基于Tracker軟件的馬格努斯滑翔機運動分析

李超華 熱買提江 岳仲謀 吳喜洋

(上海師范大學數理學院 上海 200234)

方 偉

(上海師范大學數理學院 上海 200234；上海市星系和宇宙學半解析研究重點實驗室 上海 200234)

基于Tracker軟件的馬格努斯滑翔機運動分析

李超華 熱買提江 岳仲謀 吳喜洋

(上海師范大學數理學院 上海 200234)

方 偉

(上海師范大學數理學院 上海 200234；上海市星系和宇宙學半解析研究重點實驗室 上海 200234)

利用Tracker視頻分析軟件對馬格努斯滑翔機的軌跡進行描述，并通過逐幀分析確定滑翔機角速度隨時間演化的關系式，進而通過建立理論模型推導出滑翔機的軌跡公式，使得不易直接測量的動態數據更加可操縱和量化；手機、數碼設備的普遍化使得學生能夠隨時隨地拍視頻，Tracker軟件給學生的物理實驗研究帶來了便利.

馬格努斯效應 Tracker 角速度

1 引言

1.1 馬格努斯效應研究現狀

當流體在橫向流過一個繞著自己的軸轉動的圓柱體時，類似于繞翼型的環量也要產生(由于粘性的作用)，并且在這種情形下產生一個橫向力(圖1)，它的量值在流動的垂直方向的每單位長度圓柱上是ρτv(ρ代表滑翔機運動時的空氣密度，τ代表滑翔機周圍流體產生的環量，v代表滑翔機質心運動的速度).這種力的方向總是從來流與環量流動的方向是相反的那一邊指向是相同的另一邊．這個現象就以其發現者馬格努斯(1852年)為名，稱為馬格努斯效應[1].

圖1 馬格努斯效應示意圖

近些年來，不斷有研究者圍繞馬格努斯效應的力學模型以及各方面的應用進行研究.大部分是從伯努利原理出發研究馬格努斯效應的受力機制或是直接對物體進行受力分析研究其運動的軌跡[2～6].由于條件限制均沒有考慮空氣阻力下角速度的變化.本文的創新之處在于建立理論模型時不僅考慮到空氣阻力對馬格努斯滑翔機質心運動的影響，也考慮了空氣阻力對滑翔機轉速的衰減作用.除了理論模型與實際更接近之外，本文中我們引入了可進行視頻分析的Tracker軟件.基于實驗的前提，我們利用Tracker軟件對實驗現象進行了分析，試圖從理論和實驗兩方面對馬格努斯滑翔機的運動進行詳盡討論.

1.2 Tracker軟件研究背景

Tracker軟件是由國外設計的應用于物理實驗教學的一個免費視頻分析軟件，其主要功能是對視頻中物體的運動進行動態分析，特別是為物理實驗中質點的運動模型，如自由落體運動、拋體運動、單擺等的研究提供了極大的便利.

國內已經有一些學者利用Tracker軟件來研究物理問題，如文獻[7]利用Tracker測量液體粘度來減少實驗中的誤差；文獻[8]用它來分析氣墊導軌上彈簧振子的阻尼運動，利用軟件自帶的功能擬合出振動曲線方程和包絡線方程，從而計算出氣墊導軌的阻尼常數；文獻[9]以拋體運動和簡諧運動為例分析了Tracker軟件在物理教學中功能——幫助學生探尋規律、輔助實驗觀察與教學以及研究性學習的有力工具；文獻[10]則更為詳細地解釋了Tracker軟件的特點、使用方法和教學中的應用，為更多有興趣使用Tracker的人提供了便利.本文要研究的馬格努斯滑翔機的運動之前沒有人利用Tracker軟件研究過.

2 用tracker軟件分析馬格努斯滑翔機的運動

2.1 馬格努斯滑翔機的制作及拍攝

馬格努斯滑翔機的做法是把兩個一次性杯子杯底對杯底粘在一起，本實驗用的杯子是白色的紙杯，為了方便后面觀察分析滑翔機的角速度，特意把一個杯子的一面涂成了紅色，如圖2所示.拿一根有彈性的皮筋繞在滑翔機的中心，留下橡皮筋的一端用手拉住，另一只手握住馬格努斯滑翔機.水平拉長橡皮筋后釋放滑翔機，滑翔機便會旋轉著飛出去，其運動軌跡是先上升到一定高度再斜向下落.

圖2 馬格努斯滑翔機

拍攝滑翔機的運動視頻時，要注意從兩個角度同時拍攝.一是釋放前開始從側面拍攝滑翔機的運動軌跡；二是從釋放前開始正面拍攝滑翔機的運動，前者用來描繪運動軌跡，后者用來測定角速度的衰變.

2.2 Tracker軟件對馬格努斯滑翔機的分析過程

2.2.1 對滑翔機的側面運動分析

把側面拍攝的滑翔機運動視頻導入Tracker軟件，把視頻中的黑板的長度定為已知尺寸，經測量黑

板長度為3 m，在工具欄選取創建—Calibration Tools—定標尺，把定標尺起始點與黑板下底邊兩端點對齊，單擊定標尺上的數字刪除并輸入數字3，到此比例標度得以確定.

