函數(shù)列的黎曼積分的極限定理及其應(yīng)用

邢家省， 楊義川， 王擁軍

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 北京100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京100191)

函數(shù)列的黎曼積分的極限定理及其應(yīng)用

邢家省1,2， 楊義川1,2， 王擁軍1,2

(1.北京航空航天大學(xué)數(shù)學(xué)與系統(tǒng)科學(xué)學(xué)院， 北京100191；2.數(shù)學(xué)、信息與行為教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京100191)

考慮函數(shù)列在廣義積分下的極限問(wèn)題，運(yùn)用函數(shù)列的極限理論，在函數(shù)列的內(nèi)閉一致收斂條件下和函數(shù)列的一致有界條件下，給出了黎曼可積函數(shù)列積分的極限定理的結(jié)果；在函數(shù)列的廣義積分一致收斂的條件下，給出了廣義積分下函數(shù)列積分的極限定理結(jié)果的充分條件，給出了廣義積分下函數(shù)列積分的控制收斂定理的敘述和證明，并將這些理論方法應(yīng)用于一些重要問(wèn)題的解決，給出了系統(tǒng)的一般化理論方法，推進(jìn)了理論發(fā)展和提高認(rèn)識(shí)。

函數(shù)列的極限理論；廣義積分；內(nèi)閉一致收斂；含參變量廣義積分的一致收斂；廣義積分控制收斂定理

函數(shù)列積分的極限問(wèn)題是分析學(xué)中的重要內(nèi)容[1-16]，然而，此重要問(wèn)題在數(shù)學(xué)分析的經(jīng)典教材中一般是沒(méi)有給予充分系統(tǒng)的討論，沒(méi)有給出系統(tǒng)一般性的深刻的結(jié)果，但在數(shù)學(xué)分析的經(jīng)典習(xí)題中，又出現(xiàn)了大量的練習(xí)題目，使人們不得不用最原始的證法去重復(fù)給出解答[6-9]，沒(méi)有形成一般性的理論方法。研究發(fā)現(xiàn)，函數(shù)列積分的極限理論完全可以在數(shù)學(xué)分析中給予系統(tǒng)完整的介紹，用已有的知識(shí)基礎(chǔ)，就能得到深刻的理論結(jié)果，達(dá)到理論上應(yīng)有的發(fā)展高度，并能解決大量的問(wèn)題。在現(xiàn)有函數(shù)列的極限理論方法的基礎(chǔ)上，充分發(fā)掘它的功能和潛力，就能得到函數(shù)列的廣義積分的極限定理，使廣義積分下的函數(shù)列積分的極限理論得到豐富發(fā)展，便于應(yīng)用。

文獻(xiàn)[1-16]中對(duì)函數(shù)列的積分的極限理論，從多個(gè)不同方面進(jìn)行了研究，得到了一些結(jié)果，但不系統(tǒng)、不明確，沒(méi)有發(fā)展到應(yīng)有的理論高度。本文在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，進(jìn)行了系統(tǒng)的一般化處理，形成了一套系統(tǒng)的嚴(yán)密理論方法，豐富發(fā)展了經(jīng)典理論，達(dá)到新的認(rèn)識(shí)高度。

1函數(shù)列的黎曼積分的極限定理的經(jīng)典結(jié)果

定理1[1-6]設(shè){fn(x)}是[a,b]上的連續(xù)函數(shù)列，如果{fn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x)。則有

(1)f(x)在[a,b]上連續(xù)；

定理2[2,4,13]設(shè){fn(x)}是[a,b]上的黎曼可積函數(shù)列，如果{fn(x)}在[a,b]上一致收斂于f(x)。則有

(1)f(x)在[a,b]上黎曼可積；

定理3[1-2,4,6]設(shè){fn(x)}是[a,b]上的黎曼可積函數(shù)列，且滿(mǎn)足如下條件：

(2)存在常數(shù)M>0，使得|fn(x)|≤M，對(duì)x∈[a,b],n=1,2,…；

(3)對(duì)任意a

定理4[2,4,6]設(shè)函數(shù)列{fn}的每一項(xiàng)都在區(qū)間[a,b]上黎曼可積，且滿(mǎn)足如下條件：

定理3的結(jié)論在數(shù)學(xué)分析的經(jīng)典教材[1-6]中是不曾明確寫(xiě)出的，這樣導(dǎo)致對(duì)大量習(xí)題[1-9]不得不用原始辦法去解答，對(duì)這些習(xí)題如果套用定理3的結(jié)果就能非常簡(jiǎn)單的解決。定理3的表述方式和證明方法，具有一般性的理論意義。

