巧構平行四邊形

同學們都知道，兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形.那么如何借助有限的條件來構造平行四邊形呢？下面，我們一起來研究.

類型1：已知一個固定的頂點

【解析】只根據一個點，無法確定平行四邊形的邊的長度和方向，更無法確定另外三個頂點的位置，所以無法構造出平行四邊形.

類型2：已知兩個固定的頂點

例1 在平面直角坐標系中，已知點A（4，0）、B（-2，0），P、M是平面直角坐標系內任意兩點，如果以A、B、P、M為頂點構造平行四邊形，P、M兩點在位置上有什么要求？

【解析】A（4，0）、B（-2，0）兩點是確定的，P、M兩點是不確定的.以AB為分類標準，分兩種情況討論：（1）如圖1，當AB為平行四邊形的一條邊時，則要求線段PM平行且等于線段AB.（2）如圖2，當AB是對角線時，則要求PM是平行四邊形的另一條對角線.注意：在兩種情況下，四邊形APBM都是中心對稱圖形.

如果給P、M兩點再添上其他要求呢？

【變式】在平面直角坐標系中，已知點A（4，0）、B（-2，0），點P在y軸上，點M在一次函數 [y=-12x+5]的圖像上，求P、M的坐標.

【解析】AB=6.若PM平行于AB，如圖3，因為點P在y軸上，所以M點的橫坐標有兩種情況：6或-6.當M點的橫坐標為6時，代入一次函數解析式中，可求出M的坐標為（6，2），當M點的橫坐標為-6時，代入一次函數解析式中，可求出M的坐標為（-6，8）.則相應的P點坐標為（0，2）或（0，8）.

若PM是平行四邊形APBM的對角線，如圖4，設P的坐標為（0，p），利用平行四邊形的對稱中心（1，0），得M的坐標為（2，-p），代入直線[y=-12x+5]中，求出p=-4.所以P的坐標為（0，-4），M的坐標為（2，4）.

[M]

類型3：已知三個固定的頂點

例2 在平面直角坐標系中，已知A（4，0）、B（-2，0）、C（0，2），如果以點D、A、B、C為頂點的四邊形是平行四邊形，求點D的坐標.

【解析】A、B、C這三點是確定的，過△ABC的三個頂點分別畫對邊的平行線，三條直線兩兩相交，便可產生3個符合條件的點：D1、D2、D3（如圖5）.

①AC為對角線時，由于將點B（-2，0）向右平移2個單位再向上平移2個單位可得到C（ 0，2 ），所以將點A（4，0）也向右平移2個單位再向上平移2個單位便可得到點D1（6，2）.②AB為對角線時，由于將點C（0，2）向右平移4個單位再向下平移2個單位可得到點A（4，0），所以讓點B（-2，0）經過同樣的平移步驟便可得到點D2（2，-2）.③BC為對角線時，由于將點A（4，0）向左平移4個單位再向上平移2個單位可得到點C（0，2），所以讓點B（-2，0）經過同樣平移便可得到點D3（-6，2）.

我們看到，用坐標平移法遠比構造方程組求交點方便.通過兩道例題的示范，相信同學們已經初步掌握了構造平行四邊形的策略：若已知兩個定點，可先連接這兩點，再將得到的線段按平行四邊形的邊或對角線分兩種情況進行解答；若已知三個定點，可先以三個定點為頂點構造一個三角形，再分別過每個定點作其對邊的平行線，三條直線兩兩相交而成的三個交點都可以是平行四邊形的第四個頂點.

（作者單位：江蘇省揚州市田家炳實驗中學）