基于加權類分數傅立葉變換的變換域通信系統

梅林+房宵杰+沙學軍

中圖分類號：TN929.5 文獻標志碼：A 文章編號：1009-6868 （2017） 03-0038-007

摘要：

提出單載波與多載波技術體系的融合將會成為未來通信系統空中接口技術發展的重要趨勢，指出對既有系統與技術的兼容性和擴展性是混合單、多載波系統所需重點關注問題。結合擴頻、均衡、部分快速傅立葉變換（FFT）解調等技術，論述了干擾平均化思想在混合載波系統抗衰落、抗干擾中的重要作用，并展望了加權類分數傅立葉變換（WFRFT）通信系統相關技術的未來研究重點。

關鍵詞：WFRFT；混合載波體制；時頻雙彌散信道；低截獲概率

Abstract： This paper indicates that the convergence of single carrier and multi-carrier technological system will be the general trend for the air interface of future communications systems， and the compatibility and expansibility should be the crucially focused features. The idea of averaging interference for the hybrid carrier system over fading and interference channels are discussed along with the combinations of hybrid carrier system and other techniques such as spectrum spreading， equalization and partial fast Fourier transform （FFT） demodulation. Future work for the research of weighted-type fractional Fourier transform （WFRFT） communications system and relative technologies are also addressed.

Key words： WFRFT； hybrid carrier scheme； time-frequency doubly dispersive channel； low probability of interception

通信過程中存在的系統、信號、干擾等都已由時、空、頻、能量等物理關系抽象出的數學工具和模型來表征、分析。在這些通信過程所依賴的資源中，時間與頻率這一對物理量最為人們所熟悉，通信中遇到的許多問題最終都可以歸結為時頻資源受限以至無法同時滿足時、頻域約束條件的矛盾。傳統通信理論中所孤立使用的數學工具，已經無法簡單、準確地描述新需求背景下復雜的時頻關系。其中最為典型的就是高速移動環境下的寬帶無線接入問題，即在高運動速率、高數據速率背景下進行可靠傳輸的問題。在此背景下，信道呈現一種“雙彌散”的特性，即由多徑造成的時間彌散和由多普勒頻移造成的頻率彌散。在實際操作中，通常很難同時抑制兩種干擾。針對移動系統來說，主要問題就是要設計出有效的對抗時頻雙選擇性衰落的相關技術。

傳統的理論與方法是基于傅立葉分析，在時頻域分別處理，一定程度上聯合時頻處理的結果。文中，我們所介紹的研究將解決方法從傳統的傅立葉變換域擴展到了加權分數傅立葉變換（WFRFT）域。一方面，在理論上傅立葉分析將作為WFRFT的一個特例；另外一個方面，在WFRFT域信號的時頻分量將融合為一個整體，為解決這一類“時頻聯合”或“時頻協同”問題，提供了新的理論根據。

1 加權類分數傅立葉變換

歸一化的傅立葉變換是一種酉變換，具有周期為4的特點。Hermite-Gauss函數是傅立葉變換的特征函數，其對應的特征值有4個：1、、-1、（表示虛數單位），對應單位圓上角度為0、、和的點。分數傅立葉變換（FRFT）是對傳統傅立葉變換的推廣，Hermite-Gauss函數同樣也是FRFT的特征函數，而其對應的特征值是在單位圓上按照某種規律采樣的結果。以作為一個單位，FRFT特征值對應的角度一般不在整數倍的位置上。因而，FRFT之所以被稱作“分數”的原因，也可以從傅立葉變換特征值分數化的角度來解釋。

不同的特征值分數化方法，對應了不同類型的FRFT。由線性調頻信號（或稱chirp信號）構成這種FRFT的基函數，所以這種FRFT也被稱為“chirp類FRFT”，簡稱CFRFT。CFRFT出現最早，因而很多時候CFRFT也被直接稱作FRFT。

