淺談如何引導(dǎo)學(xué)生數(shù)學(xué)解題

【摘要】針對學(xué)生思維比較僵化問題，教師在教學(xué)過程如何打開學(xué)生思維，引導(dǎo)學(xué)生解題，本文從以下幾方面提出建議，培養(yǎng)學(xué)生整體思想，逆向思維，敢于尋求變異，一題多解，數(shù)形結(jié)合，嚴(yán)密思維，通過以上途徑引導(dǎo)學(xué)生解題，讓學(xué)生學(xué)會思考，提高他們綜合運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力。

【關(guān)鍵詞】整體思想 逆向思維 尋求變異 數(shù)形結(jié)合

【中圖分類號】G633.6 【文獻標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）20-0117-02

在數(shù)學(xué)解題過程中，教師要注意培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用知識的敏捷性和靈活性，啟迪和發(fā)展他們的思維能力，讓他們具有比較寬廣的解題思路，怎樣才能做到這一點呢？我認(rèn)為很重要的一點是在平時的教學(xué)過程中應(yīng)該積極引導(dǎo)學(xué)生，本文從初中數(shù)學(xué)教學(xué)的角度談?wù)勅绾我龑?dǎo)這個問題。

一、要樹立整體思想 不要囿于局部

面對一道題目，學(xué)生常常把相互聯(lián)系的問題割裂開來孤立地去思考，而不會從整體上去審視把握尋找突破口，從而束手無策，或者誤入歧途。

例1 如圖，已知△ABC中，∠A=80°，D是BC的延長線上的一點，∠ABC和∠ACD的平分線BE、CE交于E，求∠E的度數(shù)。

學(xué)生容易想到∠E=∠ECD-∠EBC，但是接下去他們的注意力往往只是集中于分別求出∠ECD和∠EBC的度數(shù)，實際上這兩個角的大小隨著點A位置的不同而改變，并無確定的值，這時要啟發(fā)學(xué)生把∠ECD-∠EBC作為一個整體對待，想到∠ACD=∠ABC+∠A時，即2∠ECD=2∠EBC+80°，從而∠ECD-∠EBC=40°，故∠E=40°

例2 如圖，拋物線y=ax2+bx+c過點（- ，0），判斷a-b+c的正負。

學(xué)生自然地想到：由于拋物線的開口向下，所以a<0，因拋物線的頂點在第一象限，它的橫坐標(biāo)- >0，于是得到b>0，又由圖像易知c>0，但是接下去無法判斷a-b+c的正負，這時可提醒學(xué)生，不要把a-b+c割裂開來，而應(yīng)從整體上去加以考慮，事實上當(dāng)x=-1時，y=a-b+c，對應(yīng)的點（-1，a-b+c）在第三象限，立即就可得到a-b+c<0.

二、要會逆向思維，不要只是順向思考

學(xué)生習(xí)慣于從條件推出結(jié)論的思考方法，這種思維方式是常用的，且往往是有效的，但如果局限于這樣的方法，不會逆向思維，那么有些問題或者不能得到解決，或者解題過程不簡捷，同時，逆向使用某些公式或定理也是一種重要的解題思路，在學(xué)習(xí)過程中教師應(yīng)用時幫助學(xué)生掌握。

例3 求證：不存在實數(shù)m，使方程8x2-（m-1）x+m-7=0的兩實數(shù)根互為倒數(shù)。

分析：直接去證明很困難，可逆向加以考慮，如果存在實數(shù)m，使方程的兩實數(shù)根互為倒數(shù)，m=？

由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系和已知條件知道 =1，解得m=15，但當(dāng)m=15時△<0，方程沒有實數(shù)根，因此不存在實數(shù)m，使方程的兩實數(shù)根互為倒數(shù)，問題迎刃而解。

三、要敢于尋求變異，不要墨守成規(guī)

學(xué)生在解題時一般從已有的經(jīng)驗和習(xí)慣的方法入手，這是很自然的，但是不應(yīng)該把這樣的經(jīng)驗和方法作為一成不變的模式，在解題時要敢于突破常規(guī)，使解題思路和解題方法新穎而別致。

例4已知A= ，B= ，比較A、B的大小

對于這種問題，一般情況下，總考慮對分線或分子直接進行通分來比較A、B的大小，但是，對于此題，這樣做，會很繁瑣，分析它們的特征，發(fā)現(xiàn)分子上的兩個數(shù)字僅僅是個位上不同，分母上的兩個數(shù)字亦如此，于是打破常規(guī)采用換元法。設(shè)5678901234=x，6789012345=y則A= ，B= ，得，A-B= - = ，∵2x>y，y（y+2）>0，∴A>B

把分?jǐn)?shù)的大小比較變換為分式的大小比較，乍看起來，這樣做有悖常理，但正是這樣做，使解題過程簡單明了。

例5 一船逆水而上，船上某人有一件木質(zhì)東西掉入水中，當(dāng)船調(diào)轉(zhuǎn)船頭去追趕時，時間已過2分鐘，再過多久，船才能追上所掉的東西？

這道題應(yīng)是列方程解應(yīng)用題問題，可以設(shè)x分鐘后船追上所掉的東西，但列方程時卻發(fā)現(xiàn)相等關(guān)系不容易找到，讓學(xué)生在碰壁以后仔細想一想，造成困難的原因主要是缺少速度這個量，因此鼓勵他們大膽引入輔助未知數(shù)。

