水平荷載作用下單樁的虛擬樁解法及參數

摘要：根據Muki & Sternberg的虛擬樁方法，將水平荷載作用下單樁的問題分解為彈性半空間擴展土和一根虛擬樁的疊加，其中虛擬樁的彈性模量等于樁的彈性模量與土的彈性模量之差?；谒轿灰茀f調條件推導出求解樁土間相互作用所需要的第二類Fredholm積分方程，通過廣義胡可定律推導出該積分方程間斷點的顯式解，從而提高了Fredholm積分方程的數值計算精度并簡化了計算程序的編寫，根據Mindlin解推導出位移影響函數，簡化了位移函數的推導過程。參數分析表明，樁土彈性模量比對單位水平力作用下樁身最大彎矩的位置有明顯的影響，隨著樁剛度的增加，樁身最大彎矩的位置隨之加深。

關鍵詞：水平荷載；虛擬樁；積分方程；間斷點；參數分析

中圖分類號：TU470文獻標志碼：A文章編號：16744764（2017）03011507

Abstract：Following the technique proposed by Muki and Sternberg， the problem is decomposed into an extended soil mass and a fictitious pile characterized respectively by Youngs modulus of the soil and that of the difference between the pile and soil. A Fredholm integral equation of the second kind is established which imposes the displacement compatibility condition. According to the generalized Hooke's law， the explicit solutions for the discontinuous point of the integral equation is derived， which improves the numerical accuracy and simplifies the calculation procedure. Based on the Mindlin's solution， the displacement influence function is derived which is simple. The results show that the pilesoil stiffness ratios have obvious influence on the position of the maximum bending moment for the pile under unit shear. With the increase of the pile stiffness， the position of the maximum bending moment of the pile is deeper.

Keywords：laterally loaded； fictitious pile； integral equation； discontinuous point； parametric analysis

隨著國民經濟的發展，建設了大量的高層建筑、橋梁和海上平臺，樁基是這些工程結構基礎的主要形式。但已有的研究成果主要集中在樁基承受豎向荷載時的工作性能，而對水平向荷載作用下樁基的工作研究相對要少一些。樁基除了受到豎向荷載以外，還受到來自水平方向的荷載，如由于結構物自重和使用荷載的偏心而產生的彎矩；交通工具制動時產生的水平力和彎矩；風、波浪、潮水等產生的水平力和彎矩。

近年來，不少學者對水平荷載作用下單樁和群樁進行了研究，Jiang等[1]、Jeong等[2]和Su等[3]采用荷載位移曲線（py曲線法）研究樁土相互作用，Conte等[4]和Sánchez等[5]采用有限單元法研究樁與土相互作用，土為彈性連續體，樁為彈性梁。Kim等[6]、Georgiadis等[7]和Kavitha等[8]采用有限單元和py曲線相結合的方法研究水平荷載作用下樁的工程性狀。有限單元法克服了py曲線法只能用不連續的地基反力系數這一模型參數來描述土體變形性質的缺點，但有限單元法由于計算量大而不適用于大規模群樁的計算。

彈性理論法通過引入彈性模量和泊松比這兩個土體的基本參數把地基土體視為彈性連續體。Spillers等[9]利用彈性理論法對水平荷載作用下的單樁進行了研究。Poulos[1012]也根據彈性理論法分別對水平受荷單樁、群樁、嵌巖樁進行了研究。Poulos假定三維的樁通過高度為樁長，寬度為樁寬的二維矩形截面與土相互作用，按照梁的彎曲理論進行計算，對矩形截面進行離散，根據樁土的變形協調條件就可以得到樁土共同作用的控制方程。Bipin等[13]采用一種新的彈性理論方法，基于虛功原理考慮樁與土的相互作用。Muki等[14]提出的虛擬樁模型由于能夠考慮樁土分離以后在原樁所在位置留下的孔洞，相對以上彈性理論方法計算結果更加準確 [15]。陸建飛等[16]基于虛擬樁模型對層狀地基中單樁進行了理論分析。Pak[17]基于Muki[14]提出的虛擬樁模型建立了求解均質地基中水平荷載作用下單樁的Fredholm積分方程，Chen等[18]基于Pak的單樁分析，建立了求解兩等長樁位移相互作用系數的虛擬樁模型，梁發云等[19]進一步建立了群樁的相互作用系數解法。