FRFT有很多性質，其中線性、酉性、分數階可加性、階數周期性及特征值的周期性、邊界性等性質尤為重要，以致于這些性質足以構成對FRFT的完整描述。1995年，C. C. Shih利用傅立葉變換周期為4的特點，通過將函數自身及其反轉、函數的傅立葉變換及其反轉作為態函數進行加權組合，得到了一種具有上述FRFT重要性質的新變換，后來這種FRFT即被稱作WFRFT。C. C. Shih提出的WFRFT定義，無論從形式上還是具體數值計算上都與之前出現的CFRFT不同。至此之后，更多廣義形式的FRFT定義被提出，CFRFT與WFRFT之間的關系也逐漸被人們所揭示[2-4]。

由于CFRFT具有形式相對簡單的基函數（chirp函數），其物理含義也較明確，故而在光學、信號處理、通信等領域有較多的應用研究。WFRFT提出伊始，由于和CFRFT的顯著差異，加之基函數、物理含義不如CFRFT一樣易于理解，故而只在圖像加密方向上有少許應用研究成果。自2007年起，通過對WFRFT自身特點的研究，以及主流通信系統模型的對比，我們逐漸發現WFRFT在數字通信系統中具有特殊的物理含義，并由此產生了一種新的數字通信系統模型。

2 WFRFT通信系統模型及

其信號特征

2.1 WFRFT在數字通信系統中的

物理意義及其結構

C. C. Shih的原始定義是針對連續函數及其傅立葉變換而提出的，事實上，WFRFT中的加權系數可以用來定義任何一種具有周期特性（或者說“對稱特性”）的變換。在提出WFRFT的最初文獻中[1]，Shih就利用正余弦函數的微分具有周期性的特點，提出了一種針對正余弦的“分數階微分運算”。由此，利用歸一化離散傅立葉變換（DFT）也具有周期為4的特點，可以利用Shih提出的加權系數，直接定義一種“加權DFT”，即序列的WFRFT。

設為任意復數序列，其歸一化DFT定義為：

（1）

它可以進一步表示為一種矩陣的形式：

（2）

其中：

稱作“ 傅立葉矩陣”或“DFT矩陣”，。

的WFRFT定義為：

（4）

WFRFT的矩陣定義為：

（5）

其中表示階單位陣，階反轉陣定義為：

（6）

加權系數的定義有很多種不同的形式，公式（7）給出了其中較為廣義的一種定義：

其中，是不小于3的整數（當取1或2時FRFT將退化而缺乏實際意義），，，。當、時，公式（7）退化為C. C. Shih所給出的原始加權系數定義。此時WFRFT由4個被加權函數和一個參數所確定，因而也被稱作“單參數四項加權分數傅立葉變換”。

需要注意的是：上述定義的對象是無具體物理含義的序列，如利用上述定義計算連續函數的WFRFT則還需滿足具有時頻對稱性的采樣條件并采用離散數值算法實現[5]。

如果將視作完成相移鍵控（PSK）、正交振幅調制（QAM）基帶映射后的信息符號，則WFRFT的物理實現流程如圖1所示[6]。對比正交頻分復用（OFDM）系統和單載波頻域均衡系統的實現結構不難看出：圖1中和支路包含有DFT模塊，對應了OFDM信號的并行傳輸方式；而和支路沒有DFT模塊，實際上是簡單的單載波串行傳輸過程。需要說明的是：DFT與離散傅立葉逆變換（IDFT）在OFDM發射機中的作用是相同的，在提出數字OFDM最初實現方式的文獻中[7]，發射機端正是使用的DFT而非IDFT。后人用IDFT替換DFT作為OFDM的調制實現方式，使得這一過程的物理意義更加清晰，但二者的本質卻是相同的，在具體的工程實現上也是近乎一樣的。

基于WFRFT在數字通信中具有的物理意義，文獻[5]、[8]提出了“單載波、多載波融合通信系統”或稱“混合載波通信系統”的概念。該通信系統模型可以在基于塊傳輸方式的單載波和OFDM系統之間實現平滑過渡：當參數為偶數時系統對應單載波；當參數為奇數時系統對應多載波；當參數為非整數時系統對應單載波和多載波的混合形式。這一方面可以作為溝通傳統單載波、多載波體制的橋梁；另一方面，在很多復雜、多變的環境或條件約束下，混合載波通信系統具有較傳統載波體制更靈活的應對方式和更好的性能表現。

