聚焦新特點 研究新策略
——2017年浙江省數學新高考復習備考研究

□王紅權 王 凱

（杭州市基礎教育研究室，浙江杭州 310003；杭州市源清中學，浙江杭州 310015）

復習指導

聚焦新特點 研究新策略
——2017年浙江省數學新高考復習備考研究

□王紅權 王 凱

（杭州市基礎教育研究室，浙江杭州 310003；杭州市源清中學，浙江杭州 310015）

“文理合卷”背景下的復習備考既是機遇也是挑戰，必須做好“新”與“舊”的對比，在研究以往真題的基礎上明確方向，在做好基礎的同時挖掘試題的核心意涵，提升學生能力，落實數學素養；調整“教”與“學”的關系，把課堂教學還給學生，讓學生在體驗中獲得數學的基本經驗；處理好“收”與“放”的辯證關系，懂得取舍才能取得雙贏．

數學高考；復習策略；文理合卷

以“學考選考+必考”為主要模式的教育考試改革是推進和深化課改的必然，其作用不單是優化選拔功能，更要在引導和評價學科育人功能上發揮作用，當好學科教學的指揮棒.2017年的數學高考是浙江省本輪推進課改后的第一次考試，數學是必考科目，每年只考一次，試卷采用文理合卷，開全國高考改革之先河.與過去的高考看起來似乎相差不大，但在新高考模式（選考走班教學）下，高中階段學生在數學學習上與以往已有很大的不同，對數學的教與學都提出了新的挑戰，同樣對數學高考也需要進行全新的思考［1］.針對新高考，及時準確了解新特點，研究新的復習策略，意義重大.完全有必要根據新頒發的考試說明，研究考試范圍的新變化、考試難度的新調整、試卷結構的新格局、熱點難點的新轉向、命題趨勢的新動向，適時調整復習備考教學計劃，確保復習質量．

數學具有嚴密的邏輯性、結論的確定性和應用的廣泛性等特點.數學學科考試既要考查基礎知識、基本技能、基本思想方法、基本活動經驗，又要考查考生的邏輯思維能力、空間想象能力、運算求解能力、數據處理能力、綜合應用能力［2］.從這個意義上說，在現有條件下要達成復習備考的高效、高質量就需要備考者有充分的準備.筆者從以下三個方面簡要分析，并提出若干復習備考建議，以期對備考2017年的浙江省數學新高考有幫助．

一、新與舊的比照

2017年數學新高考試卷的最大特點是文理合卷，全卷難度分布必定呈現“文頭理尾”的規律.整卷依舊會秉承重基礎、重本質，貼近中學數學教學實際的一貫命題思路．

（一）從“舊”中把握“新”的核心

“文頭理尾”的難度分布樣式要求試卷更注重基礎，起點會更低，梯度更緩，區分度更大，但收官之處會更高.復習時要重視基礎知識和解決問題的通性通法和重視對基本技能的培養，選題要常規常態.復習備考時要重視數學主干知識，關注知識的內在聯系，在問題轉化的過程中凸顯本質，強調數學的思維方式，要求對概念有深刻的理解，并能合理轉化、靈活運用，在問題變化過程中把握其不變性．

例1（2016年浙江省高考數學試題）如圖，點列{An}，{Bn}分別在某銳角的兩邊上，且，（P≠Q 表示點 P 與 Q不 重 合）． 若 dn＝|AnBn|，Sn為 △ AnBnBn＋1的 面積，則（ ）

A.{Sn}是等差數列 B.{S}是等差數列

C.{dn}是等差數列 D.g0gggggg是等差數列

由三角形的面積想到高，由于所有的Sn都等底，只需要考查圖 2 中的高線，顯然{hn}是等差數列，這便是等差數列的幾何模型，直觀而且本質．

圖1

圖2

學習數列應從數入手，利用代數手段精準刻畫其變化規律，利用其函數背景揭示數列的本質，特別是等差數列，還可以輔之以幾何直觀幫助理解，揭示知識間的內在聯系．

例2 （2016年浙江省高考數學試題）已知a≥3，函數 F（x）＝min{2|x－1|，x2－2ax＋4a－ 2}，其中

（I）求使得等式 F（x）＝x2－2ax＋4a－2 成立的x的取值范圍；

（II）（i）求 F（x）的 最 小 值 m（a）；（ii）求F（x）在區間[0，6]上的最大值 M（a）.

顯然函數 F（x）隨 a 的變化而變化，所以研究函數 F（x）就是研究當 a 變化時的函數 F（x）具有的不變性.容易發現的兩個不變性是①函數 g（x）＝x2－2ax＋4a－2 圖象經過定點（2，2）；②函數 g（x）的對稱軸 x＝a≥3.由此，簡單畫圖即可解決，把握不變性是關鍵．

（二）悟透“舊”的本質方知“新”的對策

試題注重數學本質是浙江卷的特點之一，但試題并不刁鉆和繁難.特別是對概念的考查，除了理解的廣度，還特別關注深度，但命題立意都在最為基本的概念上，如2016年第6題.

