彈簧雙振子運動規律的一般性研究
——基于質心和質心運動定理的分析

李涵琪

(江蘇省姜堰第二中學 江蘇 泰州 225500)

彈簧雙振子運動規律的一般性研究
——基于質心和質心運動定理的分析

李涵琪

(江蘇省姜堰第二中學 江蘇 泰州 225500)

1 問題的提出

彈簧雙振子是彈簧問題中較為復雜的一類問題，以此模型設置成的系統動力學和能量轉化問題在大學自主招生、物理競賽中常有涉及.由于其物理過程非常復雜、運動情景難以想象，因而對學生分析和解決問題的能力提出了很高的要求.

對于彈簧雙振子運動規律的分析，目前大部分參考資料都是以質心為參考系(非慣性系)，借助于慣性力對幾種特殊的彈簧雙振子模型的動力學特征進行分析，并用運動的合成求振子的運動方程、速度等物理量，并未對一般情況下的雙振子問題進行研究.另外,在用非慣性系分析彈簧雙振子的運動問題時，要想快速而準確地確定物體在非慣性系中的平衡位置,以及物體離開平衡位置的位移等相關物理量時,有一定的難度，且列出的動力學表達式也略顯繁瑣，尤其是遇到多個恒力作用或者振子具有一定的初速度等類型的彈簧雙振子.

那么一般情況下彈簧雙振子的運動規律是什么？除了應用非慣性系，我們能否有其他較為簡便的方法研究其運動規律呢？

本文擬在地面坐標系中，借助于質心和質心運動定理分析一般情況下彈簧雙振子的運動規律，作為對以上方法的一個補充.

2 彈簧雙振子的一般模型

如圖1所示，光滑水平面上有兩個質量分別為mA和mB的物體A和B,兩物體固連在輕質彈簧兩端，彈簧的勁度系數為κ，自由長度為l0，初始時刻的長度為l.物體A和B在恒力FA和FB的作用下分別以初速度vA0和vB0沿水平方向運動，假設運動過程中彈簧始終處于彈性限度內，試分析任一時刻兩個物體的運動規律.

圖1 彈簧雙振子模型

3 運動方程的分析

3.1 質心位置的確定

建立地面坐標系Ox，原點O在A的初始位置.在時刻t，用xA和xB分別表示A，B兩個物體的位置，可知

xA(0)=0xB(0)=l

質心C的坐標

且初始時刻

初速度

系統的合外力為FA+FB，由質心運動定理可知

FA+FB=(mA+mB)aC

結合初始時刻，可得

(1)

3.2 振子的運動方程

對于A，有

(2)

對于B，有

(3)

將式(3)乘以mA，式(2)乘以mB，并相減，有

-κ(mA+mB)(xB-xA-l0)+mAFB-mBFA

整理得

(4)

應用數學變換，將上式進一步寫成

(5)

令

則式(5)可寫成

這是一個簡諧振動的動力學方程，其解可寫作

z=Acos(ωt+φ0)

(6)

其中A和φ0是待定常數，由初始條件來決定.

mAxA+mBxB=

(7)

將式(6)與式(7)聯立，可得A，B兩個物體的運動方程分別為

(8)

(9)

下面結合初始條件來求A和φ0.

當t=0時，有

即

(10)

又因為

vB-vA=-Aωsin(ωt+φ0)

有

vB0-vA0=-Aωsinφ0

(11)

(12)

(13)

以上分析過程思路清晰、簡單，而如果在非慣性系中求解上述兩個運動方程，其分析和運算過程將異常繁瑣，讀者可以一試進行比較.

4 速度和加速度的變化規律

將式(8)和式(9)分別對時間求一階和二階導數，即可得到振子的速度和加速度的方程.

下面列舉一例說明以上規律的應用.

圖2 例題圖

解析：本題中，FA=EqA，FB=EqB，vA0=vB0=0.

當系統靜止時，有

κ(l-l0)=EqB

得

由式(12)和式(13)可得

代入式(8)和式(9)，可得振子的運動方程為

5 結束語

以上我們在地面坐標系中用質心和質心運動定理并結合適當的數學變換得出了一般情況下彈簧雙振子的運動規律，所采用的方法和得到的結論具有普適性，一般參考資料中所列的只不過是其中的一些特殊情況而已.

對于具體問題中的彈簧雙振子，我們只需根據題中所給的條件，代入前面所求的表達式即可求得振子的運動方程及相關物理量.需要注意的是：

(1)此處的地面坐標系Ox，原點O在A的初始位置，而非質心C處；

(2)如果振子所受的外力、初速度方向與圖1中方向相反，則在計算時該外力和初速度應取負值代入.

當然，對于本文所得出的結論，我們沒有必要去記住其表達式的具體內容，這里僅僅提供一種方法，供讀者參考.

2016-12-07)