單載波與多載波在技術體系上的競爭由來已久，但長期演進（LTE）系統在上、下行鏈路分別采用不同的載波體制這一事實，則印證了兩種技術體系可以相互融合的可能。未來通信系統將采用哪種技術體系以及在單載波、多載波之外會否有新的技術體系出現？從目前正展開的5G技術研發和標準制訂中，這些問題的答案可見端倪。在5G備選技術熱點中，廣義頻分復用（GFDM）、通用濾波多載波（UFMC）等新型多載波技術都宣稱具有了對單載波技術體系的兼容和過渡方式。隨著軟件定義的、統一的空中接口成為一種趨勢，單載波與多載波技術體系的融合與統一也勢必成為未來技術的主流。

作為一種新型的混合載波通信技術或者融合技術方案，首先需要說明的是對既有技術體系的兼容性或適用性，其次則要提出可能的潛在優勢或拓展技術方案。圖2給出了WFRFT混合載波系統的線性均衡實施方案。均衡作為抵抗信道衰落的有效手段，其作用在時域還是頻域依據的是信道的描述方式，而與信息調制的作用域沒有關系。如同OFDM的信息可視作在頻域進行調制，而單載波的信息是在時域進行調制，但OFDM與單載波都可以采用頻域均衡技術，因為頻率選擇性衰落信道可以通過信道的頻域矩陣進行描述。利用WFRFT的邊界性（參數取整數時等效為做次傅立葉變換）和參數可加性（）可以很容易地得到圖2模型。WFRFT混合載波系統對信道估計與均衡、多址、波形等既有技術具有很好的兼容性[5]，[8]。

2.2 WFRFT的信號特征

作為單載波和多載波的混合形式，WFRFT信號同時包含有單載波信號和多載波信號的特點。隨著參數的改變，WFRFT的信號特征也在單載波信號與多載波信號之間連續變化。文獻[6]、[8]從信息能量的時頻分布特性入手，指出WFRFT信號比傳統單載波和多載波信號具有更均勻的時頻能量分布。這一分布特性有利于信號在復雜多變的場景中，以及時頻域同時存在干擾的信道下保持性能魯棒性。

文獻[9-10]則通過信號星座圖的描繪，展現了WFRFT信號靈活多變的特點。單參數WFRFT信號的星座圖會隨著的改變而呈現發散、旋轉、匯聚等變化，星座點分布呈現類高斯特性；多參數WFRFT信號的星座圖甚至會出現星座點分裂的現象，使得正交相移鍵控（QPSK）信號看起來更像一個經過旋轉、疊加噪聲的16 QAM信號。WFRFT信號星座圖的變化，使其對于非目的接收機而言更難檢測，進而有利于提高通信信號的抗截獲特性。從信號星座圖的特點出發，為了進一步研究WFRFT信號與高斯信號的相似性，文獻[9-10]對比了WFRFT信號實部/虛部的統計特性與正態分布的趨近程度和趨近條件。文獻[11]最終分析得到了WFRFT信號概率密度函數的解析表達式，信號的概率密度函數可以用來推導信道容量、誤碼率、峰均功率比（PAPR）等指標的閉合表達式，為客觀評價信號體制性能，求解最優參數提供理論基礎。

此外，文獻[12-13]研究了WFRFT信號的PAPR、帶外功率抑制以及抗頻偏魯棒性等問題和相關技術，以期在多個不同優化目標的驅動下形成一套WFRFT信號設計、處理與參數優化的技術手段和方法。

