題在書外根在書內

何勇

數學課本中的例題具有示范性、典型性和探究性，是課本的精髓.瀏覽近幾年全國各地的中考數學試卷，很多試題來源于課本，“題在書外，根在書內”.因此，我們在平常學習過程中如果能充分重視和挖掘課本中例題的潛在功能，適當加以拓展延伸，可以達到事半功倍的效果.

原題 （蘇科版《數學》九下第72頁例2）如圖1，AF是△ABC的高，點D、E分別在AB、AC上，且DE∥BC，DE交AF于點G，設DE=6，BC=10，GF=5，求點A到DE、BC的距離.

【思路點撥】由DE∥BC，易得△ADE∽△ABC，利用相似三角形對應高之比等于相似比易求出AG=7.5，AF=12.5.

變式1 如圖2，正方形ABCD是一塊綠化帶，其中陰影部分EOFB、GHMN都是正方形的花圃.已知自由飛翔的小鳥將隨機落在這塊綠化帶上，則小鳥落在花圃上的概率為（ ）.

A.[1732] B.[12] C.[1736] D.[1738]

【思路點撥】求得陰影部分的面積與正方形ABCD的面積的比即可求得小鳥落在花圃上的概率.

【簡解】設正方形ABCD的邊長為a，

則BF=[12]BC=[12]a，AN=NM=MC=[23]a，

陰影部分的面積為（[12]a）2+（[23]a）2=[1736]a2，所以小鳥落在花圃上的概率為[1736].故選C.

變式2 如圖3，有一塊三角形的余料ABC，要把它加工成矩形的零件，已知：BC=8cm，高AD=12cm，矩形EFGH的邊EF在BC邊上，G、H分別在AC、AB上，設HE的長為ycm，EF的長為xcm.

（1）寫出y與x的函數關系式.

（2）當x取多少時，矩形EFGH是正方形？

【思路點撥】（1）先由BC=8cm，高AD=12cm，HE的長為ycm、EF的長為xcm，可知，AK=（12-y）cm，HG=EF=xcm，再根據HG∥BC可知△AHG∽△ABC，由相似三角形的對應邊成比例即可得出y與x的函數關系式；

（2）根據正方形的性質可知y=x，再代入（1）中所求的代數式即可得出結論.

【簡解】（1）由HG∥BC，所以△AHG∽△ABC，所以[AKAD]=[HGBC]，即[12-y12]=[x8]，即y=12-[32]x；

（2）由（1）可知，y與x的關系式為y=12-[32]x，因四邊形EFGH是正方形，所以HE=EF，則x=12-[32]x，解得x=[245]，即x=[245]時，矩形EFGH是正方形.

【說明】本題難點是將相似的性質和一次函數相結合，根據相似三角形對應高的比等于相似比，找出相似三角形，然后根據對應邊成比例列出方程，建立適當的數學模型來解決問題.

變式3 一塊三角形廢料如圖4所示，∠A=30°，∠C=90°，AB=12.用這塊廢料剪出一個矩形CDEF，其中，點D、E、F分別在AC、AB、BC上.要使剪出的矩形CDEF面積最大，點E應選在何處？

【思路點撥】首先在Rt△ABC中利用∠A=30°、AB=12，求得BC、AC的長，然后根據四邊形CDEF是矩形得到EF∥AC，從而得到△BEF∽△BAC，設AE=x，則BE=12-x.利用相似三角形成比例表示出EF、DE，然后表示出有關x的二次函數，最后求二次函數的最值即可.

【簡解】在Rt△ABC中，∠A=30°，AB=12，所以BC=6，AC=[63].由△BEF∽△BAC得：[EFAC]=[BEBA].設AE=x，則BE=12-x.EF=[32]（12-x）.在Rt△ADE中，DE=[12]AE=[12]x.矩形CDEF的面積S=DE·EF=-[34]x2+[33]x（0

【說明】本題難點在于利用相似三角形的性質得到矩形CDEF面積表達式，解題的關鍵是從幾何問題中整理出二次函數模型，并利用二次函數的知識求最值，從而確定點E的位置.

變式4 如圖5（1），△ABC是一張等腰直角三角形彩色紙，AC=BC=50cm.將斜邊上的高CD五等分，然后裁出4張寬度相等的長方形紙條.若用這4張紙條為一幅正方形美術作品鑲邊（紙條不重疊），如圖5（2），則正方形美術作品最大面積是 cm2.

【思路點撥】利用相似三角形的性質求出每個紙條的長，將其相加，易得紙條的總長度，計算出正方形的邊長，從而計算面積即可.

【簡解】如圖6，在等腰直角△ABC中，易得AB=[502]，CD=[252]，則紙條的寬度為：[CD5]=[52]，因為[EFAB]=[15]，又AB=[502]，則EF=[102].同理，GH=[202]，IJ=[302]，KL=[402]，所以紙條的總長度為[1002]（cm），則圖畫所示正方形的邊長為[10024]-[52]=[202]，所以面積為（[202]）2=800（cm2）.故答案為：800.

【說明】此題考查了相似三角形的應用，難點在于不僅要計算出紙條的長度，還要計算出寬度，要仔細觀察圖形，尋找相似三角形，并利用相似三角形對應高的比等于相似比，來獲得等量關系，從而解決.

（作者單位：江蘇省無錫市太湖格致中學）