初中數(shù)學(xué)解題中數(shù)形結(jié)合思維的引入實(shí)踐微探

葉玉娣

（浙江省杭州市桐廬縣舊縣中心學(xué)校，浙江杭州 311500）

數(shù)學(xué)作為一門邏輯性要求較強(qiáng)的科目，對(duì)初中生而言是一項(xiàng)學(xué)習(xí)挑戰(zhàn)。數(shù)學(xué)課程作為數(shù)與形的結(jié)合，只有把握好數(shù)與形間的本質(zhì)，才能準(zhǔn)確解答出問題。數(shù)形結(jié)合思想作為初中生必須要具備一種解題思想，將其應(yīng)用至解題活動(dòng)中，有助于學(xué)生更好把握數(shù)學(xué)知識(shí)，依據(jù)知識(shí)間聯(lián)系構(gòu)建知識(shí)體系，從整體上提升解題能力。

1 在數(shù)與式中的應(yīng)用

為了使學(xué)生能夠理解數(shù)形結(jié)合思想的本質(zhì)，教師需要在課堂教學(xué)中以問題解析的方式，為學(xué)生重點(diǎn)講解此方法的應(yīng)用技巧。如，教師在教學(xué)有關(guān)正負(fù)數(shù)的知識(shí)時(shí)，事先畫出數(shù)軸，并邀請(qǐng)學(xué)生介紹數(shù)軸中對(duì)應(yīng)數(shù)字的具體含義，旨在加深學(xué)生對(duì)于數(shù)軸中各項(xiàng)數(shù)值的認(rèn)知。在學(xué)生掌握一定基礎(chǔ)后，為學(xué)生設(shè)計(jì)如下問題，鼓勵(lì)學(xué)生自主解答。

已知數(shù) a、b、c在數(shù)軸上的位置如圖所示，化簡(jiǎn)|a+b|-|c-b|的結(jié)果是 ______．

解析：先從數(shù)軸上a、b、c的位置關(guān)系可知：c＜a＜ 0；b＞ 0且 |b|＞ |a|，接著可得 a+b＞ 0，c-b＜ 0，然后即可化簡(jiǎn)|a+b|-|c-b|可得結(jié)果。

解：由數(shù)軸上點(diǎn)的位置可得：c＜ a＜ 0＜ b，且|a|＜ |b|，∴ a+b＞ 0，c-b＜ 0，則 |a+b|-|c-b|=a+b+cb=a+c.故答案為：a+c

2 在變化規(guī)律中的應(yīng)用

規(guī)律型問題的解題方法大多是借助觀察，對(duì)比特殊變量或位置，從中截取數(shù)據(jù)特征，將獲取的數(shù)據(jù)進(jìn)行分組比較。但是此種解題方式過于繁瑣，為了節(jié)省時(shí)間可以采取數(shù)形結(jié)合的方法，雖然圖形和數(shù)字的形式不同，但它們可以表示相同的規(guī)律，從而幫助學(xué)生更好把握知識(shí)間的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，從而建立知識(shí)間的數(shù)形聯(lián)系，不斷提高解決效率。

如：有一個(gè)四等分轉(zhuǎn)盤，在它的上、右、下、左的位置分別掛著“眾”、“志”、“成”、“城”四個(gè)字牌，如圖1．若將位于上下位置的兩個(gè)字牌對(duì)調(diào)，同時(shí)將位于左右位置的兩個(gè)字牌對(duì)調(diào)，再將轉(zhuǎn)盤順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，則完成一次變換．圖2，圖3分別表示第1次變換和第2次變換．按上述規(guī)則完成第9次變換后，“眾”字位于轉(zhuǎn)盤的位置是（ ）

A．上 B．下 C．左 D．右

解析：根據(jù)題意可知每一次變換后相當(dāng)于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了 90°，經(jīng)過 4次變換后會(huì)回到原始位置，所以按上述規(guī)則完成第 9次變換后，相當(dāng)于第一次變化后的位置關(guān)系，分析比較可得答案．

解：根據(jù)題意可知每一次變換后相當(dāng)于逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)了 90°，經(jīng)過 4次變換后會(huì)回到原始位置，所以按上述規(guī)則完成第 9次變換后，“眾”字位于轉(zhuǎn)盤的位置是應(yīng)該是第一次變換后的位置即在左邊， 比較可得C符合要求。

