“數軸”在數概念教學中的應用

江蘇常熟市昆承小學 丁月芳

“數軸”在數概念教學中的應用

江蘇常熟市昆承小學 丁月芳

華羅庚所言“數無形時少直覺，形少數時難入微”形象生動、深刻明了地指出了數形結合思想的價值，也揭示了數形結合思想的本質。我們在研究抽象的“數”時，往往要借助于直觀的“形”，利用“數形結合”能使“數”和“形”統一起來，學習數離不開數軸，它反映了新的課程觀滲透數形結合思想的必要性和可行性。本文以“數軸”為例闡述數形結合思想在數概念教學中的應用。

數軸 概念教學 數感培養

吳亞萍教授把概念教學分為“數概念、形概念、統計概念、度量概念”，其中“數概念”是指整數、小數、分數、平均數等與“數”有密切關系的概念，是小學數學教學的重要組成部分，是學生進一步學習數的運算、與數有關的數學問題的基礎，是培養學生數感、符號感的重要載體。學生在研究數學問題時，由數思形、見形思數、數形結合考慮問題是一種常用的思想方法。數形結合不僅是一種數學思想，也是一種很好的教學方法。在我校開展的卷入式校本教研活動中，我們開辟了一個數概念教學之數軸篇，通過實踐與研究，得到一些關于數概念教學的啟示，下面就從中采擷一些教學案例對如何借助數軸進行數概念教學談一些粗淺的體會。

一、借助數軸，發展數感培養

數感的培養是數與計算教學領域改革的一個重要理念，學生數感的建立需要一個逐步體驗和發展的過程，小學階段培養數感都是運用“數形結合”，給學生提供豐富的學習素材，形象地感知數的實際意義，使學生在數學學習過程中逐步形成良好的數感。小學生對直尺非常熟悉，學生在認數的學習中，通常以直尺為原型，逐步經歷了從“數尺”到“數線”再到“數軸”的過程，把數與“數尺”“數線”“數軸”上的點一一對應起來。

如在教學“負數”后，教師可在數軸上表示出正數和負數的排列順序。

首先引導學生觀察“0”在數軸上的特殊位置，以“0”為分界點，0的右邊是正數，從左往右越來越大，0的左邊是負數，從右往左越來越小。借助數軸形象地感知數軸上的數從左往右的順序就是從小到大的順序，比0大的數是正數，比0小的數是負數，0既不是正數也不是負數，實現對數的知識的整體構建。

俞正強老師在“數感，是如何豐滿起來的”一文中指出：在學習“負數”之前，數大多表示“多”與“少”，可在學習負數的過程中，“數”不僅可以表示“多”“少”，更表示狀態。這是數感的又一次突破。這種數感的突破，最明顯地表現在對“0”的認識上。在這之前，“0”通常表示“沒有”，而在負數的認識中，“0”則表示一種可以作為區別的狀態，即通常說的“標準”……這種相對性的體驗，謂之為數感的培養。

可見，我們在研究抽象的“數”時，往往要借助于直觀的“形”，利用“數形結合”使“數”和“形”統一起來，豐富學生對數的形象感知，進一步發展學生的數感。

二、借助數軸，把握概念本質

在日常教學中，許多教師不能把握概念本質，以致學生對數概念的理解和認識淺嘗輒止、浮于表面。借助數軸可以緊扣概念的本質，展示概念的形成過程，幫助學生全面理解、準確把握概念的實質。

如在教學《求一個小數的近似數》時，以“1.496保留兩位小數”為例，應用“四舍五入法”求小數的近似數并不難，學生真正難理解的是“近似數1.50”末尾的“0”能不能去掉，為什么？對于大多數學生而言，一般只能從小數的外在形式進行解釋：近似數1.50末尾的“0”不能去掉，去掉了就相當于保留一位小數。要真正從小數的內在本質理解“近似數1.50和1.5精確度不同”這個問題，就需要應用“數形結合”思想來幫助學生透徹理解其中的原理，而“數軸”自然就是本課的“主角”。