3 WFRFT系統的抗衰落與

抗干擾技術

文獻[5]和[10]在簡化的選擇性衰落信道模型下首先論證了WFRFT混合載波信號的優勢；但這種信道模型過于抽象和簡單，與實際信道和常用信道模型脫離較遠。而在更復雜、惡劣的信道環境下過高的誤碼率會降低系統的實用性，因而后續很多研究試圖通過將WFRFT與各種抗干擾技術相結合，以在更貼近實際的場景下獲得抗干擾性能的優勢。相關研究一方面涉及了混合載波系統的抗干擾技術，更重要的是要解決如何選取WFRFT參數的問題[6]，[14-15]。前者可從單載波和多載波系統的相關技術設計方法中得到啟發；而后者使得的“干擾平均化”的思想值得借鑒。

3.1 干擾平均化

所謂“干擾平均化”是指：將系統總體干擾能量盡可能平均地分散到各個子載波或判決位置上，以換取系統整體性能的提升。該方法實施的前提是系統總體干擾水平較低，否則該方法會起到相反的效果。干擾平均化思想的示意如圖3所示，其中“殘余干擾”這里指窄帶系統的帶外功率輻射。此處考慮的是一個寬窄帶系統共存的場景，在其他場景中殘余干擾也可以是由信號非正交、時頻同步失真、信道估計誤差、信道衰落、保護帶不足等因素所引起的其他信號失真。使得干擾能量平均化的技術手段包括時頻資源重組以及各種變換域手段，例如文獻[6]在窄帶干擾信道下分析了WFRFT參數的影響，文獻[16]中采用了與擴頻技術相結合的方式，文獻[17]則針對時頻雙選信道研究了WFRFT系統與均衡技術的結合。

3.2 簡化選擇性衰落信道模型下

不同載波體制誤碼率性能比較

本節采用文獻[5]和[18]中的“加性高斯白噪聲（AWGN）+時/頻域陷波”的簡化選擇性衰落信道模型來說明WFRFT系統在干擾信道下的魯棒性。該模型在時頻域某些點上存在深衰落，而在其他點上保持不變。由此可以建立基于該假設的3個基礎模型：有一個時域深衰落點；有一個頻域深衰落點；時頻域各有一個深衰落點。本節仿真采用二進制相移鍵控（BPSK）調制，快速傅立葉變換（FFT）點數128，單參數4-WFRFT的參數。3種不同選擇性衰落的參數如下：信道A的頻域隨機點幅度衰減10 dB；信道B的時域隨機點幅度衰減10 dB；信道C的時頻域各一個隨機點，幅度分別衰減10 dB。

在圖4 a）—c）中分別給出了單載波、OFDM和WFRFT3種不同載波體制系統在3種典型的簡化選擇性衰落信道模型下的性能比較。其中，單載波和OFDM系統在某一種信道下具備最優的系統性能，而在另外兩種信道條件下都出現了誤碼平層，這一誤碼平層產生的原因正是深衰落點處噪聲的影響。對于BPSK調制而言，OFDM系統位于頻率深衰落點處的子載波誤碼率為50%；同理，單載波系統位于時域深衰落點處的符號判決錯誤概率也為50%，根據仿真參數可計算得到誤碼平層約在410左右。對于不在深衰落點所存在域上進行判決的系統，深衰落點的影響將會被128點“平均化”。當FFT點數足夠多，或者深衰落點處影響在被平均化后尚不影響其他位置判決時，進行平均化的系統要比不進行平均化的系統具有更佳的性能；平均化程度越高的系統，系統性能越好。圖4 d）將a）—c）中WFRFT系統的曲線繪制在了一起，可以發現WFRFT 系統在3種信道條件下的性能保持穩定。即便信道深衰落點數由1個增加到2個，系統性能也僅僅下降1 dB左右。

以上分析說明了WFRFT系統具備更好的信道適應能力。在復雜多變的信道條件下，特別是時間頻率雙選擇性衰落的條件下，這一性能可以使WFRFT系統以較小的代價來換取相同的系統性能。WFRFT系統性能穩定的特點，適用于那些可以犧牲部分通信質量來換取長時間穩定通信的場合。

