數形結合，為數學課堂插上隱形的翅膀

牟小燕

一、什么是數形結合？

數形結合是數學中重要思想方法之一。它既具有數學學科的鮮明特點，又是數學研究的常用方法。數形結合思想----就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維與形象思維結合。贊科夫說：“教會學生思考，這對學生來說，是一生中最有價值的本錢”，而要教會學生思考，實質是要教會學生掌握數學的思想方法。常用的數學思想方法有很多，而數形結合思想具有數學學科的鮮明特點，是解決許多數學問題的有效思想。將抽象的數量關系形象化，具有直觀性強，易理解、易接受的特點。將直觀圖形數量化，轉化成數學運算，常會降低難度，并且使知識的理解更加深刻明了。

二、數形結合有哪些功能？

1.有利于記憶

由于數學語言比較抽象，而圖形語言則比較形象。利用圖形語言進行記憶速度快，記得牢。笛卡爾曾說：“沒有任何東西比幾何圖形更容易印入腦際了。因此，用這種方式來表達事物是非常有益的。”同時，由于圖象是“形象”的，語言是“抽象”的，因此對圖形的記憶往往保持得比較牢固。

2.有助于思考

用圖進行思維可以說是數學家的思維特色。往往一個簡單的圖象就能表達復雜的思想，因此圖象語言有助于數學思維的表達。在數學中，有時看到學生遇到難題百思不得其解時，如能畫個草圖稍加點拔，學生往往思路大開。究其原因就是充分發揮了圖象語言的優越性。

三、如何培養學生的數形結合思想？

1.強化意識，體會作用

我國著名數學家華羅庚所說：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休。”數形結合思想方法能巧妙地實現數與形之間的互換，使得看似無法解決的問題簡單化、明朗化，讓人有“山窮水盡疑無路，柳暗花明又一村”的感覺。數形結合思想方法在解題中的重要性決定了它在平時的教學中也應該受到重視。在數學教學中教師要有意識地溝通數、形之間的聯系，幫助學生逐步樹立起數形相結合的觀點，提高主動運用的意識，并使這一觀點扎根到學生的認知結構中去，成為運用自如的思想觀念和思維工具，從而提高學生數學修養與解題能力。

【案例】

學生學完長方形和正方形的周長后，有一題是這樣的：用4個邊長為2厘米的正方形拼成一個長方形或正方形，周長最大是多少？最小是多少 ？

面對這樣一個問題，好多學生都感到很茫然，不去作進一步的思考，便會錯誤的這樣列式：2×4×4=32（㎝）。因為學生的思維大多都是停留在對表面意思的理解：一個正方形的周長是2×4=8（㎝），那么4個小正方形拼在一起周長不就是8×4=32（㎝）了嗎？他們往往沒有去作深層次的思考：小正方形拼在一起后有些邊長被重合在一起了，計算時單純地用1個小正方形的周長再乘4，有些邊長重復計算，導致新拼成的圖形周長不準確。那么，這個問題要去思考到底是哪些邊長會重合在一起，對于中等及以下的學生來說，憑借頭腦憑空想象是有相當大的難度的？如何解決這個問題？其實，無需老師多言，讓學生同桌合作，自己動手拼一拼、擺一擺，再認真仔細的觀察，答案就顯而易見了。學生通過操作，很快就得出了兩種不同的擺法：

再通過計算，得出了兩種不同的結果：（8+2）×2=20（㎝） 4×4=16（㎝），問題便迎刃而解。

在這樣的探究過程中，教師把“數學結合思想方法”有意識的滲透在學生獲得知識和解決問題的過程中，充分利用直觀圖形，把抽象內容視覺化、具體化、形象化，化深奧為淺顯，讓學生在觀察、實驗、分析、抽象、概括的過程中，看到知識背后負載的方法、蘊涵的思想，那么，學生所掌握的知識才是鮮活的，可遷移的，學生的數學素質才能得到質的飛躍。

2.擴大范圍，廣泛應用

要培養學生數形結合思想方法，首先教師要切實掌握數形結合的思想方法，以數形相結合的觀點鉆研教材，努力挖掘教材中可以進行數形結合思想方法滲透的各種因素，都要考慮如何結合具體內容進行數形結合思想方法滲透。“數形結合思想方法”包含“以形助數”和“以數輔形”兩個方面，在小學數學“數與代數”領域教學中，用得最多的是前者，我們可以把數學結合思想方法滲透在教學中的每一內容。以數與形相結合的原則進行教學。

（1）數的認識方面。例如在教學《1000以內數的認識》這節課教學中利用小立方體有效的幫助學生構建知識，以及初步感知十進制的計數方法。數數的難點就是接近整百的數，學生無法感受抽象的數數之間滿10的變化，那么我們就將數數的抽象思考方式放大，將思維暴露出來，讓學生通過觀察小方塊的變化，一對一的數數，在數到9變成10時，通過演示讓學生理解10的由來同時強化十進制關系。同時通過 “形”來感知數的多少，既形象又深刻，培養了學生良好的數感。

（2）數的運算方面。借助“形”來幫助學生理解非常重要，如在教學退位減法時利用小棒等實物或圖形來理解算理，幫助學生建構“破十法”的原理；教學進位加法時利用小棒等實物或圖形，幫助學生建構“滿十進一”的算理；教學中我們還可以豐富其內容，如：被減數中間有0的減法，可以利用計數器有效的突破難點等等。