下面是我利用“小數軸”啟發學生“大思考”的教學片段。

先給學生提供標有1.4、1.5、1.6的數軸，并提出研究要求：在1.4～1.6之間可以分別找到幾個兩位小數？能得到近似數為1.5的兩位小數又有哪些？再觀察一下這些小數在數軸上的位置有什么特點？可以獨立探究，也可以小組合作。

經過討論，呈現數軸（1）：

在學生充分發表自己的觀點后，我利用多媒體把1.45～1.54這個區域刷紅，引導學生仔細觀察這個紅色區域：以1.5為起點，從左往右依次數出4個兩位小數：1.51、1.52、1.53、1.54，它們的百分位上都沒滿5，在數軸上的位置更接近1.5，所以要忽略不計百分位上的數，取1.5，也就是“四舍”。再以1.5為起點，從右往左也可以依次數出4個更接近1.5的兩位小數：1.49、1.48、1.47、1.46，它們的百分位上都滿了5，要向十分位上的數進一，也就是“五入”。至于1.45，其實它剛好在1.4～1.5的正中間，離1.4和1.5的距離是相同的，那就鼓勵鼓勵它吧，讓它向大數靠攏。這樣，就產生了“四舍五入”的方法。

此時，學生們不僅對“四舍五入”法有了更深刻的理解，同時對得到近似數1.5的兩位小數的范圍有了一個直觀形象的感知。于是，我繼續拋出問題：“按照剛才的研究方法，你能在數軸上找一找精確到百分位可以得到近似數1.50的三位小數有哪些，這些小數在數軸上的位置又有什么特點呢？”

經過討論，呈現數軸（2）：

從數軸上可以看出近似數是1.50的三位小數在1.495～1.504之間。隨即利用媒體把數軸（1）和數軸（2）合二為一，引導學生進行對比，你有什么發現？

呈現數軸（3）：

此刻，學生的發現無疑是精彩紛呈的……

上述教學案例表明：由于數軸實現了數與形的聯姻，將數與直線上的點建立了對應關系，揭示了數與形的內在聯系，從而使抽象的“數”有“形”可依。通過借助數軸對比，讓學生直觀感受近似數是1.5的兩位小數在1.45～1.54之間，而近似數是1.50的三位小數在1.495～1.504之間，范圍小了。所以作為近似數，1.5不等于1.50，近似數1.50末尾的“0”是不能去掉的。1.50比1.5更精確。

數軸不僅可以幫助學生理解求近似數的方法，更能讓他們借助“形”理解“近似數”所蘊含的數學本質！

三、借助數軸，厘清縱橫關系

兒童數概念的發展不僅表現在概念本身的不斷充實和改造上，而且表現在概念系統的掌握上，因為小學生要掌握的概念不是各自孤立、互不相關的，任何一個概念總是與其他有關概念有一定區別又有一定聯系的。因此，教師要經常不失時機地引導學生掌握有關概念之間的區別和聯系，完成概念的系統化。

如《因數與倍數》這一單元，涉及的概念很多，尤其是如何處理好“奇數、偶數”與“質數、合數”之間錯綜復雜的關系，是一個值得探究的重要環節。每一次嘗試過后，總有一種隱隱的缺憾，在不斷實踐和完善的過程中，最終還是確定以“數軸”為突破口進行本章節的數概念教學。

板塊一：關于奇數和偶數。

①數軸上圈出奇數。

②交流奇數，沒有圈的數是？（將偶數讀一讀）

觀察數軸上的奇數和偶數，你有什么發現？

若n是奇數，那么n+1就是？若n是偶數，那n+1就是……

③把數軸上的奇數偶數分別移下來，形成兩個集合。數軸上還有數字嗎？根據是不是2的倍數，所有非零自然數不是奇數，就是偶數。

隨著數軸的繼續無限延伸，我們還會找到更多的奇數和更多的偶數，奇數和偶數都有無數個。

板塊二：關于質數和合數。

①在數軸上圈出質數。

②交流質數，沒圈出來的就都是合數？為什么1既不是質數也不是合數？

質數和合數的排列有規律嗎？除了2和3兩個質數是連著的，你覺得后面會不會還有連著的兩個質數？說說你的理由。

③把數軸上的質數、合數分別移下來，形成集合圈。數軸上的數都移下來了嗎？根據因數的個數可以把非零自然數分成三大類，其中，質數和合數的個數是無限的。

板塊三：兩種分類之后。

①同樣是非零自然數，分類標準不同，分類的結果也不一樣。同一標準分類出的數學概念之間界限清晰，你是你，我是我。但不同分類標準之間的概念是否有聯系呢？比如，奇數和合數質數之間，偶數和合數質數之間又有什么聯系呢？