3 在二次函數(shù)與不等式組中的應(yīng)用

在解答此類問題時(shí)，依據(jù)數(shù)學(xué)題干中給出的條件，判斷問題最終求的是什么。以求解不等式或不等式組解集這類問題為例，需要事先確定題干中字母的取值范圍。雖然此種方式的理解難度比較大，但是若是能尋找到技巧，分析多個(gè)條件，將會(huì)獲取事半功倍的效果。

方程 7x2-（k+13）x+k2-k-2=0（k是實(shí)數(shù)）有兩個(gè)實(shí)根α、β，且0＜α＜1，1＜β＜2，那么k的取值范圍是（ ）

A．3＜k＜4

B. -2＜ k＜ -1

C．3＜ k＜ 4或 -2＜ k＜ -1

D．無解

分析：若用數(shù)形結(jié)合的方法，先畫出拋物線 y=7x2-（k+13）x+k2-k-2的草圖，

易知當(dāng) x=0時(shí)，y＞ 0 ，k2-k-2＞0，所以k＞2或＜-1；當(dāng)x=1時(shí)，y＜0，k2-2k-8＜0，所以-2＜k＜4

當(dāng)x=2時(shí)，y＞0,k2-3k＞0，所以k＞3或k＜0

解不等式組可得k的取值范圍是3＜k＜4或-2＜k＜ -1， 故選 C．

4 在函數(shù)中的應(yīng)用

函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)的一大難點(diǎn)，也是最令學(xué)生感到棘手的知識(shí)?；诖饲闆r，教師在解題教學(xué)中需要引導(dǎo)學(xué)生巧用數(shù)形結(jié)合思想，將數(shù)量關(guān)系借于圖形及其性質(zhì)，使其直觀化，形象化，從而使問題得以解決。

二次函數(shù) y=ax2+bx+c的圖象的頂點(diǎn)在第三象限 ,且不經(jīng)過第四象限,則此拋物線開口向_______ ，c的取值范圍______ ，b的取值范圍______ ，b2-4ac的取值范圍______。

解：由題意畫出圖象，如圖：

從而判斷：a＞0, c≥0

∴對(duì)稱軸：x=-＜0

∴b＞0

圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)：

∴ ＞ 0 即 b2-4ac＞ 0

5 在函數(shù)圖形中的應(yīng)用

由于學(xué)生對(duì)函數(shù)圖像特征缺少深入的了解，導(dǎo)致在解題過程中很難準(zhǔn)確把握解析式，兩者轉(zhuǎn)換非常困難，解題效果無法達(dá)到預(yù)期效果?；诖藛栴}，教師需要引導(dǎo)學(xué)生深度研究其本質(zhì)，在解題過程中巧用數(shù)形結(jié)合思想，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，展開針對(duì)性的訓(xùn)練，從而幫助學(xué)生更快理解并掌握其知識(shí)。

某公司推銷一種產(chǎn)品 ,設(shè) x(件 )是推銷產(chǎn)品的數(shù)量 ,y(元 )是推銷費(fèi) ,如圖表示了公司每月付給推銷員推銷費(fèi)的兩種方案 ,看圖解答下列問題 : 求y1與y2的函數(shù)解析式；解釋圖中表示的兩種方案是如何付推銷費(fèi)的；如果你是推銷員,應(yīng)如何選擇付費(fèi)方案.

本題主要考察了用待定系數(shù)法求一次函數(shù)這一內(nèi)容，在解答此題時(shí)可以采取數(shù)形結(jié)合思想，能夠使解題過程變得更加簡(jiǎn)單。在解答第一問時(shí)，由圖已知兩點(diǎn)，可根據(jù)待定系數(shù)法列方程，求出函數(shù)關(guān)系式；在解答第二問時(shí)，根據(jù)兩條直線的截距和斜率，可解釋兩種方案的推銷費(fèi)用；在解答第三問時(shí)，由圖可看出兩直線的交點(diǎn)為 30，當(dāng)x＞30時(shí)，y1可獲得較多的推銷費(fèi)用，當(dāng)x=30時(shí)，兩種方案獲得的推銷費(fèi)用一樣；當(dāng)x＜30時(shí)，y2可獲得較多的推銷費(fèi)用。

綜上所述，數(shù)形結(jié)合思想的引用為提升學(xué)生學(xué)習(xí)能力帶來諸多幫助，借助數(shù)與形間的轉(zhuǎn)換，全面解讀數(shù)學(xué)問題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維，進(jìn)一步提升了學(xué)習(xí)成績(jī)。因此，教師需要提高對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的重視，開展多種類型的解題訓(xùn)練活動(dòng)，以此不斷提升學(xué)生的解題能力。

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