巧構(gòu)平行四邊形

同學(xué)們都知道，兩組對(duì)邊分別平行的四邊形是平行四邊形.那么如何借助有限的條件來構(gòu)造平行四邊形呢？下面，我們一起來研究.

類型1：已知一個(gè)固定的頂點(diǎn)

【解析】只根據(jù)一個(gè)點(diǎn)，無法確定平行四邊形的邊的長度和方向，更無法確定另外三個(gè)頂點(diǎn)的位置，所以無法構(gòu)造出平行四邊形.

類型2：已知兩個(gè)固定的頂點(diǎn)

例1 在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0）、B（-2，0），P、M是平面直角坐標(biāo)系內(nèi)任意兩點(diǎn)，如果以A、B、P、M為頂點(diǎn)構(gòu)造平行四邊形，P、M兩點(diǎn)在位置上有什么要求？

【解析】A（4，0）、B（-2，0）兩點(diǎn)是確定的，P、M兩點(diǎn)是不確定的.以AB為分類標(biāo)準(zhǔn)，分兩種情況討論：（1）如圖1，當(dāng)AB為平行四邊形的一條邊時(shí)，則要求線段PM平行且等于線段AB.（2）如圖2，當(dāng)AB是對(duì)角線時(shí)，則要求PM是平行四邊形的另一條對(duì)角線.注意：在兩種情況下，四邊形APBM都是中心對(duì)稱圖形.

如果給P、M兩點(diǎn)再添上其他要求呢？

【變式】在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A（4，0）、B（-2，0），點(diǎn)P在y軸上，點(diǎn)M在一次函數(shù) [y=-12x+5]的圖像上，求P、M的坐標(biāo).

【解析】AB=6.若PM平行于AB，如圖3，因?yàn)辄c(diǎn)P在y軸上，所以M點(diǎn)的橫坐標(biāo)有兩種情況：6或-6.當(dāng)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為6時(shí)，代入一次函數(shù)解析式中，可求出M的坐標(biāo)為（6，2），當(dāng)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為-6時(shí)，代入一次函數(shù)解析式中，可求出M的坐標(biāo)為（-6，8）.則相應(yīng)的P點(diǎn)坐標(biāo)為（0，2）或（0，8）.

若PM是平行四邊形APBM的對(duì)角線，如圖4，設(shè)P的坐標(biāo)為（0，p），利用平行四邊形的對(duì)稱中心（1，0），得M的坐標(biāo)為（2，-p），代入直線[y=-12x+5]中，求出p=-4.所以P的坐標(biāo)為（0，-4），M的坐標(biāo)為（2，4）.

[M]

類型3：已知三個(gè)固定的頂點(diǎn)

例2 在平面直角坐標(biāo)系中，已知A（4，0）、B（-2，0）、C（0，2），如果以點(diǎn)D、A、B、C為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，求點(diǎn)D的坐標(biāo).

【解析】A、B、C這三點(diǎn)是確定的，過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別畫對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交，便可產(chǎn)生3個(gè)符合條件的點(diǎn)：D1、D2、D3（如圖5）.

①AC為對(duì)角線時(shí)，由于將點(diǎn)B（-2，0）向右平移2個(gè)單位再向上平移2個(gè)單位可得到C（ 0，2 ），所以將點(diǎn)A（4，0）也向右平移2個(gè)單位再向上平移2個(gè)單位便可得到點(diǎn)D1（6，2）.②AB為對(duì)角線時(shí)，由于將點(diǎn)C（0，2）向右平移4個(gè)單位再向下平移2個(gè)單位可得到點(diǎn)A（4，0），所以讓點(diǎn)B（-2，0）經(jīng)過同樣的平移步驟便可得到點(diǎn)D2（2，-2）.③BC為對(duì)角線時(shí)，由于將點(diǎn)A（4，0）向左平移4個(gè)單位再向上平移2個(gè)單位可得到點(diǎn)C（0，2），所以讓點(diǎn)B（-2，0）經(jīng)過同樣平移便可得到點(diǎn)D3（-6，2）.

我們看到，用坐標(biāo)平移法遠(yuǎn)比構(gòu)造方程組求交點(diǎn)方便.通過兩道例題的示范，相信同學(xué)們已經(jīng)初步掌握了構(gòu)造平行四邊形的策略：若已知兩個(gè)定點(diǎn)，可先連接這兩點(diǎn)，再將得到的線段按平行四邊形的邊或?qū)蔷€分兩種情況進(jìn)行解答；若已知三個(gè)定點(diǎn)，可先以三個(gè)定點(diǎn)為頂點(diǎn)構(gòu)造一個(gè)三角形，再分別過每個(gè)定點(diǎn)作其對(duì)邊的平行線，三條直線兩兩相交而成的三個(gè)交點(diǎn)都可以是平行四邊形的第四個(gè)頂點(diǎn).

（作者單位：江蘇省揚(yáng)州市田家炳實(shí)驗(yàn)中學(xué)）