數學學習：學習困難的早期基礎與表現

孫雨　伊莉

[摘要]兒童的數學能力對其未來發展有重大的影響。一般來說，起步早、注意早期培養的兒童數學成績會領先，而起步晚、不關注早期培養的兒童成績可能會落后。學齡前期學到的數學思維與技能會影響兒童在校期間的數學學習情況。近年來有一些關于早期數學學習的觀點：（1）近似數字系統對早期數學學習有重要影響；（2）有意識地控制或引導兒童集中注意力可以加快數學學習進程；（3）智力情況會影響數字在兒童頭腦中的加工映射；（4）數字符號系統表征能力與執行功能和數學學習困難有直接關系。有關數學學習困難兒童的研究表明，以上情況在他們身上都有所體現，只是在學習過程中體現的程度不同。澄清這些能力在何時及如何影響兒童數學學習，并適當干預其發展，對個人發展大有裨益。

[關鍵詞]數學；早期基礎；學習困難；測查

[中圖分類號] G633[文獻標識碼] A[文章編號]1005-5843（2017）04-0026-06

[DOI]1013980/jcnkixdjykx201704005

一、引言

眾所周知，文字學習困難對人的自身與社會性發展都有阻礙作用，這樣的人通常無法完成高等學業也不能找到很好的工作[1]。相比之下，人們較少關注數學學習困難，尤其是學齡前兒童的數學學習困難。許多人認為學齡前兒童所學的內容都是生活常識，隨著年齡的增長便可自然掌握，無需在意。然而，學齡前兒童數學思維與能力的培養對其日后的學習有很大影響，特別是在當代數字化的社會，數學的應用越來越廣泛，因此我們需要重視數學學習困難的問題。

現在大部分研究關注的是學齡兒童中的數學學習困難兒童和低數學成績兒童。一般認為數學成績持續低于同齡人的10%、智商不低于同齡人的兒童（他們一般處于班級后30%～35%的排名）被歸類為數學學習困難兒童，即數學成績比實際智力水平低。數學成績居于后11%～25%的兒童被稱為低數學成績兒童。數學學習困難兒童一般會有平均水平及工作記憶方面的不足（如：注意力控制差），盡管低數學成績兒童在注意方面可能也有缺陷，他們在重要的數學學習方面表現出學習不足與發展緩慢問題，但其智商可達到平均水平[2]。如果能盡早發現這些問題，對其進行適當干預，可以改善他們的數學學習狀況。

二、早期數學學習困難的表現

學習困難在兒童入學之前就可能存在，而且大多數數學落后的兒童在校期間成績可能會持續落后。遺憾的是，很少有研究解釋入學前的數量發展能力與之后的數學學習困難或低數學成就之間的關系。Scott， Decker 和 Alycia研究說明，具體的認知指標，如長時檢索能力、聽覺加工、晶體智力、加工速度和工作記憶等不僅影響成人的問題解決效率，也對兒童早期數學問題的解決情況有重要影響[3]。已有研究表明，學前兒童的數量發展任務表現與稍大點的學習困難兒童或低數學成績兒童在類似任務上的表現有相似跡象[4]。數學學習的第一步建立在估計物體數量的直覺上，兒童學到的第一個抽象數學符號是阿拉伯數字，當這些數字進入他們的大腦時還需要理解其代表的意義，下一個關鍵步驟是清晰地理解數與數之間的關系。早期的數學學習困難主要表現在以下幾個方面。

（一）集中注意力程度與智力的缺陷

能夠更好保持有效注意力控制與集中（包括忽略無關的內、外部刺激物能力）的兒童，比缺乏注意力的同齡兒童學得更快。注意控制能力，即在加工信息時頭腦保持與目標信息相關的能力，可以通過工作記憶測驗來衡量。注意控制和智力相關，但它們對數學學習的作用相互獨立[5]。David提出智力的關鍵成分是理解抽象信息的能力，包括數字間的邏輯體系關系與操作這種關系的過程。注意力、智力與早期數學學習三者之間的關系如圖1所示[6]。