例3 （2015年浙江省高考數學試題）存在函數 f（x）滿足：對任意 x∈R 都有（ ）

命題以復合函數為背景，內隱函數概念和性質的考查，需要對兩個函數復合時，其某些性質（如周期性、奇偶性）具有的不變性有一定的認識，例如：當里層函數為周期函數時，復合函數也為周期函數且周期保持不變；當里層函數為偶函數時，復合函數也為偶函數.這就把握了題目的本質，也揭示了題目的真面目，很顯然該解法更勝一籌［3］.其實這樣的試題也貼近教學實際，這是教學中常見的問題.當然也可以用函數概念逐一鑒別．

（三）“新”是對“舊”的延續和發展

選擇題重視概念的本質，要求判斷準確．填空題關注計算的方法，要求結論正確，多空題能更好地分散難點.解答題以多角度、全方位的思考為突破口，展示計算和推理的過程［4］.備考選題時切忌小題過度綜合，大題獨門絕技.選題應該遵循小題題干簡約、一事一議，解答以理解為主，計算為輔；大題適度綜合，解答應入口淺而寬，且有一定的深度，強調計算和推理.這也是我省高考數學試題的一貫風格，可以想象2017年的試題將會是難度與風格和往年保持一致．

二、教與學的調整

（一）厘清考綱、教材和考試三者的關系，構建學科知識網絡

《考試說明》（以下簡稱“考綱”）是命題的依據，也是備考者必備的資料之一.教材也是命題者的主要參考資料，用好教材也是復習中的重要一環．

例 4 （2010 年安徽省高考數學試題）設{an}是任意等比數列，它的前 n 項和，前 2n 項和與前3n項和分別為X，Y，Z，則下列等式中恒成立的是（ ）

A.X＋Z＝2Y B.Y（Y－X）＝Z（Z－X）

C.Y2＝XZ D.Y（Y－X）＝X（Z－X）

該試題即為人教版必修5第76頁復習參考題B組選擇題2：等比數列前n項，前2n項，前3n項的和分別為A，B，C，則（ ）

A.A＋B＝C B.B2＝AC

C.（A＋B）－C＝B2D.A2＋B2＝A（B＋C）

僅僅是對選項進行了簡單的改造．

例5 （2010浙江高考數學試題）已知函數f（x）＝（x－a）2（x－b）（a，b∈R，a＜b）．

當 a＝1，b＝2 時，求曲線 y＝f（x）在點（2，f（2））處的切線方程．

這題僅僅是人教A版選修2-1第8頁例2的變式．

例 6 （2016 浙江高考數學試題）設數列{an}滿足

證明：|an|≥2n－1（|a1|－2）.

這是壓軸題，據說平均得分不足1分，其遞推不等式取自人教A版必修5第36 頁：an＝2an－1＋1（n＞1）.僅做簡單的改造：

an＝2an-1＋1（改變系數，2 變（加絕對值）→|an－（改等式為不等式）

復習不用教材的備考是不科學的，合理和理性的回歸是高三復習不可或缺的一環，當然回歸不是簡單的重復，是挖掘教材中問題的通性通法、思想方法和數學解決問題的一般模式，學會數學的思考問題．

（二）掌握高考真題、訓練題和模擬題三者的功能，突破考試瓶頸

研究高考真題是深刻理解和掌握數學核心知識的一條路徑，一般高考命題都立足數學的核心知識和思想方法.譬如向量，中學為何學習向量？從歐氏幾何到笛卡爾的坐標幾何再到向量，遵循從定性分析到定量分析再到整體統一分析的路子，由于定性分析無法對幾何量的位置和度量精確刻畫，必然由定量分析來克服，但解析幾何的關鍵在于坐標原點值確定，這樣又因為確定坐標原點使無關量帶入運算，使得運算往往比較繁雜，向量的代數結構恰好解決了這個問題．

1.回頭看看一路走來的浙江向量試題，從沒有跳出過這個框框.如2016年理科第15題，命題組認為需要“深刻理解它的幾何本質”才能“使問題變得清晰簡潔”．

例7（2016年浙江省高考數學試題）已知向量 a，b，|a|＝1，|b|＝2，若對任意單位向量e，均有|a·e|＋|b·e|≤，則a·b的最大值是___________.

認為畫個草圖就是揭示幾何本質，這樣理解可能太“廣義”了，向量的幾何本質理應是用一套其固有代數系統來刻畫幾何量的位置關系和數量關系，基本的代數工具如下所述［5］.