第二步建立直角坐標系，以滑翔機開始運動的位置為原點建立直角坐標系，根據視頻拍攝角度微調坐標系，使坐標系橫軸與視頻中黑板的長邊平行.接下來拉動視頻播放進度條觀察滑翔機開始飛行的時間點，并把它設置為起始幀，視頻結束時的一幀設置為結束幀.創建質點模型，以滑翔機的中心為質點對象對滑翔機進行逐幀標記，質點軌跡的形狀和顏色都可以自由選擇.

把每一幀都標記后，滑翔機運動的軌跡便可以清晰地顯示出來，如圖3所示，同時在軟件界面右下角會顯示滑翔機每幀定格時對應的時間t，坐標x和坐標y的數據表格.利用軟件中的速度矢量功能，點擊顯示速度矢量，可以看到軟件計算出的每一點的速度大小(圖4)，本次實驗中滑翔機的初速度大小v1=5.713 m/s.

圖3 Tracker軟件標記的運動軌跡

圖4 Tracker軟件分析結果一覽圖

2.2.2 對滑翔機的正面運動分析

把正面拍攝滑翔機運動的視頻導入Tracker軟件中，選取滑翔機開始運動的起始點(在開始運動的幾幀中選取容易觀察辨別的位置)，對滑翔機的運動進行逐幀分析，記下滑翔機每轉一圈的幀數.本實驗中以78幀為起點，120幀為終點，幀率為29.97 /s，幀間間隔為0.033 s，這一過程中滑翔機的轉動周期發生了兩次變化，以78幀時為零時刻計算.

具體分析如表1所示.

表1 滑翔機轉動周期與轉速

利用Excel表格對t中間和角速度進行處理，以x軸為時間t，y軸為角速度ω建立坐標系并描點(圖5)，分別添加線性趨勢線和指數趨勢線，對比可以發現角速度隨時間的變化關系更接近于指數關系，并且指數函數為ω=69.532e-0.5t.

圖5 角速度與時間的函數關系

3 根據原理推導馬格努斯滑翔機的運動軌跡公式

馬格努斯滑翔機基于兩個原理：一是馬格努斯效應(前面已指出)；二是伯努利原理，也就是流體的機械能守恒，動能+重力勢能+壓力勢能=常數.我們可以把馬格努斯滑翔機看作是一個圓柱體，則此圓柱體繞自身軸線旋轉并且有流體在垂直于該軸線方向流過時，受到一個垂直于流動方向的橫向力[4].這個力叫做馬格努斯力，也稱為升力.

給滑翔機一水平速度并使其逆時針旋轉，則在滑翔機周圍流體中將會產生環量Γ=∮cv流·dl，若滑翔機質心的速度為v，周圍的空氣密度為ρ，空氣速度為零，由運動的相對性，滑翔機單位長度上的升力大小FM=ρvΓ，則長度為h的滑翔機受到升力的大小FM=ρhvΓ，賦予上式中升力方向，因其與滑翔機質心速度v和轉動角速度ω均垂直，判斷滑翔機所受升力的方向為角速度ω與質心速度v叉乘的方向，表示為

其中k表示角速度的方向[2].

對滑翔機側面圖建模，看作一個圓面，對其進行受力分析，如圖6所示，考慮空氣粘滯阻力Fd的作用，速度大小為v，方向與x軸正方向成θ角時，滑翔機受到重力、升力和空氣粘滯阻力的作用.

圖6 滑翔機受力分析

建立動力學方程式FM+Fd+G=ma,則有

(1)

其中

FM=ρhvΓ=ρhv∮v流·dl=2πr2hρvω

(2)

式中h表示滑翔機的線度.

滑翔機在空氣中受到的粘滯阻力與無量綱雷諾系數相關，當雷諾系數Re小于1時，空氣粘滯阻力可以用斯托克斯公式

f=6πηrv

表示,當雷諾系數Re≈103～105時，空氣粘滯阻力可以用公式

表示,其中Cd是曳引系數，ρ為空氣密度，v為滑翔機質心速度，S為滑翔機迎風面面積，雷諾系數[11,12]

查詢資料可知，室溫條件下，空氣密度約為ρ=1.23 kg/m3，空氣的粘性系數η=1.82×10-5Pa·s，d為滑翔機的直徑，經測量計算為0.031 75 m，滑翔機在空氣中飛行的速度在5～8 m/s，所以雷諾系數

在103～105范圍內，因此滑翔機受到的空氣阻力為

(3)

負號表示與速度方向相反.

把式(2)、(3)代入式(1)中的兩式得

(4)

令

又

則式(4)變為

(5)

4 確定參數求出軌跡方程

測量一次性杯子的上下底半徑、高度和質量分別如表2所示.

