六維分數階Lorenz?duffing系統仿真

田野++盧志茂+高雪瑤

摘 要： 設計一個混沌行為復雜且具有物理學特性的整數階混沌系統很難。為了解決這個問題，在整數階混沌系統中引入了分數階微分算子，并設計了一個六維分數階Lorenz?duffing混沌系統；還重點分析了該分數階混沌系統的平衡點和穩定性以及系統的吸引子、分岔圖和Lyapunov指數譜；最后，設計該分數階混沌電路，并利用Multisim軟件仿真分析了該電路。仿真結果表明，該分數階混沌系統能夠產生混沌信號。

關鍵詞： 分數階系統； Lorenz?duffing系統； Lyapunov 指數； 電路仿真

中圖分類號： TN911?34； TN401 文獻標識碼： A 文章編號： 1004?373X（2017）12?0022?06

Abstract： It is difficult to design an integer order chaotic system with complex chaotic behaviors and physical properties. In this paper， a six?dimensional fractional order Lorenz?duffing chaotic system is designed to solve this problem. The system introduces the fractional order differential operator into the integer order chaotic system. In addition， the equilibrium points and stability of the fractional order chaotic system， and its attractors， bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum are analyzed in detail. Finally， the fractional order chaotic circuit is designed， and the circuit is simulated and analyzed with Multisim software. The simulation results show that the designed fractional order chaotic system can generate chaotic signals.

Keywords： fractional?order system； Lorenz?duffing system； lyapunov exponent； circuit simulation

0 引 言

計算機技術和網絡技術的飛速發展使得人們能夠更快捷方便地存儲與分享各類信息。其中多媒體信息由于其特有的形象和生動的特性逐步成為互聯網時代最重要的信息載體之一[1]。但是互聯網存在開放包容、任何人都可以自由接入網絡的特點，所以近年來發生了一系列的信息泄密事件。這些信息泄密事件使人們意識到信息在互聯網中安全傳輸的重要性。保密通信是保證信息安全傳輸的最主要策略，數據加密技術是抵抗非法攻擊和非法使用的重要手段[2]。常用的數據加密技術有傳統加密技術和混沌加密技術。由于多媒體信息，如圖像具有高冗余度、大數據量、像素間相關性強等特點，所以采用傳統數據加密技術，如分組加密，對多媒體信息進行加密將不再有效[3]?；煦缦到y因為具有遍歷性、對初值和控制參數敏感、偽隨機性和長期不可預測性等優良的密碼學特性，所以正被廣泛地應用于互聯網的保密通信中[4]。

研究者也因此設計了多種混沌模型，例如，Lorenz最早設計了一個研究混沌的經典模型，即Lorenz混沌模型，該模型由三個常微分方程構成[5]。陳關榮等在Lorenz系統的基礎上發現了一個新的可以產生混沌行為的常微分方程組，Chen系統[6]。但是，這兩個混沌模型存在一定的局限性，當且僅當該模型微分方程中的一組參數取得特定值時，該模型才能呈現混沌行為。在Lorenz混沌系統的基礎上，后面的學者又相繼設計了多種具有豐富混沌動力學行為的著名混沌系統。如分別源于物理學和電子工程理論的連續動力學系統，R?ssler系統[7]和Chua′s電路[8]，以及源于生物學的離散動力學系統，Logistic映射[9]。從數學式上看Logistic映射只是一個簡單的差分方程，但是該混沌映射可以產生極其復雜的動力學行為。當前，該混沌映射在保密通信領域有著十分廣泛的應用。盡管上述混沌系統的出現推動了混沌系統理論的發展，且有著較復雜的混沌動力學行為，但是他們都屬于整數階混沌系統，這種整數階的混沌系統不符合實際的物理特性。

近年來，研究者發現，許多混沌系統都展現出了分數階特性的動力學行為，且與整數階混沌系統相比，分數階混沌系統有著更加復雜的動力學特性，更加符合工程應用的實際情況；因此，在整數階混沌系統的基礎上，研究者設計了一系列的分數階混沌系統。例如，分數階低至2.7的分數階Chua系統[10]、分數階低至2.97的Lorenz系統[11]、分數階低至2.1的Chen系統[12]中都存在混沌行為。在過去的研究中還發現，分數階低至2.4的R?ssler系統以及分數階低至3.8的超混沌R?ssler系統中也可以發現混沌吸引子[13]。

隨著分數階混沌系統的分數階數值的不同，該系統會呈現出不同的狀態，而且同一個分數階系統呈現混沌的分數階的取值不是固定的而是在一個范圍內；因此，與整數階混沌系統相比，這種分數階系統的混沌行為更加復雜，更不易被復制。但是上述分數階系統的低維較低，利用這些低維混沌系統生成的混沌序列的密鑰空間還有待進一步提高。為了解決這個問題，文獻[14]提出了一個三維分數階混沌系統，與Lorenz和Chen等混沌系統相比，該系統有更多的非線性項，而且增加的非線性乘積項帶有較大的權重系數，且代數結構也發生了變化，因此該混沌系統得到了更加復雜的分叉、混沌行為。盡管該系統得到了較大的Lyapunov指數和更復雜的動力學行為，但是該分數階混沌系統的維度不夠高。