如圖3，已知a，b是兩個向量，設m＝a＋b，n＝a－b.把兩式平方后相加，得“平行四邊形性質”：

圖3

把兩式平方后相減，得“極化恒等式”：

從圖3中利用三角形三邊之間的關系，得“三角形不等式”：

設計者的解答：根據三角形不等式，得：

根據平行四邊形性質，得：

結合上式，得：（a－b）2≥4．

根據極化恒等式，得：

例8 （2005浙江高考數學試題）已知向量a≠e，|e|＝1 對任意 t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，則（ ）

A.a⊥e B.a⊥（a－e）

C.e⊥（a－e） D.（a＋e）⊥（a－e）

試題意在用向量不等式刻畫直線外一點到直線的最短距離，簡潔而本質.也可以理解為是關于變量t的函數的最小值問題，筆者給出這種解法：

設 f（t）＝|a － te|，則 [f（t）]2＝|a － te|2＝（t－e·a）2＋a2－（e·a）2≥a2－（e·a）2，

因為恒有|a－te|≥|a－e|，所以 a2－（e· a）2＝|a－e|2，

所以（e·a）2－2e·a＋1＝0，即 e·a－1＝0．

所以 e·a－1＝e·a－e2＝e·（a－e）＝0，選C．

類似的，2015年高考第15題的空間向量問題和2013年的第7題都可以用同樣的思路解決，以此為命題立意的試題在浙江可謂是考了又考.縱觀浙江的歷年向量試題，都較好地體現用代數的手段刻畫幾何本質這一理念，在復習時值得思考，一味地追求建系并不是命題者的本意，也不是數學發展的本來面目，更何況因計算變得冗長而容易出錯．

2.關于函數值域的考查，立意都非常新穎，很少直白考查求某個函數的值域.常見的立意有：著眼值域的邊界、著眼值域的區域等.

例9 （2008浙江高考數學試題）已知t為常數，函數 y＝|x2－2x－t|在區間[0，3]上的最大值為2，則t＝____．

事實上，y＝|（x－1）2－（t＋1）|，函數 y＝（x－1）2在[0，3]上的值域為[0，4]，根據圖 4，直線 y＝t＋1 只能位于區間[0，4]的中間，即 t＋1＝2，所以t＝1．

圖4

該解答著眼于值域區域的大小，簡潔而巧妙．

例 10 （2008 浙 江 高 考 數 學 試 題）若cosx＋2sinx＝－，則 tanx＝（ ）

例11（2016年浙江省高考數學試題）已知實數a，b，c，則（ ）

從而 a2＋b2＋c2有界 .以一種全新的面貌考查函數的值域．

為了提高熟練程度的訓練題和仿真模擬題的功能并不一致，現有的模擬試題并不能完全滿足訓練要求，需要教師在備考時挖掘真題中蘊含的東西，也唯有這樣才能高效完成“文理合卷”的首考．

三、收和放的建議

（一）在實際的教學中教師要從學生的認知起點出發，引導學生尋求思維的生長點與發展方向，在充分理解教材編者的意圖和思想下，設計和學生的認知水平與自主思維相符合的問題探究和解決的策略，給學生充分的時間和空間來進行探究分析讓其更好的理解數學.一定要重視概念的形成過程，改變重結論、輕過程的教學陋習.

（二）數學教學講究“三基”（基礎知識、基本技能和基本方法）的落實，核心素養的養成，但冰凍三尺非一日之寒.“三基”和核心素養是通過教材中的定理、例題和習題為載體加以實現的，所以在復習階段一定要挖掘教材，改編課本中的例、習題的形式讓學生感悟數學思想，達到串聯知識、梳理結構、形成網絡，使其感受解題思想方法并非是無源之水，無本之木，而是源于教材，水到渠成、渾然天成的產物，不僅合情合理，甚至很有人情味.能力立意并非都是難題，而是能否有數學的意識去解決問題，而不是用題型一、題型二……讓數學成為八股文.

（三）現在的高三復習，一般每個學校都會給全體學生定一本教輔，當下的教輔基本特點是大而全，喜歡羅列高考題和難題.很多老師就是按部就班，前一天讓學生做練習，后一天課上講練習，機械循環，生累師疲還沒有什么效果.所以在復習資料的處理上應該根據各學校生源的特點，注意對資料中的題目合理取舍，講解要詳略得當，千萬不要眉毛胡子一把抓，結果什么都沒有.高三的教學最能體現教師的數學理解，題目不在多，在能否激發學生的思維，唯有做得精細，才能考得精彩．

最后預祝大家能在2017年的高考復習中帶領學生感受數學之美、享受數學之趣，師生都能收獲成功的愉悅 .

［1］伊建軍.新高考模式下的數學復習策略[EB/OL]．（2016-10-18）[2017-02-01].http:// www.eol.cn/zhejiang/zhejiang_news/201610/ t20161018_1458748.shtml．

［2］浙江教育考試院 .2017 年浙江省普通高考考試說明·數學［J］.浙江考試，2016（10）：26-35．

［3］張金良.把握數學問題本質 提高課堂教學立意［J］.中國數學教育，2016（6）：2-4 ．

［4］2015 年浙江省高考數學命題思路及試 題 評 析 [EB/OL]．（2015-06-09）［2017-02-01］.http：//edu.zjol.com.cn/05ks/system/2015/06/ 09/020690529.shtml．

［5］王紅權.一類與向量模長有關試題的簡潔解法［J］.中國數學教育，2015（3）：35-38 ．