biāo).

（3）若⊙P與x軸和y軸都相切時(shí)，⊙P的半徑是多少？

【學(xué)生錯(cuò)解】（1）當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2.

∴2=2x-1，∴x=[32].

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（[32]，2）.

（2）當(dāng)⊙P與y軸相切時(shí)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)2.

∴y=2×2-1=3，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）.

（3）⊙P與x軸和y軸都相切時(shí)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等，即x=y，∴x=2x-1，即x=1，y=1，∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1）.

【分析】（1）當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，則P點(diǎn)到x軸的距離等于半徑2，所以P點(diǎn)縱坐標(biāo)是2或-2，再求橫坐標(biāo)即可；（2）同理可求當(dāng)⊙P與y軸相切時(shí)，P點(diǎn)橫坐標(biāo)是2或-2，再求P點(diǎn)的縱坐標(biāo)即可；（3）若⊙P與x軸和y軸都相切時(shí)，P到兩坐標(biāo)軸的距離相等，即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)相等，可分為同號(hào)與異號(hào).

解：（1）當(dāng)⊙P與x軸相切時(shí)，P點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2或-2.∴2=2x-1，或-2=2x-1；

∴x=[32]或x=-[12].

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（[32]，2）或（-[12]，-2）.

（2）當(dāng)⊙P與y軸相切時(shí)，P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2或-2.

∴y=2×2-1=3或y=2×（-2）-1=-5.

∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，3）或（-2，-5）.

（3）⊙P與x軸和y軸都相切時(shí)，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)絕對(duì)值相等即x=y，或y=-x.

∴x=2x-1，即x=1，y=1；或-x=2x-1，即x=[13]，y=-[13]；∴P點(diǎn)的坐標(biāo)為（1，1），（[13]，-[13]）.

即⊙P的半徑是1或[13].

【特別提醒】此題重點(diǎn)考查了直線與圓相切時(shí)的性質(zhì).直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于圓的半徑.

（作者單位：江蘇省豐縣初級(jí)中學(xué)）