2函數(shù)列的廣義積分的極限定理的幾種形式

如果滿(mǎn)足條件：

(1)對(duì)任意a

由定理5的敘述和證明過(guò)程可以發(fā)現(xiàn)，定理5中的區(qū)間[a,b)可為有限區(qū)間，也可以是無(wú)限區(qū)間，即b可為有限，或?yàn)?∞。類(lèi)似地，可得：

如果滿(mǎn)足條件：

(1)對(duì)任意a

定理6的積分下限a可為有限，也可以是-∞。

(1)對(duì)任意a

定理7中的區(qū)間(a,b)可為有限區(qū)間，也可為無(wú)限區(qū)間。

如果滿(mǎn)足條件：

(1)對(duì)任意B>A>a，{fn(x)}在[A,B]上一致收斂于f(x)，即{fn(x)}在(a,+∞)上內(nèi)閉一致收斂于f(x)；

注意定理8中的積分下限a可以為有限的，a也可以是-∞。

如果滿(mǎn)足條件：

(1)對(duì)任意B>A>a，{fn(x)}在[A,B]上一致收斂于f(x)，即{fn(x)}在(a,+∞)上內(nèi)閉一致收斂于f(x)；

定理7和定理8常被使用的情形是控制收斂定理。

如果滿(mǎn)足條件：

(1)對(duì)任意a

定理10中的區(qū)間(a,b)可為有限區(qū)間，也可為無(wú)限區(qū)間。

如果滿(mǎn)足條件：

(1)對(duì)任意B>A>a，{fn(x)}在[A,B]上一致收斂于f(x)；

定理5～定理11雖然是以函數(shù)列的極限形式敘述的，但完全可以寫(xiě)出其它極限過(guò)程的相應(yīng)結(jié)論[3-4,8-9]。

定理7～定理11中條件的敘述方式，來(lái)源于文獻(xiàn)[4，6]中的啟發(fā)，現(xiàn)有文獻(xiàn)中是不曾給出明確表述的，這里給出了具體明確的表述方式。

3函數(shù)列廣義積分的極限定理的應(yīng)用舉例

于是

故

例1的結(jié)果在文獻(xiàn)[6,9]中是用原始的證法給出的，這里直接套用了函數(shù)列積分的極限定理的結(jié)果，方法上具有一般性。

例2的結(jié)果在文獻(xiàn)[6-9]中是用原始的證法給出的，并在歷史上多次作為考試題目。這里直接套用了函數(shù)列積分的控制收斂定理，給出了簡(jiǎn)便解決辦法。

記

對(duì)任意A>0，{fn(x)}在[0,A]上一致收斂于f(0)φ(x)，利用函數(shù)列廣義積分的控制收斂定理，得

例5設(shè)φ(x)在(-∞,+∞)上連續(xù)且有界，f(x,t)在(-∞,+∞)×[0,T]上連續(xù)且有界，令

證明由于

顯然右端的兩個(gè)積分是一致收斂的，且被積函數(shù)是連續(xù)的，應(yīng)用一致收斂的含參變量積分的連續(xù)性定理[1-5]或者函數(shù)列積分的控制收斂定理，可得

4結(jié)束語(yǔ)

本文給出的函數(shù)列積分的極限理論方法和解決問(wèn)題的過(guò)程，可以將文獻(xiàn)[1-9]中涉及的函數(shù)列積分的極限問(wèn)題，給予系統(tǒng)的一般化的簡(jiǎn)化處理，而不必每次按照原始方式重復(fù)給出[6-9]。新的理論結(jié)果方便于應(yīng)用，達(dá)到新的認(rèn)識(shí)高度，推進(jìn)了理論發(fā)展和完善。

[1] 菲赫金哥爾茨.微積分學(xué)教程(第二卷)[M].8版.北京:高等教育出版社,2006.