（二）數感和近似數字系統的不足

Gersten和Chard在1999年首次提出數感（number sense）的概念，或許能夠在數學學習困難早期診斷中起作用[7]。Dehaene提出數感和數學學習能力有密切聯系，它是一種人類與生俱來的、在嬰兒時期就會表現出來的能力[8]。在前語言階段，數感能夠精確表征一些小的數目（一般是小于4的數），使用語言之后就能夠表征大的數目和進行近似表征[9]。那么，這種能力是否就是后天數學能力發展的基礎，對此爭議頗多。當孩子們開始學習數數并理解數的含義時，他們就開始了學習如何進行大數的精確表征。獲得這種符號化的數感在很大程度上依賴于兒童大腦內部對輸入學習內容的接收，符號化數感又是今后掌握計數、數學知識、算數操作的一個重要中介。盡管前語言階段和語言階段的數學能力之間的關系并未理清，但是存在一個共識，早期語言數學能力對于拓展數學知識，即從小數字到對大數的認識和入學后的算數學習是非常必要的[10]。兒童最初是通過估計或對數量的直覺來將小的數字和小的數目一一對應起來的，而大數則是通過數數來和數目進行這種一一對應。兒童理解了數數的原則，就學會了怎樣精確地獲得物體或個體的數量，并且通過理解這種數數先后的順序表示n+1大于n的關系，然后操作加法和減法。Geary認為，數學學習困難就是數數、數字比較、變換的能力被削弱的結果[11]。后來，人們把數數（包括數量，即數出給出第一個物體數量的兩倍；和順序，即從右到左等等）、數字知識（誰比誰大，誰在哪個特定數字的后面）、簡單加減法作為測試數感的三個任務。

人類有一種先天的數感，它依賴于頂葉皮層內的一部分——頂內葉的特殊加工過程，由此人們可以明確地區分物體的多少，比如食物數量的多少[12]。人類能區分兩個離散的數量系統，其中一個系統代表只有三、四個物體的確切數量，即精確數字系統（Exact Number System， ENS）；另一個代表大量物體的估計數量，即近似數字系統（Approximate Number System， ANS）。將大的估計數量與小的確切數量區分開的難易程度依據物體數量比例的不同而不同。嬰兒能正確比較出數量比為2：1的物體差別（如16個蘋果和8個蘋果），成年人能比較出10：11的數量差別[13]。這種變化在一定程度上是由于支持近似數字系統的大腦區域的成熟，還有經驗或者成熟與經驗的結合。無論什么原因，這個系統的發展延遲將導致數量直覺不敏感，它可能潛在地減慢兒童早期對數字意義與阿拉伯數字的學習。在學前兒童群體中，對于這兩個數量系統之間關系的說法尚不統一，有許多研究者認為，學前兒童在近似數字系統精確度上表現出的個體差異與他們的精確數字系統知識緊密相關[14]；后來，James和Barbara通過改進實驗設計推翻了前人的結論，他們認為二者出現相關的原因，一是部分實驗設計未注意到兒童回答時依據的是點的面積大小而不是點的數量多少，二是兒童的精確數字知識太少，未能理解“更多點數”的意思[15]。當實驗任務調整為確保兒童是依據數量多少做出判斷時，近似數字系統精確度與精確數字系統知識的關系就不復存在了。