由于以上求解樁土相互作用的Fredholm積分方程中的間斷點都未能給出顯式解，因而計算精度不易控制；根據Muki[20]求解彈性非軸對稱問題的位移函數法推導出位移影響函數（z，ξ），推導過程相對復雜[1719]。為此，本文通過廣義胡可定律推導出了Pak方法求解水平荷載作用下樁的彎矩、位移和斜度的Fredholm積分方程的間斷點的解析解，并簡化了位移函數的推導過程，本文基于Mindlin[21]解推導出位移函數（z，ξ）。

1單樁的積分方程解法

1.1Fredholm積分方程的建立

樁與土之間的相互作用，不僅與土的力學性質有關，更重要的是與樁的受力方式有關。Muki等[14，22]把樁視為一維連續彈性體，解決了樁在豎向荷載作用下樁土相互作用的問題。

如圖1所示，彈性半空間土體中水平向受荷樁的半徑為a，長度為L，樁體的橫截面積為A，樁頂受到作用在xoy平面內的水平剪力V（0）和彎矩M（0）。與Muki等[14]文中一樣，通過引入虛擬樁B來考慮樁與土之間的相互作用。虛擬樁的彈性模量E為E=Ep-Es（1）式中：下標p和s分別表示樁和半空間擴展土。認為土是半無限連續彈性體，樁是三維連續彈性結構。

2算例驗證及參數分析

2.1算例驗證

2.1.1分段數對精度的影響為了確定樁身分段數對樁頂位移計算精度的影響，圖3給出了僅受水平力的樁頂位移與樁體分段數之間的關系，樁體分段數表示為n=δL/d式中：δ為單位樁長L/d的分段數。計算中取不同的樁土模量比（Ep/Es=10、100、10 000）、樁長細比（L/d=80、100）、土的泊松比（μs=0.15、0.25、049）情況下，考察單位樁長分段數δ對僅受水平力的樁頂自由樁的位移計算精度的影響。

比較圖3（a）、（b）可以發現，圖中所示各種情況下數值計算結果呈現出相同的規律，樁長細比、地基土泊松比和樁土彈性模量比均對數值計算精度的影響不明顯，其中，樁長細比對計算結果的影響規律與曹明等[25]的豎向荷載作用下的分析結果一致，即樁長細對數值計算精度沒有明顯的影響。

綜合以上分析以及曹明等[25]的分析結果，當樁的分段數δ≥3時，數值結果已經穩定。雖然樁體分段數越多，計算精度越高，但隨著計算精度的提高，計算耗時也在增加。如果求解的第二類Fredholm積分方程中的間斷點沒有顯式解，數值求解中為了逼近精確解，需要無限在間斷點處增加樁的分段數。

2.1.2與Pak計算結果的比較為了驗證本文水平荷載作用下單樁工程性狀計算方法的正確性，下面與Pak的計算結果進行比較。計算參數為：泊松比為μs=0.25，樁土彈性模量比分別為Ep/Es=1 000、5 000，樁長細比L/a=50。

從圖4可以看出，兩種計算方法所得計算結果數值大小基本一致，說明本文單樁的工程性狀的計算方法是正確的，同時，也驗證了本文計算程序的正確性。

3.2參數分析

為了考察單樁分別在單位水平力作用下和單位彎矩荷載作用下的工程性狀，對影響樁身彎矩分布、樁身位移分布和樁身斜度分布的樁長細比、樁土彈性模量比參數進行了系統的分析。土的泊松比為μs=0.3，樁土彈性模量比分別為Ep/Es=100、1 000、5 000和10 000，樁長細比為L/a=40。

1）單位水平力從圖5可以看出，樁身的彎矩沿樁的埋深，先增加，再減小，具體有如下分布規律：

樁土彈性模量比對樁身最大彎矩的位置有明顯的影響，隨著樁剛度的增加，樁身最大彎矩的位置在加深。另外，當樁頂自由樁樁頂作用單位水平荷載時，樁的剛度越大，樁身的最大彎矩值也越大。