3.3 WFRFT與CDMA/直接序列擴頻

技術的結合

在WFRFT混合載波系統的想法提出之后，文獻[16]、[19-20]首先將其與碼分多址（CDMA）/直接序列擴頻技術結合在一起，希望通過擴頻增益來提升系統整體誤碼率性能。

混合載波系統與CDMA技術結合可以有兩種不同的方案。在混合載波-碼分多址（HC-CDMA）傳輸方法中，在FRFT域進行序列擴展后采用WFRFT將信號變換到時域傳輸，傳輸信號均具有混合載波的特征，同時序列擴展進一步起到了符號能量平均化的作用。在這樣的條件下，干擾能量被平均分配到更多的碼片上，從而起到對多徑干擾及單頻干擾的抵抗作用。而信道衰落對擴頻序列正交性的破壞將導致多用戶干擾，為了抑制這種干擾并兼顧混合載波的特性，又提出在時域進行序列擴展的多載波直接序列碼分多址（MC-DS-CDMA）方法。

3.4 時頻雙選擇性衰落信道下

WFRFT系統的均衡技術

針對雙選信道的時頻雙彌散特性，以及其在單載波（SC）和多載波（MC）系統中造成的不利影響，近年來的研究工作提出了多種雙選信道下采樣間/載波間干擾（ISI/ICI）的抑制方案，甚至利用多普勒擴展的信號頻域分集特性，以提高系統在這種嚴苛信道條件下的檢測性能。雙選信道的干擾抑制方案主要可分為ICI抑制技術、信道均衡技術以及新型的信號調制/解調技術3種。ICI抑制技術包括脈沖成形和時域窗濾波兩種方法；信道均衡包括線性均衡和非線性均衡兩種形式；針對雙選信道提出的新型調制解調技術包括能量擴展變換（EST）調制、部分FFT解調技術等。

文獻[21-24]將WFRFT混合載波系統與雙選信道下的均衡技術相結合，針對不同時變特性的雙選信道，提出了結合時域窗濾波和信道均衡的多種干擾抑制方法，更好地實現了ISI和ICI的有效抑制和系統誤碼性能的提升。

文獻[21]針對小多普勒頻移的雙選信道，提出了基于WFRFT的混合載波線性均衡方法，與傳統單載波和多載波體制下線性均衡相比，這種方法利用WFRFT的能量平均化特性，有效地降低了殘余干擾幅度在WFRFT域上的概率峰值，進而降低符號判決時大估計誤差的出現概率，從而有效改善了系統的誤碼性能。文獻[22-23]針對大多普勒頻移的雙選信道，結合WFRFT域先驗信息的迭代反饋，提出了WFRFT混合載波體制下的時域迭代最小均方誤差均衡方法。考慮到干擾抑制方法的實現開銷，文獻[24]提出了WFRFT混合載波體制下的頻域迭代最小均方誤差均衡方法，獲得了優于傳統載波體制下的誤碼性能，且與混合載波調制（HCM）下的時域迭代最小均方誤差均衡方法相比，實現復雜度有明顯的降低。

圖5描繪了WFRFT混合載波雙選信道下協同分數域均衡方法的設計思路：抗衰落的均衡技術仍舊在傳統的時、頻域實施，與傳統技術不同的是WFRFT混合載波系統在分數域進行信號的判決和解調，并將計算得到的軟信息通過域變換再反饋給時域或頻域的均衡器進行迭代均衡[25]。

3.5 WFRFT系統與部分FFT的結合

文獻[25-27]將WFRFT混合載波系統與部分FFT解調相結合，利用了混合載波系統能夠將信號能量和干擾能量均勻分布在時頻平面上的特點，以及部分FFT解調可以將來自信道的載波間的干擾分布到許多無用信號上的特征，從而減少了有用信號上的干擾。