最近有研究指出，數學學習困難兒童可能在近似數量的多少估計上缺少準確性，即近似數字系統不完善，該系統是天生的且在人的發展中占據主導地位[16]，它的精確性會隨著人的知識經驗的增加而越來越高。盡管這種缺陷不是每次測試時都有所表現，這也能有效地表明數學學習困難兒童對相鄰范圍數量比較的錯誤率超過高成績的同齡人，后者能很容易區分開5和6個物體，而數困兒童認為5和6個物體是一樣多的。Piazza發現10歲的數困兒童的近似數字系統與高成績的5歲兒童差不多[17]。由此可以推測，在近似數字系統中精確度低的學前兒童在入學后更可能成為學習困難兒童。先前人們普遍認為，近似數字系統的精確度與個體的抽象數學能力有直接關系，或者與數學成績是線性相關，然而最近有研究者發現，近似數字系統的精確度與兒童早期的數學成績是非線性相關的[18]。具體來說，對于數學成績較高的兒童，二者無顯著相關；對于數學成績低的兒童，其相關程度很強，即數學成績越低，其近似數字系統的精確度越低。這可能與兒童的早期經驗有關，數學成績高的兒童先前了解的知識更多、更廣，這里的知識不單指數學方面，如數字符號知識，也涉及其他學科及生活經驗。Gunderson和Levin曾發現，家長與幼兒的“數字交流”（number talk）對其早期理解數學概念的能力有促進作用[19]。此外，可能還有近似數字系統精確度閾值和兒童對所獲得知識的激活程度的影響。

近幾年，有很多學者進行過數感與數學成績之間關系的追蹤研究。比如，Jordan， Kaplan， Olah和Locuniak進行的追蹤研究，他們把幼兒園時期分為幾個時間點，分別測量每一個時間點幼兒的數感得分和數學成績[20]。結果發現：（1）最初數感得分高的幼兒，后來的數學成績就會維持在較高水平；（2）最初數感得分低的幼兒，后來的數學成績就會保持在較低水平。此結果表明數感對數學成績的預示性影響，然而在幼兒園時期的數學學習與入學之后正式的數學學習情況很不一樣，所以這個結論對于兒童入學后數學學習的預測作用有一定的局限。

（三）數字大小范圍在兒童頭腦中的映射不完整

早期數學的基本標志是阿拉伯數字，它們和兒童以后要學習的數量關系等內容有密切聯系。兒童早期的數感為這些聯系打下基礎。兒童將數字大小范圍映射到他們的大腦中需要注意力和前額皮層的參與。在這一過程中控制注意力很有必要，因為數字對兒童來說是沒有意義的符號，它們進入兒童的數量直覺時，兒童要知道其基本意思。比如，兒童學習了3和7這兩個數字，需要知道7表示的大小范圍比3大。智力不僅在這個階段很重要，在后期兒童還需了解數字之間的系統關系，仍然需要智力發揮作用。現階段只是通過近似數字系統將數字與其代表的數量大小聯系起來。由此看來，前期數學基礎對后面的數學學習困難或低數學成績至少有三方面的潛在來源：近似數字系統、注意控制系統和二者之間的聯結，包括前額皮層的注意控制系統、腦區中的溝回與負責長時記憶的海馬[21]。

有研究發現二年級的數學困難學生有完整的近似數量系統，但在加工數量大小和阿拉伯數字時比同齡人慢，表現出反應不足的缺陷[22]。這些兒童智力水平中等，但不能獨立地集中注意力。數學學習困難兒童在近似數字系統任務中精確性很低，在把數字與數量大小相對應聯系起來的過程中表現出困難[23]。注意力控制不足及其他因素造成反應困難，但不會對近似數字估計系統有影響，某些數學成績低的兒童比成績高的兒童反應更困難，這是由于注意控制的稍微薄弱或前額皮層與頂區內溝回的聯結不完整[24]。

（四）對數字符號系統表征的理解力較弱

理解特定阿拉伯數字的意義，知道它們的主要價值，是數學學習過程中關鍵和具有挑戰性的一步。明確理解數字符號系統的邏輯結構是更具意義的一步，這表明兒童開始懂得數字間關系和數字的功能：排列順序和表示相對大小。這不是簡單地重復數數，而是懂得9比8大1，按此順序可以排成一個數列。這就是對數字符號系統表征的理解力。