樁身的最大位移和最大斜度位置都在樁頂，隨著樁的埋深增加，樁身的位移和斜度逐漸減小，樁土彈性模量比對樁頂位移和斜度值大小都有明顯的影響，樁的剛度越大，樁頂位移和斜度值絕對值越小。相反，樁的剛度越大，樁身的位移和斜度為零的位置越深。

2）單位彎矩從圖6可以看出，樁頂自由樁在樁頂單位彎矩作用下，樁身的彎矩沿樁的埋深，由樁頂的單位彎矩減小到樁底彎矩等于零。樁土彈性模量比對樁身彎矩的分布有明顯的影響，樁身剛度越大，樁身彎矩從單位彎矩減小到0的位置越深。如果彎矩為零的位置不在樁底，在該位置的下部會出現負彎矩，如圖6（a）中樁土彈性模量比Ep/Es=100，在樁埋深L/a=8的位置，樁身彎矩減小為0，在樁埋深L/a=8以下位置出現了負彎矩。

與樁頂作用單位水平荷載樁身斜度分布規律一樣，樁頂作用單位彎矩荷載時，樁身的最大位移和最大斜度位置也在樁頂，隨著樁的埋深增加，樁身的位移和斜度逐漸減小，具體有如下分布規律：樁土彈性模量比對樁頂位移和斜度值大小有明顯的影響，樁的剛度越大，樁頂位移值和斜度值絕對值越小。相反，樁的剛度越大，樁身的位移和斜度分別為零的位置越深。

將圖6（c）與單位水平力作用下樁的斜度分布圖5（b）對比發現，對于不同的樁剛度，樁頂作用單位彎矩的樁頂位移值大小等于樁頂作用單位水平力的樁頂斜度的絕對值。

4結論

通過廣義胡可定律推導出了Pak方法求解水平荷載作用下樁的彎矩、位移和斜度的Fredholm積分方程中間斷點的解析解，從而提高了Fredholm積分方程的數值計算精度并簡化了計算程序的編寫，根據Mindlin解推導位移函數u（z，ξ），簡化了位移函數的推導過程。

對影響均質地基中樁的彎矩、位移和斜度的樁土彈性模量比進行了系統的研究，分別考察了均質地基中樁的彎矩、位移和斜度特性。通過參數分析，得出以下結論：

1）樁土彈性模量比對單位水平力作用下樁身最大彎矩的位置有明顯的影響，隨著樁剛度的增加，樁身最大彎矩的位置在加深，樁土彈性模量比對樁頂斜度和位移的大小也有明顯的影響。

2）樁土彈性模量比對樁頂作用單位彎矩下樁身彎矩的分布有明顯的影響，樁身剛度越大，樁身彎矩從單位彎矩減小到0的位置越深；對于不同的樁身剛度，當樁埋深到一定的深度，樁身都會出現彎矩為0的位置以及負彎矩。樁土彈性模量比對樁頂作用單位彎矩下樁頂斜度和位移的大小有明顯的影響。

3）對于不同的樁剛度，樁頂作用單位彎矩的樁頂位移值大小等于樁頂作用單位水平力的樁頂斜度的絕對值。

參考文獻：

[1] JIANG C， LI B， ZHOU K P， et al. Reliability analysis of piles constructed on slopes under laterally loading [J]. The Chinese Journal of Nonferrous Metals of China，2016， 26： 19551964.

[2] JEONG S， KIM Y， KIM J. Influence on lateral rigidity of offshore piles using proposed py curves [J]. Ocean Engineering， 2011， 38： 397408.

[3] SU D， YAN W M. A multidirectional py model for lateral sandpile interactions [J]. Soils and Foundations， 2013， 53（2）： 199214.

[4] CONTE E， TRONCONE A， VENA M. Behaviour of flexible piles subjected to inclined loads [J]. Computers and Geotechnics， 2015， 69： 199209.

[5] SNCHEZ M， ROESSET J M. Evaluation of models for laterally loaded piles [J]. Computers and Geotechnics， 2013， 48： 316320.

[6] KIM Y H， JEONG S S. Analysis of soil resistance on laterally loaded piles based on 3D soilpile interaction [J]. Computers and Geotechnics， 2011， 38（2）： 248257.