文獻[28]將部分FFT解調應用到了OFDM系統中，但是由于OFDM在快速時變的雙選信道下，會受到由于多普勒影響引起的載波間的干擾的影響，為此文獻[26]提出了將部分FFT解調應用到混合載波系統中，性能有了很大的提高，但是復雜度很高，在實際應用中會受到限制。文獻[27]進一步將基于帶狀最小均方誤差的信道補償技術應用到混合載波在部分FFT解調下的系統中。

圖6為對接收到的長時域序列進行4個部分的部分快速傅里葉變換（PFFT）解調過程的原理圖。每個長序列經過補零后做點的FFT，再對各個部分分別做頻域的信道抵消處理（如幅度和相位補償）后合并，并輸出頻域估計序列。部分FFT被應用于多普勒影響較為嚴重的水下聲納信道或存在載波頻偏的信道環境下時，可有效提高OFDM系統的性能，且隨著時域序列劃分區間個數的增加，系統誤碼性能越好。圖7描述了WFRFT混合載波-部分FFT解調系統的設計思路[25]。

4 WFRFT抗截獲

從信號波形的角度考慮，信號波形越復雜，則分選和識別的難度越大。文獻[5]、[9-10]最初利用了WFRFT信號波形復雜、可控的特點，提出WFRFT在低截獲、低檢測通信中應用的可行性。針對低檢測性能的評估，可以從兩個層次進行。

（1）假設非目的接收機已知系統采用WFRFT技術的前提下，通過枚舉檢測識別WFRFT的參數。文獻[5]、[9-10]分析了這種情況下WFRFT參數誤差對于接收機解調誤碼率的影響，并簡要分析了這種檢測方式所需要付出的復雜度代價。

（2）當非目的接收機未知系統采用WFRFT技術而使用一些盲信號檢測和調制識別手段時，一些常用技術手段對于WFRFT信號的識別效果。其中，基于高階累積量、高階循環累積量的方法是目前研究較多，理論相對完善，方法相對成熟的一種盲信號檢測和調制識別手段。由于高斯信號的高階累積量和高階循環累積量恒為零，所以高階累積量和高階循環累積量的檢測方法對于高斯信號而言是無效的或“盲”的，因此這兩種方法即不受高斯噪聲的影響又無法適用于類高斯噪聲信號的檢測。

此外，WFRFT對于通信信號的高斯化程度使得通信信號呈現出類高斯的統計特性，所以選取基于高階累積量或高階循環累積量或其兩種融合的方式作為定量分析的特征，并在采用相同的調制方式識別器或級聯分類器或并聯分類器的情況下原有的調制識別方法失效。文獻[29]對WFRFT信號高階累積量特性進行了簡要分析。此外，利用WFRFT信號的類高斯特性，文獻[5]中設計了一種利用WFRFT信號進行波形搭載隱蔽通信的技術方案并將WFRFT與變換域通信系統（TDCS）結合用于衛星隱蔽通信中。

為了進一步保護WFRFT參數不被檢測，文獻[30]提出了WFRFT變參數通信方法，而多層變換[31]、并行組合擴[32]以及協作通信[33]等方案則進一步提升了WFRFT的抗截獲性能。

5 結束語

文章中我們簡要回顧了WFRFT被引入通信系統的發展歷程，以及在混合載波通信、低截獲/低檢測概率通信等兩個應用方面的主要研究成果。目前相關研究工作正繼續遵循這兩條主線漸次展開。隨著5G移動通信網絡和相關技術研究逐漸成為熱點，包括一些單、多載波混合技術方案在內的許多新想法被提出，這些技術與WFRFT的關系與相關性、兼容性等問題都是值得深入研究的。更多樣、廣泛的信號檢測、識別手段，也將應用于對WFRFT的檢測與識別特性的評估方面。此外，隨著WFRFT系統向實用化方向的推進，包括同步、信道估計等工程問題也是不可回避的。

參考文獻

[1] SHIH C C. Fractionalization of Fourier Transform [J]. Optics Communications， 1995（5-6）：495-498. DOI： 10-1016/0030-4018（95）00268-D