表2 滑翔機自身參數測量數據

馬格努斯滑翔機是由兩個杯子對底粘在一起，所以其長度

l=2h=0.17 m

半徑

滑翔機質量

M=2m=0.02 kg

面積

拍攝視頻時的溫度約為14 ℃，所以空氣密度約為1.23 kg/m3.將以上參數代入滑翔機的運動軌跡方程中,求出B和γ的數值，即

又ω=69.532e-0.5t,所以軌跡方程為

(6)

5 用Maple軟件驗證求出的軌跡方程

將求出的軌跡方程(6)輸入到Maple軟件中，反求此方程組的軌跡圖像，結果如圖7所示.

圖7 用Maple軟件描繪的軌跡圖像

從圖像7中可以看出用所求軌跡方程(6)描繪的圖像與實際軌跡圖像(圖8)已經非常貼近，證實了用Tracker軟件得出的角速度和考慮空氣阻力下推導出來的馬格努斯滑翔機運動軌跡具有高度的合理性.但是由于測量誤差以及拍攝視頻所用攝像機的像素不夠高等原因仍存在偏差，若使用高頻攝像機和更加精細的測量工具，相信能得到更加符合實際的軌跡圖像.

圖8 Tracker軟件描繪的實際軌跡圖像

6 結束語

本文通過實驗的方法來研究馬格努斯滑翔機的運動，主要工作在于利用視頻分析軟件Tracker，對實驗同時拍攝的兩種視頻進行逐幀分析，找出角速度隨時間衰變的關系式和馬格努斯滑翔機的實際運動軌跡；考慮了滑翔機運動時所受到的阻力，并確定阻力的適用方程；通過建立力學模型推導出滑翔機的運動軌跡方程；最后利用數學軟件Maple畫出所求軌跡方程的曲線，來驗證理論分析的正確性.經驗證，本文中用理論推導出來的馬格努斯滑翔機軌跡方程所描繪的運動路徑與實際路徑非常接近吻合.本研究的實際意義在于利用Tracker軟件作為聯系理論與實驗兩方面的橋梁，鍛煉中學生和大學生在理論建模、實驗設計與操作、數據處理與分析等全方位的能力.這樣的思路可以用來設計開放式、創新性實驗，在培養學生的物理核心素養、鍛煉學生能力方

面起到積極的作用.同時,我們的工作為馬格努斯效應的研究提供了一種更為高效便利的研究方法，并且考慮了空氣阻力對馬格努斯滑翔機平動和轉動兩方面的影響，使得理論的建模與實際情況更為接近，具有一定的參考意義.

1 李世珊.流體的力學.上海：上海教育出版社，1982.117～118

2 于鳳軍.馬格努斯效應與空竹的下落運動.大學物理,2012(9):19～21

3 潘慧矩.馬格努斯效應的力學模型.浙江體育科學,1995(3):17～19

4 吳海娜,蘇卓,駱凱,等.馬格努斯滑翔機運動的探索與研究.大學物理實驗,2015(5):4～6

5 冀煒,王景文，王晨.馬格努斯滑翔機運動在不同旋轉方向下的運動成因.科技風,2016(4):13～14

6 郝成紅,黃耀清，王歡，等.考慮空氣阻力時空竹的斜拋運動.大學物理,2016(3):15～16

7 龐瑋，陳峻，李志偉,等.利用Tracker視頻分析軟件測量液體粘度.大學物理,2012(4):25～27

8 王經淘，程敏熙，賈昱，等.利用Tracker軟件分析氣墊導軌上彈簧振子的阻尼振動.大學物理,2014(4):23～24

9 吳志山.讓真實定量、定格——Tracker軟件在物理教學中的應用.物理教師,2012(7):53～54

10徐忠岳，余杰，曾裕.Tracker軟件在物理實驗教學中的應用.中國教育信息化,2014(12):75～77

11趙凱華，羅蔚茵.新概念物理教程力學.北京：北京高等教育出版社,2004.236～239

12趙林明，宋輝武.不可小覷的空氣阻力.物理教師,2013,34(10):83～84

AnalysisontheMotionofMagnusGliderBasedonTrackerSoft

LiChaohuaReMaitijiangYueZhongmouWuXiyang

(MathematicalandPhysicalCollege,ShanghaiNormalUniversity,Shanghai200234)

FangWei

(MathematicalandPhysicalCollege,ShanghaiNormalUniversity,Shanghai200234;ShanghaiKeyLabforAstrophysics,Shanghai200234)

This manuscript describes Magnus glider trajectory by using Tracker (a video analysis software), and finds out the relation of the glider angular velocity evolving with time through the frame by frame analysis , then deduces glider trajectory formula through the establishment of theoretical model, which makes the dynamic data that is difficult to measure directly be manipulated and quantitative; Mobile digital devices of generalization enables the students to shoot video at what time and under what circumstances, Accordingly, Tracker brings facilitation students to do physical experiment research.

Magnus effect; Tracker; angular velocity

李超華(1989- )，女，在讀碩士研究生，研究方向為學科教學(物理).

方偉(1981- )，男，副教授，碩士生導師，主要從事天體物理、宇宙學及物理教學與課程論方面的研究.

2016-11-24)