平行四邊形易錯(cuò)題解析

周杰

平行四邊形是中心對(duì)稱圖形中最基本的幾何圖形，也是“空間與幾何”領(lǐng)域的研究對(duì)象之一.下面，我們總結(jié)分析同學(xué)們?cè)趯W(xué)習(xí)這部分知識(shí)時(shí)易出現(xiàn)的幾類錯(cuò)誤，希望能幫助大家走出誤區(qū).

一、基礎(chǔ)不牢

例1 已知四邊形ABCD，如圖1，AD∥BC，試著再添加一個(gè)條件，使四邊形ABCD為平行四邊形.

【錯(cuò)解】∠3=∠4或AB=CD.

【剖析】由題意可知，四邊形已經(jīng)有一組對(duì)邊平行，所以只要這組對(duì)邊相等或另一組對(duì)邊平行即可.而錯(cuò)解中由∠3=∠4推出的還是已知的AD∥BC，所以添加的這個(gè)條件是無(wú)效的.相反，添加∠1=∠2是可行的，因?yàn)橛伞?=∠2可推出AB∥CD，此時(shí)利用兩組對(duì)邊分別平行的判定定理即可.錯(cuò)解中的AB=CD也不行，等腰梯形就是一個(gè)反例.

【正解】∠1=∠2或AB∥CD等.

【點(diǎn)評(píng)】這道題實(shí)際考查同學(xué)們對(duì)平行線判定的掌握情況，所以大家不僅要掌握好平行四邊形的判定定理，還要對(duì)之前所學(xué)的平行線的判定方法了如指掌，這樣，才能百戰(zhàn)百勝.

二、理解不深

例2 已知四邊形ABCD，有下列四個(gè)條件：①AB∥CD；②AD=BC；③∠A=∠C；④AB=CD，以其中的兩個(gè)條件為一組，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的有（ ）.

A.2組 B.3組 C.4組 D.5組

【錯(cuò)解】A.

【剖析】所給的四個(gè)條件中，兩個(gè)一組，共有六種情況：①②、①③、①④、②③、②④、③④，其中①④、②④是課本上的判定定理，同學(xué)們能夠很快判斷出來(lái)，但是對(duì)于①③（一組對(duì)邊平行，一組對(duì)角相等）這樣的命題，一些同學(xué)沒(méi)有進(jìn)行深入思考，所以會(huì)有所遺漏.實(shí)際上，這是一個(gè)真命題，很容易就能證明四邊形ABCD是平行四邊形.

【正解】B.

【點(diǎn)評(píng)】對(duì)于平行四邊形的判定問(wèn)題，我們能夠運(yùn)用的工具不僅有教材中相關(guān)的判定定理，還有一些相關(guān)的真命題（推論），把它們的條件稍作轉(zhuǎn)化，就可以進(jìn)行判定了.所以，在解題過(guò)程中，同學(xué)們要認(rèn)真審題，對(duì)照判定定理仔細(xì)思考，方能得出正確結(jié)論.

三、考慮不周

例3 平面直角坐標(biāo)系內(nèi)有A（-2，1）、B（-3，-1）、C（0，-1）三點(diǎn)，點(diǎn)D也在坐標(biāo)平面內(nèi)，且以A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)平行四邊形，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為 .

【錯(cuò)解】（1，1）.

【剖析】如圖2，先把A、B、C三點(diǎn)的坐標(biāo)在平面直角坐標(biāo)系中標(biāo)出來(lái).

因?yàn)橐訟、B、C、D四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是一個(gè)平行四邊形，所以線段AB不是邊就是對(duì)角線.過(guò)C、A、B三點(diǎn)分別作AB、BC、AC的平行線，然后利用平行四邊形的定義，將符合條件的點(diǎn)找出，即D1、D2、D3.因此符合題意的D點(diǎn)共有三個(gè).

【正解】（1，1）、（-5，1）、（-1，-3）.

【點(diǎn)評(píng)】已知三個(gè)點(diǎn)求第四個(gè)點(diǎn)，使它們構(gòu)成平行四邊形，解題的關(guān)鍵是根據(jù)平行四邊形的定義（兩組對(duì)邊平行的四邊形是平行四邊形），正確畫出所有符合條件的平行四邊形.順便提醒同學(xué)們，以后遇到?jīng)]有給出圖形的平行四邊形問(wèn)題時(shí)，要善于畫出所有可能的情形，當(dāng)題目中有不確定的已知條件時(shí)，要注意分類討論，全面考慮，這樣才不至于漏解.

四、說(shuō)理不嚴(yán)

例4 已知平行四邊形ABCD，如圖3所示，AC、BD交于點(diǎn)O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F.求證：OF=OE.

【錯(cuò)解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，∵OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分別為E、F，∴∠AEO=∠CFO=90°，又∠AOE=∠COF（對(duì)頂角相等），∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF=OE.

【剖析】錯(cuò)解中，因?yàn)轭}目中未明確指出點(diǎn)E、O、F在同一直線上，因此不能肯定∠AOE與∠COF是對(duì)頂角，若用到這個(gè)條件，必須先給出嚴(yán)格的證明.

【正解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠DAO=∠FCO，∵OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分別為E、F，∴∠AEO=∠CFO=90°，∴ΔAOE≌ΔCOF（AAS），∴OF=OE.

【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)證明三角形全等，當(dāng)對(duì)應(yīng)角的位置關(guān)系似乎是對(duì)頂角時(shí)，要根據(jù)所給出的條件認(rèn)真識(shí)別，看它是否滿足對(duì)頂角的條件，若不滿足，則須另找判斷三角形全等的條件，不可主觀臆斷.

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)）