（3）問題解決方面。借助數形結合能化抽象為形象，幫助學生建立直觀模型，讓數量關系更形象、更清晰。

【案例】公雞有50只，比母雞少15只，母雞有幾只？

這類“求一個數比另一個數多（或少）多少的數是多少的問題”學生往往憑借經驗“多加少減”胡亂答題，而不去真正的理解題意。單單憑借教師枯燥乏味的去給學生講解兩個量之間的多少關系，聽得學生云里霧里，最終弄不清楚到底哪個量多，還不如換一種思維方式，把文字敘述轉化為直截了當的圖形——線段圖，從線段圖中很直觀地看出母雞的只數由兩部分組成：與公雞同樣多的部分和多出來的部分，列式 50+15=65（只）整個過程數形結合，在直觀圖示的導引下，使問題化難為易，化抽象為具體，學生通過看圖便一目了然了。與此類問題相類似的還有這樣一種問題：

果園里有150棵蘋果樹，梨樹的棵樹比蘋果樹的2倍少50棵，梨樹有多少棵？

果園里有150棵梨樹，梨樹的棵樹比蘋果樹的2倍少50棵，蘋果樹有多少棵？

這兩個相似的問題不仔細辨別，認為兩個題目是一樣的，而實際上兩個問題由于“1倍量”及倍數關系的不同，導致兩個問題的解題思路不同。恰好也就是這樣的問題，學生很容易把兩個問題搞混淆，原因是什么？原因就是學生不能正確根據文字描述的題意理解清楚，如果能把這兩個問題的文字描述轉化為線段圖來幫助理解，學生就很容易根據圖意正確列出算式了。

（4）常見的量方面。例如在教學《24時記時法》的教學中可以利用鐘表上的刻度，1個大格代表1小時，24小時就是鐘面上的時針走了2圈，同時形象的理解了0時和24時在同一點上，讓具體的“形”與抽象的數相輔相成，從而建立起感性認識。

（5）式與方程方面。例如，等式的基本性質的教學，都是以天平秤為載體，通過以加、減、乘、除等方式不斷的改變天平秤兩邊的數量，從而引導學生得出“等式的兩邊同時加或減一個相同的數，結果仍然是等式；等式的兩邊同時乘或除以一個相同的數（0除外），結果仍然是等式”的等式基本性質；在方程意義的教學中，同樣也是利用天平來幫助學生建立方程存在的等量關系，從而認識什么是方程。

（6）幾何方面的運用。數形結合思想在幾何中的應用就更為普遍了。比如：“繩子圈羊”活動、“玩泥巴、捏泥人活動”、“切蘿卜活動”等等，以及平時在教學中還用到的許多類似的方法，都是數形結合思想的體現。目的就是使題意更加形象、直觀，便于學生更好的理解。

四、數形結合有哪些方法？

數形結合的思想方法是數學學科里最常用的一種方法，它包含了轉化、配方、分類討論、方程思想等數學思想方法，可見數形結合思想方法是數學中極具綜合性的思想方法。在平常的教學活動中讓學生學到數形結合的方法。教師可以采用多種方式精心組織學生訓練，讓學生置身于具體的教學過程，才能在教師的引導下逐步領悟，理解和掌握。

1.運用或聯想實物。

2.畫圖。畫圖的形式很多，包括畫線段圖、畫圖形、畫示意圖、畫面積圖、畫點子圖、集合圖等等。

3.利用數軸。數軸是體現數形結合思想的一個重要方法。利用數軸，找到實數與數軸上的點的對應關系，讓數與數軸這個“形”，緊密融合在一起。

例如，教學《小數大小比較》時，由于學生在學習本節課的內容之前只是初步的認識了小數，還沒有深入的學習小數的意義，因此學生在總結比較的方法時用抽象的數學語言比較困難。當文字的表述有困難時，利用數軸能很好的解決這一問題。因為對于每一個小數，數軸上都有唯一確定的點與它對應，因此，兩個小數的大小比較，是通過這兩個小數在數軸上的對應點的位置關系進行的。借助數軸讓學生理解小數的大小，知道在數軸上越往后這個數越大，越往前這個數就越小。

再比如， 0.4 > （ ） > （ ） > （ ） > （ ）>0.3，一個這樣的練習我們應該如何去引導學生呢？

同樣可以借助數軸，在數軸上找出小于0.4大于0.3的小數以及能找出幾個這樣的小數。這個練習借助數軸，讓抽象的數學就變得具體、形象了。

4.幾何模型。例如，教學“1-1/2-1/4-1/8-1/16=”，對于小學生來說由于邏輯推理有一定的難度，一批中下學生不容易明白，如果采用幾何模型進行教學，學生都輕松的掌握了。將上面的算式構造成下面的幾何模型圖，把一個大正方形看成單位“1”，一次又一次地進行平均分，通過觀察幾何模型圖很容易看出1-1/2-1/4-1/8-1/16=？，運用數形結合思想方法可以把代數與幾何溝通了，使形直觀地反映數內在的聯系，拓寬思路，把復雜問題簡單化，從而順利且快速的解決問題，使數學知識變的更有生命力，讓人回味無窮。我們提倡多種方式來滲透數形結合思想，要培養學生胸中有圖見數想圖，以開拓學生的思維視野。

在數形結合的教學過程中，應該慎重考慮“先數后形”還是“先形后數” 兩者呈現的結果是不一樣的，要把握好。數形結合思想有助于學生思維更形象，數形結合思想的方法不是萬能妙藥，提高學生的抽象邏輯思維能力也是非常重要的，兩者之間應平衡。

數學課堂上有許多抽象的知識，學生很難憑空建立感性認識，借助數形結合，便可以為數學課堂插上隱形的翅膀，幫助學生遨游在數學王國！