無中生有巧構圓

王冬青

“到定點的距離等于定長的點的集合是圓”，在解題的過程中，往往會遇到一些看似與圓“無緣”的題目，但若能從題目中捕捉一些與圓有聯系的信息，添加輔助圓，就能結合所求結論與圓的內在聯系，就能利用圓的有關性質找到解題途徑.這種方法往往能使復雜問題變得簡單，簡單問題變得簡潔.

一、構造圓求角的度數

例1 （2015·威海）如圖1，已知AB=AC=AD，∠CBD=2∠BDC，∠BAC=44°，則∠CAD的度數為（ ）.

A.68° B.88° C.90° D.112°

【分析】如圖2，由于BA=CA=DA，說明點B、C、D三點到點A的距離相等，所以點B、C、D三點在以A為圓心、以AB的長為半徑的圓上.運用圓周角定理便可得到∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，結合已知條件∠CBD=2∠BDC，得到∠CAD=2∠BAC，即可解決問題.

解：如圖2，∵AB=AC=AD，

∴點B、C、D在以點A為圓心、以AB的長為半徑的圓上.

∵∠CBD=2∠BDC，

∠CAD=2∠CBD，∠BAC=2∠BDC，

∴∠CAD=2∠BAC，而∠BAC=44°，

∴∠CAD=88°，故選B.

【點評】抓住BA=CA=DA構造圓是解題的關鍵，另外該題主要考查了用圓周角定理及其推論等幾何知識點.解題的方法是作輔助圓，將分散的條件集中.解題的關鍵是靈活運用圓周角定理及其推論等幾何知識點來分析、判斷、推理或解答.

例2 （2013·江西模擬）如圖3，已知四邊形ABCD內的一點E，若EA=EB=EC=ED，∠BAD

=70°，則∠BCD的度數為 .

【分析】先由EA=EB=EC=ED，得出A、B、C、D四點在以E為圓心、EA的長為半徑的圓上，再根據圓內接四邊形的對角互補，得出∠BCD=180°-∠BAD.

解：如圖4，∵點E為四邊形ABCD內一點，且EA=EB=EC=ED，

∴A、B、C、D四點在以E為圓心、EA的長為半徑的圓上，∠BCD+∠BAD=180°，

∴∠BCD=180°-∠BAD=180°-70°=110°.

【點評】本題考查了圓內接四邊形的性質：對角互補，由已知判斷出A、B、C、D四點共圓是解題的關鍵.

二、構造圓求最值

例3 在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，點D是邊BC的中點，點E是邊AB上的任意一點（點E不與點B重合），沿DE翻折△DBE使點B落在點F處，連接AF，如圖5，則線段AF長的最小值 .

【分析】由于點D是BC的中點，由折紙的過程可以發現：DB=DF=DC=2，即說明點B、F、C在以D為圓心、以2為半徑的圓上，且點A在圓外，求線段AF長的最小值，而點F在圓上，所以本題相當于求“圓外一點到圓的最近距離”.所以當A、F、D三點共線時，AF的值最小.

解：如圖6，∵D是BC的中點，

∴DB=DF=DC=2，

即點B、F、C在以D為圓心、以2為半徑的圓上，在Rt△ACD中，由勾股定理，得AD=[AC2+CD2]=[13]，當A、F、D三點在同一條直線上時，AF的值最小，AF=AD-DF=[13]-2.

【點評】如圖7，圓外一點到圓的最近距離即這點到圓心的距離與半徑的差（線段PA的長度）；如圖7，圓外一點到圓的最遠距離即這點到圓心的距離與半徑的和（線段PB的長度）.

例4 如圖8，在銳角三角形ABC中，AB=4，BC=5，∠ACB=45°，將△ABC繞點B按順時針方向旋轉，得到△A1BC1.點E為線段A1B中點，點P是線段AC上的一個動點，求線段PE長度的最大值與最小值.

【分析】點E是線段A1B的中點，而AB=A1B=4，所以點E的運動路徑是以B為圓心、以2為半徑的圓，點P是線段AC上的一個動點，求PE的長度的最小值和最大值，即為求圓外線段AC上一點到圓的最近距離與最遠距離問題，即B、E、P在一條直線上.所以BE應垂直于AC，垂足即為所求P的位置.此時，PE的長度最小，如圖9.當B、E、P在一條直線上且P與C重合時，PE的長度最大.

解：如圖9，過點B作BD⊥AC，D為垂足.

∵△ABC為銳角三角形，∴點D在線段AC上，在Rt△BCD中，BD=BC×sin45°=[522].

① 當P在AC上運動至垂足D且E在PB上時，EP最小，最小值為[522]-2；

② 如圖10，當P在AC上運動至點C，E在CB的延長線上時，EP最大，最大值為2+5=7.

例5 如圖11，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4，BC=2，點A、C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，求點B到原點O的最大距離.

【分析】點A，C分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C隨之在y軸上運動，在運動過程中，AC=4，點O到AC的中點的距離不變（直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）.要求OB的最大值，根據相對運動，可將B點當作定點，O看作動點，點O在以AC為直徑的圓上，實質上還是轉換成求“圓外一點到圓的最大距離”問題，所以，當B，AC的中點，O在一條直線上時，點B到原點O的距離最大.

解：如圖12，∵∠AOC=90°，AC=4，設AC的中點為D，∴點O在以AC為直徑的⊙D上，BD=[BC2+CD2]=[22+22]=[22].

∴當O、D、B三點共線時，OB取得最大值[22]+2.

小試身手

1.已知邊長為2的正三角形ABC，兩頂點A、B分別在x軸、y軸上，當點A在x軸上運動時，點C在第一象限，求OC長的最大值.

2.在直角三角形ABC中，∠ACB=90°，AC=2，將△ABC繞點C按順時針方向旋轉，得到△A1B1C.點P是線段AC上的一個動點，點E為線段A1C的中點，求線段PE長度的最小值.

3.（2014·北京）如圖13，在正方形ABCD外側作直線AP，點B關于直線AP的對稱點為E，連接BE，DE，其中DE交直線AP于點F.用等式表示線段AB，FE，FD之間的數量關系，并證明.（提示：由AD=AB=AE構造以A為圓心、以AB為半徑的圓.）

4.在四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=BD=BC=5，DC=[19]，求AC的長.（提示：由AB=BD=BC=5構造以B為圓心、以5為半徑的圓.）

（作者單位：江蘇省豐縣順河中學）