排長隊太可怕？數學家教你怎樣最快

排長隊太可怕？數學家教你怎樣最快

排隊對于大多數人來說，是日常生活中經常遇到的事。從大型商場到街角小店，從機場、火車站安檢到各類辦事處都可以看到長龍似的隊列。

然而很多時候，你一定有這樣的感覺——自己選的隊列都走得很慢，甚至排到一半換個隊排還是很慢。

那么，究竟該如何判斷哪支隊列的移動速度最快呢？近日在澳大利亞《對話》雜志網站上，英國薩塞克斯大學統計學家尼克斯·喬治烏和恩里科·斯卡拉斯研究了排隊背后的數學問題。他們教了大家幾個排隊訣竅：鑒于大多數人是右撇子，會下意識選擇靠右的隊，那么你可以反其道而行，去排最靠左的隊伍；盡量找業務人員是女性的隊去排，因為她們通常動作更快；在超市收銀員速度大致相同的情況下，重要的是服務時間分布概念，也就是要看結賬的商品數而非排隊的人數。

最短的就是最快的？并非如此

想象一個場景：你來到超市一處收銀點，發現其中一排隊列比其他所有隊列要長，你理所當然地排在了人數較少的一排隊列后面。然而，人數最多的那一列一直在移動，你身處的較短的隊列卻幾乎紋絲不動。

在排隊的情況中，人們憑直覺選擇的隊列往往都不是最快的隊列。那么，為什么你一加入了那支隊列，該隊列就開始變得很慢了？有沒有方法能讓你知道哪支隊列是移動最快的？數學家們對排隊這一看似幾乎可以忽略的問題已經研究了多年，他們能幫助人們在排隊過程中節省更多時間嗎？

從直觀上來說，選擇最短的隊列似乎是最佳策略。畢竟，一個較短的隊列可能說明這一列的收銀員非常高效，而一個長隊列可能意味著該收銀員沒有經驗，或者這一列的顧客需要結算的物品非常多。但實際上，加入人數較少的隊列可能對人們來說更加不利。例如，如果一個隊列只有兩名顧客在排隊，但他們的手推購物車都已經裝得塞不下任何東西了，而另一列四名顧客的手推車卻幾乎沒裝任何東西，而在這種情況下，人們則更愿意加入后者。

如果收銀員們的效率大體相當，那么此時問題的關鍵就是每支隊列中顧客需要結算的物品總量，而不是排隊的人數。但如果手推車不是很滿，而手里提的籃子是滿的，這種情況就非常難判斷了。

排隊時間受哪些因素影響？

上述例子介紹了一個非常通俗的概念——收銀時間分布。收銀時間分布是一個隨機變量，用來衡量客戶收銀結賬的過程所需時間。這個概念包含了每個顧客平均的結算時間以及所有顧客所用收銀時間的標準差。簡單來講，這個概念代表著不同顧客所需收銀時間的時間區間。

另一個非常重要的變量則是其他顧客加入隊列的頻率，也就是達到率，而這取決于兩個連續進入商店的顧客之間的平均時間。在特定的時間區間內，加入隊列等待結賬的人越多，那么隊列也就越長。

根據以上被提及的變量，最短的隊列可能是排隊時間最短的一個，但也可能不會。例如，在魚店或是電腦芯片店這種地方，可能兩個收銀員在同時接受訂單和為顧客結賬。在這種情況下，加入最短隊列當然是最好的選擇，因為收銀員接收訂單所需時間變化并不太大。

然而不幸的是，在現實中，當你進入一家商店時，很難確切知道相關的變量是什么。所以人們仍然只能靠猜來判斷最快的隊列加入，或是依賴某些心理學等技巧，比如加入最左邊的隊列，因為大多數右撇子都會自動向右轉。

一旦你進入了隊列，你就會想知道你是否做出了正確的選擇。例如，你所在隊列的收銀員效率是不是最高的？觀察到實際的隊列長度很容易，你也可以嘗試將該隊列長度與所有隊列長度的平均值進行比較。

通過計算收銀時間平均值和標準差來判斷的方式，最早是1930年著名的Pollaczek-Khinchine公式提出的。除了收銀時間的平均值和方差外，該公式中還將每名顧客到達的平均時間納入了考慮。

排隊時長應該這么算

然而，如果你試著去測算一支隊列第一個人所用的結算時間的話，你很可能會覺得你選錯了隊列。這便是著名的費勒悖論或檢驗悖論。從技術上來講，這并不是一個真正意義上的邏輯悖論，但上述這種選錯隊列的情況確實與人們的直覺相反。

如果你在加入隊列時便開始計算顧客所用時間，那么你更有可能看到的結果是，第一個客戶所用時間可能要比平均每名顧客所用的時間要長。這會讓你覺得自己很倒霉，因為選擇了等待時間更長的隊列。

檢驗悖論的原理是：假設一家銀行提供兩種服務。其中一種服務只需要5分鐘或根本不需要任何時間（0分鐘），而兩種情況的概率完全一樣；另一種服務則是只需要10分鐘或20分鐘，這種情況的概率也完全一樣。而客戶選擇任意一種服務的概率都是一樣的，因此，銀行的平均服務時間是8.75分鐘。

如果你加入隊列時，最前方的顧客正處于結賬中，那么這類顧客所用時間就不可能算成0分鐘，而是5分鐘、10分鐘或20分鐘當中的一種，這使得這類顧客的平均所需時間超過11分鐘。事實上，在相同的情況下，這名位于隊列最前端、正處于結賬中的顧客更想要的是10分鐘或20分鐘的服務，而這也將使隊列看上去移動得更加緩慢。（據每日經濟新聞）