“球”與計數問題結奇緣

■廣東省廣州市海珠外國語實驗中學 姜云異

“球”與計數問題結奇緣

■廣東省廣州市海珠外國語實驗中學 姜云異

題目 5個相同的球,放入8個不同的盒子中,每盒至多放1個球,共有多少種放法?

解析:由于球都相同,盒子不同,每盒至多放1個球,所以只要選出5個不同的盒子,就可以解決問題,這是一個組合問題。因此, 5個相同的球,放入8個不同的盒子中,每盒至多放1個球,共有C58=56(種)放法。

點評:組合問題與排列問題的根本區別在于排列問題與取出元素之間的順序有關,而組合問題與取出元素的順序無關。

變式1 5個不同的球,放入8個不同的盒子中,每盒至多放1個球,共有____種放法。

解析:由于球與盒子均不同,每盒至多放1個球,所以這是一個排列問題。可直接從8個不同的盒子中取出5個盒子進行排列(即放球),所以,共有A58=6720(種)放法。

點評:本題與原題比對僅一字之差,答案卻相差萬里,因為一個“不”字,組合問題演變成了排列問題,可見審題是何等重要。

圖1

變式2 編號為A, B,C,D,E的5個小球放在如圖1所示的5個盒子里,要求每個盒子只能放1個小球,且A球不能放在1,2號盒子,B球必須放在與A球相鄰的盒子中,不同的放法有多少種?

解析:根據A球所在位置分三類:

(1)若A球放在3號盒子內,則B球只能放在4號盒子內,余下的3個盒子放球C, D,E,則根據分步乘法計數原理得,此時有=6(種)不同的放法;

(2)若A球放在5號盒子內,則B球只能放在4號盒子內,余下的三個盒子放球C, D,E,則根據分步乘法計數原理得,此時有=6(種)不同的放法;

(3)若A球放在4號盒子內,則B球可以放在2號,3號,5號盒子中的任何一個,有種不同放法。余下的3個盒子放球C,D, E,有A33種不同的放法。根據分步乘法計數原理得,此時有A13A33=18(種)不同的放法。

綜上所述,由分類計數原理知不同的放法共有6+6+18=30(種)。

點評:因A球的放法有限制,故以A球所在位置分類,每一類中的計數用了乘法原理(排列),最后再加法原理算出結果。

變式3(2014年福建高考卷)用a代表紅球,b代表藍球,c代表黑球。由加法原理及乘法原理,從1個紅球和1個藍球中取出若干個球的所有取法可由(1+a)(1+b)的展開式1+a+b+ab表示出來,如:“1”表示一個球都不取,“a”表示取出一個紅球,而“ab”則表示把紅球和藍球都取出來。依此類推,下列各式中,其展開式可用來表示從5個無區別的紅球、5個無區別的藍球、5個有區別的黑球中取出若干個球,且所有的藍球都取出或都不取出的所有取法的是( )。

A.(1+a+a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5

B. (1+a5)(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c)5

C.(1+a)5(1+b+b2+b3+b4+b5)(1+c5)

D.(1+a5)(1+b)5(1+c+c2+c3+c4+c5)

解析:從5個無區別的紅球中取出若干個球,可以1個球都不取、或取1個、2個、3個、4個、5個球,共6種情況,則其所有取法為1+a+a2+a3+a4+a5;從5個無區別的藍球中取出若干個球,由所有的藍球都取出或都不取出,得其所有取法為1+b5;從5個有區別的黑球中取出若干個球,可以1個球都不取、或取1個、2個、3個、4個、5個球,共 6種情況,則其所有取法為,根據分步乘法計數原理得,適合要求的所有取法是(1+a+ a2+a3+a4+a5)(1+b5)(1+c)5。故選A。

點評:本題背景新穎獨特,考查了兩個計數原理的基本應用。解答本題要求同學們必須具備較的強閱讀理解能力與分析問題、解決問題的能力。

(責任編輯 徐利杰)