正如大家所知，低維混沌系統因其高效簡單的優點而被廣泛的采用[15]，但它們的弱點也很明顯，如密鑰空間小和安全性弱。此外，低維混沌系統產生的偽隨機性和序列復雜度也不夠高[16]。與低維混沌系統相比，高維混沌系統具有更加復雜的結構，更多的系統變量和參數[17]，所有這些特征保證了高維混沌系統更適用于密碼系統。采用高維混沌系統得到的密碼系統的密鑰空間更大，系統變量的時間序列將更不穩定、更不可預測。因此，對密碼系統而言高維混沌系統是更好的選擇[18]。本文設計了一個高維分數階混沌系統混沌信號發生電路。盡管分數階混沌系統比整數階混沌系統更符合自然界的實際情況也擁有更加復雜的混沌行為，但是分數階微積分存在歷史記憶性和全局相關性的特性，所以分數階微積分在實際計算中比較復雜，而且按照分數階微積分的標準定義也無法在時域中直接對其進行計算。因此本文采用頻域近似的方法，利用整數階算子逼近分數階算子得到分數階混沌系統的近似解。本文通過Multisim 14軟件仿真驗證了該混沌信號發生電路能夠產生具有復雜行為的混沌信號。

1 六維分數階Lorenz?duffing系統及其動力學特性

1.4 六維分數階Lorenz?duffing系統分岔圖與Lyapunov指數

采用式（5）給出的頻域近似，分析隨著參數的改變，六維分數階Lorenz?duffing系統的Lyapunov指數圖、分岔圖的變化情況。

（1） 固定參數=4，=20，=-2.5，=4，=5， =20，改變參數，當080，由圖3（a）系統的Lyapunov指數譜可知，當0.823.7，最大的Lyapunov指數大于0，系統處于混沌狀態；當00.8或23.780，最大Lyapunov指數幾乎等于0，系統表現為周期運動形式。圖3（b）的分岔圖也說明了系統隨參數a變化的動力學特征。

（2） 固定參數=10，=20，=-2.5，=4，=5，=20，改變參數。當030，由圖4（a）系統的Lyapunov指數譜可知；當07，最大的Lyapunov指數大于0，系統處于混沌狀態；當730，最大Lyapunov指數幾乎等于0，系統表現為周期運動形式。圖4（b）的分岔圖也說明了系統隨參數變化的動力學特征。

（3） 固定參數=10，=4，=-2.5，=4，=5， =20，改變參數。當060，由圖5（a）系統的Lyapunov指數譜可知；當02.5，最大的Lyapunov指數小于0，系統處于穩定狀態；當2.57，最大Lyapunov指數幾乎等于0，系統表現為周期運動形式，當760，最大的Lyapunov指數大于0，系統處于混沌狀態。圖5（b）的分岔圖也說明了系統隨參數變化的動力學特征。

（4） 固定參數=10，=4，=20，=4，=5，=20，改變參數。當-3030，由圖6（a）系統的Lyapunov指數譜可知；當-0.50.5，最大Lyapunov指數幾乎等于0，系統表現為周期運動形式；當-30-0.5或0.530，最大的Lyapunov指數大于0，系統處于混沌狀態。圖6（b）的分岔圖也說明了系統隨參數變化的動力學特征。

（5） 固定參數=10，=4，=20，=-2.5，=5， =20，改變參數。當060，由圖7（a）系統的Lyapunov指數譜可知；當06.6，7.69.2或9.710.1，最大的Lyapunov指數大于0，系統處于混沌狀態；當6.67.6或9.29.7或10.160，最大Lyapunov指數幾乎等于0，系統表現為周期運動形式。圖7（b）的分岔圖也說明了系統隨參數e變化的動力學特征。

（6） 固定參數=10，=4，=20，=-2.5，=4， =20，改變參數。當-3030，由圖8（a）系統的Lyapunov指數譜可知；當-0.70.7，最大Lyapunov指數幾乎等于0，系統表現為周期運動形式；當-30-0.7或0.730，最大的Lyapunov指數大于0，系統處于混沌狀態。圖8（b）的分岔圖也說明了系統隨參數變化的動力學特征。

（7） 固定參數=10，=4，=20，=-2.5，=4， =5，改變參數。當080，系統的Lyapunov指數譜和分岔圖如圖9所示。

由圖9（a）可知，當01.8時，最大Lyapunov指數小于0，系統處于穩定狀態；當1.85或3380，最大Lyapunov指數幾乎等于0，系統表現為周期運動形式當533，最大的Lyapunov指數大于0，系統處于混沌狀態。圖9（b）的分岔圖也說明了系統隨參數變化的動力學特征。

2 六維分數階Lorenz?duffing混沌系統的電路實現

根據文獻[22]提出的整數階混沌電路模塊化設計方法和頻域近似方法，驗證六維分數階Lorenz?duffing系統的混沌特性，使用模擬運算放大器、乘法器、電阻和電容。根據文獻[21] ，當=0.98時，得到的單元電路中元器件的參數值為：=91.187 3 MΩ，=190.933 Ω，=0.975 3 μF，=3.680 6 μF， 電路單元如圖10所示。

本文設計了一個模擬電路實現了0.98 階次的六維分數階Lorenz?duffing系統，如圖11所示。

其中，AD633是乘法器，TL082ID為運算放大器，====，=，=====================，=======，==，==，=，對六維分數階Lorenz?duffing系統的電路利用Multisim軟件進行仿真，吸引子的相圖如圖12所示?？梢缘贸?，電路實驗仿真結果與數值模擬結果，如圖2所示，基本上是一致的。

3 結 論

本文設計了一個六維分數階Lorenz?duffing混沌系統，并利用整數階算子逼近分數階算子的方法得到了分數階混沌系統的近似解。利用Matlab數值仿真技術，重點分析了該混沌系統的平衡點和穩定性以及系統的動力學特性，包括混沌吸引子、分岔圖和Lyapunov指數譜。最后，繪制了該分數階混沌系統的電路原理圖，在Multisim 軟件上電路仿真結果驗證了該分數階系統的可行性。

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