[7] GEORGIADIS K， GEORGIADIS M.Development of py curves for undrained response of piles near slopes [J]. Computers and Geotechnics， 2012， 40： 5361.

[8] KAVITHA P， MUTHU V M， Sundaravadivelu R. Soil structure interaction analysis of a dry dock [C]// International Conference on Water Resources， Coastal and Ocean Engineering （ICWRCOE 2015）， India， 2015： 287294.

[9] SPILLERS W R， STOLL R D. Lateral response of piles [J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division， ASCE， 1964， 90（SM6）： 19.

[10] POULOS H G. Behavior of laterally loaded piles： Isingle piles [J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division， 1971， 97（5）： 711731.

[11] POULOS H G. Behavior of laterally loaded piles： IIpile groups [J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division， 1971， SM5： 733751.

[12] POULOS H G. Behavior of laterally loaded piles： IIIsocketed piles [J]. Journal of the Soil Mechanics and Foundations Division， 1972， 4： 341360.

[13] BIPIN K G， DIPANJAN B. Analysis of laterally loaded rigid monopiles and poles in multilayered linearly varying soil [J]. Computers and Geotechnics， 2016， 72： 114125.

[14] MUKI R， STERNBERG E. Elastostatic loadtransfer to a halfspace from a partially embedded axially loaded rod [J]. International Journal of Solids and Structures， 1970， 6： 6990.

[15] 曹明， 陳勝立. 層狀地基中群樁基礎彈性理論解法及參數分析[J]. 土木建筑與環境工程， 2012， 34（2）： 16.

CAO M， CHEN S L. An elastic theory approach and parametric analysis of pile group in layered soils [J]. Journal of Civil， Architecture & Environmental Engineering， 2012， 34（2）： 16. （in Chinese）

[16] 陸建飛， 王建華， 沈為平. 考慮固結和流變的層狀地基中的水平單樁的理論分析[J]. 巖石力學與工程學報， 2001， 20（3）： 386390.

LU J F， WANG J H， SHEN W P. Theoretical study of horizontally loaded single pile in layered soil considering consolidation and rheology of soil [J]. Chinese Journal of Rock Mechanics and Engineering， 2001， 20（3）： 386390. （in Chinese）

[17] PAK R Y S. On the flexure of a partially embedded bar under lateral loads [J]. Journal of Applied Mechanics Division， ASME， 1989， 56： 263269.

[18] CHEN S L， CHEN L Z. Note on the interaction factor for two laterally loaded piles [J]. Journal of Geotechnical and Geoenvironmental Engineering， 2008， 134（11）： 16851690.

[19] 梁發云， 陳海兵， 陳勝立. 橫向荷載下群樁相互作用的積分方程解法及參數分析[J]. 巖土工程學報， 2012， 34（5）： 849854.

LIANG F Y， CHEN H B， CHEN S L. Integral equation method and parametric analysis for interaction of laterally loaded pile groups [J].Chinese Journal of Geotechnical Engineering， 2012， 34（5）： 849854. （in Chinese）

[20] MUKI R. Asymmetric problems of the theory of elasticity for a semiinfinite solid and a thick plate [J]. Progress in Solid Mechanics， 1960， 6： 401439.

[21] MINDLIN R D. Force at a point in the interior of semiinfinite solid [J]. Physics， 1936， 7： 195202.

[22] MUKI R， STERNBERG E. On the diffusion of an axial load from an infinite cylindrical bar embedded in an elastic medium [J]. International Journal of Solids and Structures， 1969， 5： 587605.

[23] REISSNER E. Note on the problem the distribution of stress in a thin stiffened elastic sheet [J]. Proceeding of the National Academy of Science， 1940， 26（4）： 300304.

[24] MUKI R， STERNBERG E. On the diffusion of load from a transverse tension bar into a semiinfinite elastic sheet [J]. Journal of Applied Mechanics， 1968， 35： 737746.

[25] CAO M， CHEN L Z. Analysis of interaction factors between two piles [J]. Journal of Shanghai Jiaotong University（Sci）， 2008， 13（2）： 171176.

（編輯王秀玲）