②先獨立觀察，再小組討論。

集體交流，說說你的發現。結合交流課件相應呈現。

上述教學環節，教者充分挖掘教材，非常重視數形結合思想的滲透，巧妙利用數軸找出20以內的奇數、偶數，整理進集合圈，通過移一移的方式讓學生直觀感受到一個非0自然數不是奇數就是偶數；同理，整理20以內的質數和合數，使學生清晰地看到一個非0自然數按因數的個數可以分為三類：質數、合數和1。學生可以清晰地發現奇數、偶數中的“一一對應”，又通過質數、合數沒有明顯的排列規則中聯想和辨析是否還有像2、3這樣兩個連續自然數都是質數的情況，思考最多有幾個連續自然數都是合數的問題。但教師并未就此結束，而是繼續利用數軸找尋按不同分類標準得到的概念之間的聯系，不但找出了不同分類標準中各數字的不同，更關注了數與數之間存在聯系的數字：“2是奇數與質數間的障礙，9和15是奇數與合數間的聯系。”可謂聯系中有區別，區別中有聯系。

利用數軸，直觀形象地厘清了奇數和合數、質數之間，偶數和合數、質數之間的關系，不僅發展了觀察和概括能力，而且提升了推理和證明的思維水平。可見，數軸的更大作用是把數的抽象概念直觀地表達出來，既能幫助學生觸摸概念的本質，又可以促進學生對概念的深入辨析。

四、借助數軸，構建知識網絡

由于數概念包括整數、分數、小數、負數等，基本概念較多，加之教材采用“螺旋式上升”的編排原則，把“數的基本概念”分解到了六個年級的12本書中，以一個個知識點的方式呈現這些概念，使得教學容易出現知識點“多、散、雜”的狀態，容易形成學生“只見樹木不見森林”的局面，從而使學生對數的認識和理解呈現出碎片式的散點化狀態。

“數的認識”知識點多且較為零散，而數軸具有直觀和抽象的優勢，能充分體現數的本質屬性。教師始終借助數軸，引導學生在解決問題的過程中不斷調動已有的知識經驗，利用數形結合幫助學生厘清各種數概念的意義，計數方法、表示方法和分類等，同時在相互轉化中又暗含著各種數之間是彼此聯系的。引導在更高層面上理解和把握數的概念，進一步完善認知結構，通過辨析，讓學生體會到：整數是以自然數單位“1”為基本計數單位，再按“十進制”的規則生成其他計數單位，而分數在單位“1”確定后，“平均分”的份數不同，分數也不同，所以分數單位與單位“1”之間不像整數有固化的十進關系，作為分數和整數的結合體——小數，它的意義要借助分數的意義來表述。因此，當單位“1”確定后，同一個點可以用不同的分數、小數來表示。

“基礎知識貴在求聯，基本技能貴在求通”，鄭教授的這句至理名言預示著復習本身就是一個“串點成線”的過程。這一過程既是學生對書本知識系統內化并達到個性化和創造性擁有的過程，也是師生積極互動、有效生成的過程。在思考討論中，學生自覺運用原有的知識儲備，各個知識點不斷被激活，探索的視野不斷開闊，知識之間不斷產生新的鏈接，理一點明一片，理一片會一面，不知不覺中，學生對整個知識網絡完成了新的建構。

實踐表明：數形結合思想能使“數”和“形”統一起來，從而豐富學生對數的形象感知，而借助“數軸”能有效落實數概念關于如何發展數感培養，把握概念本質、厘清縱橫關系、構建知識網絡的教學目標，有利于學生體驗與感悟數形結合思想，積累借助圖形表征數概念的經驗，提升數學學習能力。