天體密度求解再歸納

【摘要】在萬有引力與航天中，求解天體密度屬于常見題型，一般情況都是利用環繞天體的運動學參量和軌道半徑求解中心天體質量，再加上中心天體的半徑即可求出天體的密度。而有些情況下，若能知道環繞天體的周期和環繞天體軌道半徑與中央天體半徑的關系，即可求出中心天體的密度；利用自轉周期和自轉帶來的影響也可求解中心天體的密度，下面對這些特殊情況下天體密度的求解再歸納。

【關鍵詞】萬有引力 周期 中心天體 密度 自轉

【中圖分類號】G633.7 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2017）20-0183-01

一、一個周期和一個關系測天體密度

一個周期指環繞天體的周期，一個關系指環繞天體的軌道半徑與中央天體半徑的關系。

例1.已知月球繞地球軌道半徑約為地球半徑的60倍，月球繞地球的公轉周期為27天，已知引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，試估算地球的平均密度。

解析：設地球半徑為R，即月球繞地球的軌道半徑約為60R。

=m（ ）260R

ρ=5.5×103kg/m3

例2.（2014廣東高考改編）如圖所示，飛行器P繞某星球做勻速圓周運動，它的環繞周期為T，星球相對飛行器的張角為θ，已知引力常量為G，求該星球的平均密度。

解析：本題給出星球相對飛行器的張角θ，其實就給出了星球半徑和軌道半徑的關系，設星球半徑為R，軌道半徑為r。

=m（ ）2r

M=ρ· πR3

rsin =R

聯立上式可得ρ=

二 、以星球自轉為背景測天體密度

例3.（2014新課標II卷改編）如果在一個星球上，宇航員為了估測星球的平均密度，設計了一個簡單的實驗：他先利用手表，記下一晝夜的時間T；然后用彈簧測力計測一個砝碼的重力，發現在赤道上的重力為兩極的90%。引力常量為G，試寫出該星球平均密度的估算表達式。

解析：這里T為星球的自轉周期，正是自轉導致了赤道處重力與兩極處重力的差異，兩極處物體所受的重力等于萬有引力，赤道處物體做圓周運動的周期等于地球的自轉周期T，設星球密度為ρ，半徑為R，以赤道處物體為研究對象。

-0.9 =m R

Gρ π-0.9Gρ π=

ρ=

例4. 中子星是恒星演化過程的一種可能結果，它的密度很大。現有一中子星，觀測到它的自轉周期為T= s，引力常量G=6.67×10-11N·m2/kg2，問該中子星的最小密度應是多少才能維持該星球的穩定，不致因自轉而瓦解。

解析：由于星球自轉周期過短，導致赤道處物體率先脫離地表成為近地衛星，本題實際上研究的是近地衛星，知近地衛星的周期和萬有引力常量求中心天體的密度。

=m R

Gρ =

ρ=

代入數據解得ρ=1.27×1014kg/m3

總結：無論是知道環繞天體半徑與中心天體半徑的關系，還是地球自轉帶來的影響，其本質與常規測天體密度原理一致，只是在處理過程中，半徑被約去了，此類問題的條件隱蔽性較強，希望學生在處理過程中不要被物理情景蒙騙，而應正確分析研究對象，運用常規方法解決問題。

作者簡介：

王謀軍（1980.05-），男，本科，安徽六安人，職稱：中一。