設(shè)船在靜水中的速度和水流的速度分別為v1米/分，v2米/分，如圖所示，東西在A處掉入水中，船從A處航行到B處時再回頭已航行了2（v1-v2）米，而此時掉入水中的木質(zhì)東西已漂浮了2v2米到達C處，船從B處開始，在到D處追上所掉的東西，一共行了（v1+v2）x米，木質(zhì)東西從C處到D處又漂浮了v2x米，于是有方程2（v1-v2）+2v2+v2x=（v1+v2）x

解得x=2

上述方程中出現(xiàn)了三個未知數(shù)v1，v2，x，但并不能解出v1，v2的值，它們所起的作用在于把復(fù)雜而隱蔽的數(shù)量關(guān)系清晰地表示了出來，如果不能突破常規(guī)，這道題就不容易入手。

四、要不斷探索 不要滿足于一得之功

學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中不斷積累經(jīng)驗，逐步形成了一定的解題 套路，能有效地解決熟悉的問題，教師應(yīng)該明確指出，如果只會按照題型對號入座，滿足于一得之功，那就限制了思路的開拓，教師要提倡一題多解，表揚不斷探索的精神，可將各種解法加以對照，比較優(yōu)劣，開闊視野，不斷提高學(xué)生的思維能力。

例6已知方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根之和為s1，兩根平方和為s2，兩根立方和為s3，求as3+bs2+cs1的值。

學(xué)生從題設(shè)條件容易想到利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系來解決，這時侯教師提出是否有更簡捷的方法，并和學(xué)生一起探討。

解法1：設(shè)兩根分別為x1，x2，則x1·x2= ，x1+x2=-

∴s1=-

s2=x12+x22=（x1+x2）2-2x1x2= -

s3=x13+x23=（x1+x2）（x12-x1x2+x22）=- （ - - ）=- +

∴as3+bs2+cs1=a（- + ）+b（ - ）-c· =0

解法2：設(shè)兩根分別為x1，x2，則ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，

于是as3+bs2+cs1=a（x13+x23）+b（x12+x22）+c（x1+x2）

=ax13+bx12+cx1+ax23+bx22+cx2

=x1（ax12+bx1+c）+x2（ax22+bx2+c）=x1·0+x2·0=0

比較兩種解法，顯然是解法2利用根的定義來解決要簡便得多。

五、要形數(shù)結(jié)合 不要形數(shù)分家

學(xué)生往往見到幾何題就只想幾何的方法，見到代數(shù)題就只想到代數(shù)的方法，有時冥思苦想了半天仍未找出答案，在平時教學(xué)中，教師應(yīng)該適時地引導(dǎo)學(xué)生注意兩者之間的結(jié)合，開拓他們的思路。

例7已知x+3+x-1=4，求x的取值范圍

這道題當(dāng)然可以采用去掉絕對值的符號的辦法加以解決，但是從幫助學(xué)生確立數(shù)形結(jié)合的思想來說，運用絕對值的幾何意義來解具有很大的啟發(fā)作用，而且解法更簡便。

解：設(shè)A，B，X分別是數(shù)軸上表示-3，1和x的點，則X與A，B兩點的距離的和是4。

由圖可見，當(dāng)X在A，B兩點之間的任一位置（包括端點A，B）時，線段AX的長與XB的長的和總是等于4，而在此范圍之外則大于4，∴-3≤x ≤1。

例8 已知等腰三角形腰長為10，面積為48，求它的內(nèi)切圓半徑r。

解：如圖，設(shè)△ABC中，AB=AC=10，BC=2x高AD=y，⊙o內(nèi)切于△ABC的底邊BC于D.由等腰三角形的對稱性得BD=DC=x根據(jù)題意得方程組：

·2x·y=48 ·2x·r+2· ·10r=48x +y =10

解之，得r=3或r= ，它們都符合題意。

這道題利用三角形的面積和勾股定理列出方程組，過程明確，簡潔。兩個解的出現(xiàn)彌補了幾何示意圖的不足，出乎學(xué)生的意料之外，加深了他們對用代數(shù)方法解幾何題的印象和認(rèn)識。

六、要仔細審視 不要以偏概全

仔細審題，對題目中的條件和結(jié)論進行全面的，慎密的思考分析，是正確解答題目的前提，特別要注意題目中存在的隱含條件，在得到某種答案以后不要沾沾自喜，淺嘗輒止，要考慮多種可能性，防止以偏概全，造成錯解或漏解。

例8已知 ，？茁是一元二次方2x2+6x+1=0程的兩根，求 + 的值。

錯解： ∵ +？茁=-3， ？茁=

∴ + = + = =-3

實際上，由 +？茁=-3<0， ？茁= >0可知a<0，？茁<0。學(xué)生沒有注意到這個隱含條件，再加上對算術(shù)平方根的概念理解不透徹，造成了錯解。

正確的解法是： + = + =- =-3

從應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變，對中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)提出了更高的要求，這就需要我們在教學(xué)工作中加強研究，充分發(fā)揮學(xué)生認(rèn)知主體作用，注重對學(xué)生認(rèn)知方法的培養(yǎng)，積極引導(dǎo)學(xué)生進行數(shù)學(xué)解題，讓學(xué)生學(xué)會思考，提高他們綜合運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力，最終達到提高素質(zhì)的目的。

參考文獻：

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[2]羅增儒.數(shù)學(xué)解題學(xué)引論[M].陜西師范大學(xué)出版社，2001

[3]南秀全.新黃岡數(shù)學(xué)題庫[M].青島出版社，2008年

作者簡介：

葉振洪（1968-），男，廣東廣州人，本科，數(shù)學(xué)中學(xué)一級，研究方向：初中數(shù)學(xué)教學(xué)。