兒童的數感和其他數量知識（如：給整個積木堆增加一塊積木，會增加它總體的大小）達到何種程度是一個未解決的問題，這類知識對數學學習很有必要，兒童可以此類數感作為日后數學學習的“腳手架”。兒童數學學習的一個方面來自于早期的數感，因為固有數量知識的頂峰相對數學知識的拓展形式是有限的。當然，人們在童年之后依然在許多方面用到數感，問題在于它對正式的數學學習是否有用。有意的注意力控制和智力對于理解和加工數字間的明確關系比其他數學領域內容更重要。

Bugden和Ansari研究發現，一年級和二年級學生自動反應數字大小的流暢性和比較兩個數字大小的能力之間無相關，后者可以預測數學成績[25]，但自動反應數字大小的流暢性不能預測[26]。在另一研究中，數學學習困難兒童在智力方面的缺陷（其平均智商為96，高數學成績兒童的平均智商為107）表現在一年級時數列學習的遲緩，二年級時注意力控制的薄弱[27]。數學成績低的兒童的平均智力低于成績高的兒童，但是在控制注意力上沒有太大差別；其數列學習的表現在一年級時比成績高的兒童落后，但二年級時他們就與成績高的兒童差別不大了。Delphine和Emmy等人以平均年齡為5歲的幼兒作被試，探討了學前兒童的近似數字系統和符號數字加工的關系，發現近似數字系統精確度與符號數字的加工正確率無顯著相關，說明在兒童早期，近似數字系統與數字符號就是兩個不同的代表體系[28]。隨著兒童年齡和知識的增長，二者可能會有彼此交叉、相互作用，這方面的具體情況還有待實驗證明。

如果兒童理解了符號數字的實際意義，懂得了數列的邏輯結構，智力的重要性就比注意力控制的重要性低一些了，因此可以說，數列或數的位置的學習是比較容易的。在這種情況下，數學學習困難兒童在學習上的遲緩看起來和智力與注意力控制有關，但在學習過程的不同方面程度不盡相同。數困兒童和數學成績低的兒童在學習發展方面的許多不足是不能理解數字符號的問題，它獨立于智力與注意力控制，但目前不確定早期的注意力控制不足必然會造成數量學習的遲緩及以后與之相關的更嚴重問題。

（五）執行功能水平較低

執行功能水平較低是導致兒童早期數學低分和數學學習困難的一個重要因素。執行功能常常被看作主要是由前額葉調節的一種復雜的認知功能， 是指個體的許多認知加工過程的協同操作， 在實現某一特定目標時，個體所使用的靈活而優化的認知和神經機制， 包括計劃、控制沖動、抑制、定勢轉移或心理靈活性以及動作產生和監控等一系列功能[29]。執行功能可以預測數學能力的發展，有研究發現，兒童3歲時的執行功能與6歲時的數學能力之間存在顯著相關，控制非正式數學能力、社會經濟地位等因素后，仍存在顯著相關[30]。該研究強調了執行功能在預測兒童從非正式的數學學習轉換到正式數學學習過程中存在困難的數學能力情況。執行功能的各個成分會參與到兒童學習數學的過程，例如，在數數的時候，兒童需記住數字的名稱、序列并運用數數的原則；在解決文字應用題的時候，需要關注數字和數量關系，而抑制對問題情境的過分關注。這些體現出計劃、抑制、監控等功能的作用。

