平行四邊形易錯題解析

周杰

平行四邊形是中心對稱圖形中最基本的幾何圖形，也是“空間與幾何”領域的研究對象之一.下面，我們總結分析同學們在學習這部分知識時易出現的幾類錯誤，希望能幫助大家走出誤區.

一、基礎不牢

例1 已知四邊形ABCD，如圖1，AD∥BC，試著再添加一個條件，使四邊形ABCD為平行四邊形.

【錯解】∠3=∠4或AB=CD.

【剖析】由題意可知，四邊形已經有一組對邊平行，所以只要這組對邊相等或另一組對邊平行即可.而錯解中由∠3=∠4推出的還是已知的AD∥BC，所以添加的這個條件是無效的.相反，添加∠1=∠2是可行的，因為由∠1=∠2可推出AB∥CD，此時利用兩組對邊分別平行的判定定理即可.錯解中的AB=CD也不行，等腰梯形就是一個反例.

【正解】∠1=∠2或AB∥CD等.

【點評】這道題實際考查同學們對平行線判定的掌握情況，所以大家不僅要掌握好平行四邊形的判定定理，還要對之前所學的平行線的判定方法了如指掌，這樣，才能百戰百勝.

二、理解不深

例2 已知四邊形ABCD，有下列四個條件：①AB∥CD；②AD=BC；③∠A=∠C；④AB=CD，以其中的兩個條件為一組，能判定四邊形ABCD是平行四邊形的有（ ）.

A.2組 B.3組 C.4組 D.5組

【錯解】A.

【剖析】所給的四個條件中，兩個一組，共有六種情況：①②、①③、①④、②③、②④、③④，其中①④、②④是課本上的判定定理，同學們能夠很快判斷出來，但是對于①③（一組對邊平行，一組對角相等）這樣的命題，一些同學沒有進行深入思考，所以會有所遺漏.實際上，這是一個真命題，很容易就能證明四邊形ABCD是平行四邊形.

【正解】B.

【點評】對于平行四邊形的判定問題，我們能夠運用的工具不僅有教材中相關的判定定理，還有一些相關的真命題（推論），把它們的條件稍作轉化，就可以進行判定了.所以，在解題過程中，同學們要認真審題，對照判定定理仔細思考，方能得出正確結論.

三、考慮不周

例3 平面直角坐標系內有A（-2，1）、B（-3，-1）、C（0，-1）三點，點D也在坐標平面內，且以A、B、C、D四個點為頂點的四邊形是一個平行四邊形，則點D的坐標為 .

【錯解】（1，1）.

【剖析】如圖2，先把A、B、C三點的坐標在平面直角坐標系中標出來.

因為以A、B、C、D四個點為頂點的四邊形是一個平行四邊形，所以線段AB不是邊就是對角線.過C、A、B三點分別作AB、BC、AC的平行線，然后利用平行四邊形的定義，將符合條件的點找出，即D1、D2、D3.因此符合題意的D點共有三個.

【正解】（1，1）、（-5，1）、（-1，-3）.

【點評】已知三個點求第四個點，使它們構成平行四邊形，解題的關鍵是根據平行四邊形的定義（兩組對邊平行的四邊形是平行四邊形），正確畫出所有符合條件的平行四邊形.順便提醒同學們，以后遇到沒有給出圖形的平行四邊形問題時，要善于畫出所有可能的情形，當題目中有不確定的已知條件時，要注意分類討論，全面考慮，這樣才不至于漏解.

四、說理不嚴

例4 已知平行四邊形ABCD，如圖3所示，AC、BD交于點O，OE⊥AD于E，OF⊥BC于F.求證：OF=OE.

【錯解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，∵OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分別為E、F，∴∠AEO=∠CFO=90°，又∠AOE=∠COF（對頂角相等），∴△AOE≌△COF（AAS），∴OF=OE.

【剖析】錯解中，因為題目中未明確指出點E、O、F在同一直線上，因此不能肯定∠AOE與∠COF是對頂角，若用到這個條件，必須先給出嚴格的證明.

【正解】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠DAO=∠FCO，∵OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分別為E、F，∴∠AEO=∠CFO=90°，∴ΔAOE≌ΔCOF（AAS），∴OF=OE.

【點評】運用平行四邊形的性質證明三角形全等，當對應角的位置關系似乎是對頂角時，要根據所給出的條件認真識別，看它是否滿足對頂角的條件，若不滿足，則須另找判斷三角形全等的條件，不可主觀臆斷.

（作者單位：江蘇省揚州市田家炳實驗中學）