[2] LIU S， ZHANG J， ZHANG Y. Properties of the Fractionalization of a Fourier Transform [J]. Optics Communications， 1997（133）： 50-54. DOI： 10.1016/S0030-4018（96）00478-6

[3] YEUNG D S， RAN Q， TSANG E C， et al. Complete Way to Fractionalize Fourier Transform [J]. Optics Communications， 2004， 230： 55-57. DOI： 10.1016/j.optcom.2003.11.054

[4] RAN Q， YEUNG D S， TSANG E C C， et al. General Multifractional Fourier Transform Method Based on the Generalized Permutation Matrix Group [J]. IEEE Transactions on Signal Processing， 2005， 53（1）： 83-98. DOI： 10.1109/TSP.2004.837397

[5] 梅林. 加權類分數傅立葉變換及其在通信系統中的應用 [D]. 哈爾濱： 哈爾濱工業大學， 2010

[6] MEI L， ZHANG Q， SHA X， et al. WFRFT Precoding for Narrowband Interference Suppression in DFT-Based Block Transmission Systems [J]. IEEE Communications Letters， 2013， 17（10）：1916-1919. DOI：10.1007/s11432-008-0073-6

[7] WEINSTEIN S， EBERT P. Data Transmission by Frequency-division Multiplexing Using the

Discrete Fourier Transform [J]. IEEE Transactions on Communication Technology， 1971， 19（5）： 628-634

[8] MEI L， SHA X， ZHANG N. The Approach to Carrier Scheme Convergence Based on 4-Weighted Fractional Fourier Transform [J]. IEEE Communications Letters， 2010， 14（6）： 503-505. DOI：10.1109/LCOMM.2010.06.092413

[9] 梅林， 沙學軍， 冉啟文， 等. 四項加權分數Fourier變換在通信系統中的應用研究 [J]. 中國科學： 信息科學. 2010， 40（5）： 732-741

[10] MEI L， SHA X， RAN Q， et al. Research on the Application of 4-WFRFT in Communication System [J]. Science of China： Information Sciences. 2010， 53（6）： 1251-1260

[11] WANG X， MEI L， WANG Z， et al. On the Probability Density Function of the Real and Imaginary Parts in WFRFT Signals [J]. China Communications， 2016， 13（9）： 44-52. DOI： 10.1109/CC.2016.7582295

[12] MEI L， SHA X， ZHANG N. PAPR of Hybrid Carrier Scheme based on Weighted-type Fractional Fourier Transform [C]// 6th International ICST Conference on Communications and Networking in China （CHINACOM 2011）. USA： IEEE， 2011：237-240

[13] WANG X， MEI L， ZHANG N， et al. PAPR Approximation of Continuous-Time WFRFT Signals [C]//2014 IEEE International Conference on Communication Systems （ICCS）. USA： IEEE， 2014： 237-240. DOI：10.1109/ChinaCom.2011.6158155

[14] HUI Y， LI B， ZHANG T. 4-Weighted Fractional Fourier Transform over Doubly Selective Channels and Optimal Order selecting Algorithm [J]. Electronics Letters， 2015 ， 51 （2） ： 177-179

[15] 程曉霞， 陳相寧， 于爽， 等. 基于WFRFT的抗衰落通信系統性能研究[J]. 電子測量技術， 2015， 38（11）： 143-147

[16] 邱昕. 基于分數傅立葉變換的混合載波通信系統性能研究 [D]. 哈爾濱： 哈爾濱工業大學， 2013

[17] 王. 基于加權分數傅立葉變換的雙選信道下干擾抑制方法研究[D]. 哈爾濱：哈爾濱工業大學，2014

[18] MEI L， SHA X， ZHANG Q， et al. The Concepts of Hybrid-Carrier Scheme Communication System [C]// 6th International ICST Conference on Communications and Networking. USA：IEEE， 2011. DOI：10.1109/ChinaCom.2011.6158114

[19] QIU X， SHA X， MEI L. Performance of Hybrid Carrier DS-CDMA Communication System [C]// Communications and Networking in China （CHINACOM）， 2011 6th International ICST Conference on. USA：IEEE， 2011. DOI： 10.1109/ChinaCom.2011.6158143