三、學前兒童數學能力的測查方法與工具

前文總結了兒童早期數學學習困難可能表現出的一些問題，如果能夠在兒童入學前檢測出其數學能力方面的不足，盡早采取措施引導、督促其學習，培養他的數學學習興趣與能力，以防入學后成績落后、厭學等一系列問題，將會對他未來的學習生活大有裨益。盡管有一些工具和量表可以評估數學學習困難，但目前沒有一個公認的工具，研究者通常使用一系列測驗和相對寬泛的標準來界定和診斷數學學習困難。針對學前兒童數學能力的檢測，比較有代表性的是Ginsberg和Broody開發的兒童早期數學能力測驗（TEMA）[31]，此測驗共72個項目，適用于3～8歲兒童，涉及唱數、簡單運算、數字讀寫、心理數字線、十進位和應用題方面，目前沒有中國兒童的常模。Jordan， Glutting， Ramineni和Watkins研究發現了簡版數感測驗[32]，它有良好的診斷和預測效度，學齡前和一年級時的數感水平至少能夠預測到三年級的數學能力。此測驗題目數量少，施測時間短，便于進行大規模的篩選工作，預測準確性在078～088之間。測試近似數字系統精確度的常用工具是點陣圖數量比較[33]，它可以控制點的數量、大小、顏色、呈現時間、比例等等。周欣等人編制的《數學學習困難兒童數和數量關系理解診斷性測查》是適用于學前兒童的測查量表[34]，可診斷出數量關系方面的問題，比如計數、集合比較、加減運算、序數、認讀個位數、數字符號表征理解等。評估學前兒童的抑制控制能力可用白天/黑夜任務或Stroop實驗范式，測查兒童言語工作記憶通常使用詞語倒背或數字倒背任務，測試兒童視覺工作記憶可用科斯積木任務，評估轉換能力可用靈活項目選擇任務，等等。

四、總結與展望

學生期間的數學能力會影響成年后的工作、生活和協調現代活動的能力，在上學之前就應對兒童的這些能力和需要著手準備，許多兒童沒有做好早期準備因而入學后就會處于劣勢，早期的發現與適當干預會使類似情況有所好轉。兒童早期數學學習的機制對其數量學習的干預發展至關重要，這些機制包括先天的數量大小感覺，對數字和基本數學符號的含義的反應流暢性，正確使用數字、數學符號并理解它們之間邏輯關系的能力。它們在兒童不同的學習階段的重要程度不同，造成學困兒童的學習困難程度也不同，未來還需加強對這些方面的實證研究。現在關于數學學習困難的研究主要集中在數字加工、數量計算與算術知識等方面，對于早期的模式認知、測量能力、空間幾何能力、數字邏輯結構等方面的探索不太深入，可以采用縱向研究的方法，深入探討早期數學基礎對日后這些數學能力的影響，進而實施干預方案，追蹤探究兒童數學學習的發展軌跡。鑒于學前兒童活潑、愛玩的天性，要慎重考慮干預方案的可行性。兒童先天的數感有進化的基礎，在其發展過程中也有可塑性。注意力控制的不足與解決邏輯問題方面的缺陷并不意味著數學學習困難兒童不能學好數學，直接明確地指明核心數學關系對數學習困難兒童理解數學問題尤其重要[35]。這些僅僅是數學學習的第一步，沒有良好的基礎，兒童以后的數學學習將更加困難。總之，應該重視早期階段對兒童數學學習能力的觀察與培養，采取合理的方式對其進行訓練，在學前期可通過設計數字游戲和活動來增強兒童對數學學習的興趣，讓其在生活中更多的運用數學，引導他們慢慢步入數學思維的道路上來。

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Abstract： Childrens mathematical abilities are of vital importance for their future development. Generally speaking， who begins early and pays attention to it will take the leading position， the rest will behind them. The mathematical thinking and skills which learned at preschools can influence the childrens later study at primary schools. There are some opinions about early mathematics study： （1） Approximate number system （ANS） has significant effect on early mathematics study. （2） Teaching children to concentrate on textbooks or learning materials consciously can speed up their mathematics study process. （3） Childrens intelligence situation will affect the number of processing map in their minds. （4） The representation ability of symbolic number system as well as the executive function is directly related to the mathematics learning disability. The studies about children with mathematics learning disabilities suggest that these abilities are reflected in their learning process. To clarify how and when these abilities work for children， then taking some appropriate interventions to the childrens mathematics learning will do help for the development of individual and society.

Key words： mathematics； early foundation； learning disabilities； measure

（責任編輯：劉宇）