[2] 卓里奇.數(shù)學(xué)分析(第二卷)[M].4版.北京:高等教育出版社,2006.

[3] 裴禮文.數(shù)學(xué)分析中的典型問(wèn)題與方法[M].2版.北京:高等教育出版社,2009.

[4] 汪林.數(shù)學(xué)分析中的問(wèn)題研究和反例[M].北京:高等教育出版社,2015.

[5] 匡繼昌.Dirichlet積分九種解法的思路分析[J].高等數(shù)學(xué)研究,2012,15(4):61-64.

[6] 匡繼昌.實(shí)分析與泛函分析(續(xù)論)(上冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2015.

[7] 匡繼昌.實(shí)分析與泛函分析(續(xù)論)(下冊(cè))[M].北京:高等教育出版社,2015.

[8] 邢家省,楊小遠(yuǎn),白璐.兩無(wú)窮區(qū)間上積分交換次序充分條件的改進(jìn)及其應(yīng)用[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,29(1):87-92.

[9] 邢家省,楊小遠(yuǎn).廣義菲涅爾積分的積分交換次序計(jì)算方法[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,29(3):85-92.

[10] 邢家省,楊小遠(yuǎn),白璐.菲涅爾積分計(jì)算中的一致收斂性的證明方法[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,37(5):1-9.

[11] 邢家省,楊義川,王擁軍.菲涅爾積分的幾種計(jì)算方法[J].四川理工學(xué)院學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,29(5):88-96.

[12] 邢家省,楊義川，王擁軍.函數(shù)列的廣義積分的極限定理及其應(yīng)用[J].吉首大學(xué)學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2016,37(6):1-9.

[13] 許寧.Dirichlet積分及其應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2014,17(3):15-19.

[14] 許寧.級(jí)數(shù)求和的復(fù)分析方法[J].南京師大學(xué)報(bào):自然科學(xué)版,2014,37(4):20-27.

[15] 吳崇試.計(jì)算含三角函數(shù)無(wú)窮積分的新方法[J].大學(xué)物理,2011,30(2):53-57.

[16] 邢家省,張?jiān)刚?函數(shù)列的黎曼積分極限定理的應(yīng)用[J].高等數(shù)學(xué)研究,2010,13(6):50-53.

Limit Theorem and Application of Functional Sequence’s Riemann-integral

XINGJiasheng1,2,YANGYichuan1,2,WANGYongjun1,2

(1.School of Mathematics, Beihang University, Beijing 100191，China;2.LMIB of the Ministry of Education,Beihang University, Beijing 100191，China)

Considering the functional sequence’s limit problems of generalized integral and using the limit theorem of functional sequence, for the functional sequence with uniform sector and local uniform convergence, the limit theorem for the Riemann-integral functional sequence is given. For the generalized integral of functional sequence with uniform convergence, the limit theorem for the integral functional sequence is given. And the integral dominated convergence theorem is also given. By applying all the results into solving some problems, systematical and general theory methods are proposed.

limit theorem of functional sequences; generalized integral; uniform convergence; uniform convergence of generalized integral with parameter; generalized integral dominated convergence theorem

2017-02-16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11271040)；北京航空航天大學(xué)校級(jí)重大教改項(xiàng)目(201403)

邢家省(1964-)，男，河南泌陽(yáng)人，副教授，博士，主要從事偏微分方程、微分幾何方面的研究，(E-mail)xjsh@buaa.edu.cn; 楊義川(1970-)，男，甘肅天水人，教授，博士，主要從事邏輯代數(shù)、序代數(shù)、軟計(jì)算及其應(yīng)用方面的研究，(E-mail)ycyang@buaa.edu.cn

1673-1549(2017)03-0073-06

10.11863/j.suse.2017.03.15

O177.2

A