[20] QIU X， SHA X， MEI L. Hybrid Carrier Spread Spectrum System Based on 4-Weighted Fractional Fourier Transform [J]. China Communications， 2012， 9（1）： 13-19

[21] WANG K， SHA X， MEI L， et al. Performance Analysis of Hybrid Carrier System with MMSE Equalization over Doubly-Dispersive Channels [J]. IEEE Communications Letters， 2012， 16（7）： 1048-1051. DOI： 10.1109/LCOMM.2012.050112.120414

[22] WANG K， SHA X， MEI L. On Interference Suppression in Doubly-Dispersive Channels with Hybrid Single-Multi Carrier Modulation and an MMSE Iterative Equalizer [J]. IEEE Wireless Communications letters， 2012， 1（5）： 504-507. DOI： 10.1109/WCL.2012.071612.120359

[23] WANG K， SHA X， LI Y. Hybrid Carrier Modulation with Time-Domain Windows and Iterative Equalization over Underwater Acoustic Channels [J]. IEEE Communications Letters， 2013 ， 17 （8） ： 1489-1492. DOI： 10.1109/LCOMM.2013.070913.130744

[24] WANG K， SHA X， LI Y. Iterative frequency-domain equalization for WFRFT and EST Based Modulation Schemes over Doubly Selective Wireless Fading Channels [C]// 2013 IEEE 24th International Symposium on Personal Indoor and Mobile Radio Communications （PIMRC）. USA：IEEE，2013. DOI：10.1109/PIMRC.2013.6666371

[25] 李勇. 快速時變信道下基于WFRFT和部分FFT的傳輸方法研究[D]. 哈爾濱： 哈爾濱工業大學， 2015

[26] LI Y， SHA X ，WANG K. Hybrid Carrier Communication with Partial FFT Demodulation over Underwater Acoustic Channels [J]. IEEE Communications Letters， 2013 ， 17 （12） ： 2260-2263. DOI： 10.1109/LCOMM.2013.102613.131651

[27] LI Y， SHA X， ZHENG F C， et al. Low Complexity Equalization of HCM Systems with DPFFT Demodulation over Doubly-Selective Channels [J]. IEEE Signal Processing Letters， 2014 ， 21 （7） ： 862-865.DOI： 10.1109/LSP.2014.2311128

[28] YERRAMALLI S， STOJANOVIC M， MITRA U. Partial FFT Demodulation： A Dection Method for Highly Doppler Distorted OFDM Systems [J]. IEEE Transformation Signal Process， 2012， 60（11）： 5906-5918. DOI： 10.1109/TSP.2012.2210547

[29] FENG H， MEI L， SHA X， et al. Modulation Recognition for Hybrid Carrier Scheme Based on Weighted-type Fractional Fourier Transform [C]//6th International ICST Conference on Communications and Networking in China （CHINACOM 2011）. USA： IEEE， 2011

[30] DING B， MEI L， SHA X. Secure Communication System Based on Alterable-Parameter 4-Weighted Fractional Fourier Transform [J]. Information Technology Journal， 2010， 9（1）： 158-163.

[31] LI T， MEI L， WU X， et al. Anti-Interception Communication System Based on Double Layers Weighted-type Fractional Fourier Transform [C]// 6th International ICST Conference on Communications and Networking in China （CHINACOM 2011）. USA：IEEE， 2010. DOI：10.1109/ChinaCom.2011.6158125

[32] FANG X， SHA ， LI Y. Secret Communication Using Parallel Combinatory Spreading WFRFT [J]. IEEE Communications Letters， 2015 ， 19 （1） ： 62-65. DOI： 10.1109/LCOMM.2014.2359200

[33] FANG X， SHA X， MEI L. Guaranteeing Wireless Communication Secrecy Via a WFRFT-Based Cooperative System [J]. China Communications， 2015， 12（9）： 76-82. DOI： 10.1109/CC.2015.7275261