具有時滯的SIR計算機病毒模型的穩定性分析

雷學紅　許云霞

【摘 要】研究了一類具有非線性發生率的時滯SIR傳染病模型. 確定了決定計算機病毒消失或繼續存在的基本再生數， 通過分析系統對應的特征方程，得到無病平衡點與地方平衡點的局部穩定性。通過構造適當的Lyapunov函數，利用LaSalle不變原理，證明當基本再生數小于1時，無病平衡點是全局漸近穩定的； 最后，通過MATLAB進行數值模擬驗證了所得理論分析結果的正確性。

【關鍵詞】時滯； 傳染病模型；全局穩定性； Lyapunov函數；基本再生數

Stability Analysis of a Delayed SIR Computer Virus Model

LEI Xue-hong XU Yun-xia

（Department of mathematical science， Kaili College， Kaili Guizhou 556011，China）

【Abstract】In this paper， A delayed SIR epidemic model with nonlinear incidence rate is investigated. the basic reproduction number is determining whether the disease dies is found， and the existence of the model is discussed. By analyzing the corresponding characteristic equation.the local stability of a disease-free equilibrium and endemic equilibrium are discussed. According to the suitable Lyapunov function and LaSalle invariance principle， it is proved that the disease-free equilibrium is globally asymptotically stable as the basic reproduction number for viral infection is less than unity， Finally，the theoretical results obtained are verified by numerical simulations for the numerical model with a specific incidence by MATLAB.

【Key words】Time delay； Epidemic model； Global stability； Lyapunov Function；Basic Reproduction Number

0 引言

在過去的幾十年里，互聯網的迅速普及。然而，隨著計算機迅速普及也極大提高了計算機病毒的傳播能力。由于計算機病毒具有極大的破壞性、不可預測性，多態性等特點， 早已成為現代信息社會的重要威脅之一。隨著計算機與通信技術的快速發展，計算機病毒程序也變得越來越復雜，人們開始運用傳染病動力學中倉室模型來了解計算機病毒傳播的一般規律，并得到了大量的研究成果[1-2]。最典型的倉室模型是Kephart借鑒經典的傳染病SIS模型建立了最早的計算機病毒傳播倉室模型，宣告計算機病毒傳播動力學的誕生。SIS模型則用來描述計算機康復后不具有免疫力再次被病毒感染的情況。大量的臨床研究發現，由于個體的免疫系統完善水平不同，對于相同的病毒，并不是每個個體感染后都能產生抵抗被該病毒再次感染的免疫力。因此 ，更合理的發生率應該是非線性的。隨著研究的不斷深入，人們開始引入不同的非線性傳染率；如帶有非線性傳染率為βSqI的SIS傳染病毒模型；帶有非線性傳染率的的SIR或SIRS模型，帶有非線性傳染病毒βI（1+αIk-1）S的SIR模型，帶有非線性傳染率的的SEIV模型，帶有非線性傳染病毒的模型和帶有非線性傳染率的SIR模型；本文研究如下

S'（t）=？撰--μSI'（t）=-（μ+r+ε）IR'（t）=rI-μR（1）

其中S（t），I（t），R（t）分別表示在t時刻因特網中易感節點、感染節點，免疫節點所占的比例。設？撰表示單位時間內新增加易感節點的數量，μ表示因故障等引起的宕機率，β表示平均有效接觸率，ε表示因病毒感染病引起的宕機率，r表示為感染節點到免疫節點的恢復系數。τ為時滯，即表示病毒的潛伏期，0

系統（1）滿足初始條件：

S（θ）=φ1（θ）；I（θ）=φ2（θ）；R（θ）=φ3（θ），φi（θ）≥0；θ∈[-τ，0]；（i=1，2，3）（2）

其中（φ1（θ），φ2（θ），φ3（θ））∈C（[-τ，0]，R3）， R3+={（x1，x2，x3）：xi≥0}。

引理1設（S（t），I（t），R（t））是系統（1）滿足初值條件（2）的解，對任意的t≥0時，都有（S（t）≥0，I（t）≥0，R（）≥0）。

令Ω={（S，I，R）：S≥0，I≥0，R≥0，S+I+R≤？撰}，則Ω是系統（1）的正向不變集。

1 平衡點的局部穩定性分析

顯然，系統（1）總存在未感染平衡點P0（，0，0），若β？撰e-δτ>μ（μ+r+ε）時，還有一個病毒平衡點P*（S*，I*，R*）.I*=；S*=；R*=.

令R0=為系統（1）的基本再生數。

在本節，通過討論系統（1）對應的特征方程來討論平衡點的局部漸近穩定性。

定理1：當R0<1時，系統（1）的無病平衡點P0（，0，0）是局部漸近穩定的；當R0>1時，系統（1）的無病平衡點P0是不穩定的。

證明：系統（1）的無病平衡點P0的線性特征方程為（λ+μ）2（λ-βe-（δ+λ）+μ+r+ε）=0（3）

λ1=λ2=-μ，

λ3β？撰e-（δ+λ）τ-（μ+r+ε），

令方程f（λ）=λ-β？撰e-（δ+λ）τ+（μ+r+ε）（4）

由文獻[5]定理1當R0<1時，系統（1）在P0處是局部漸近穩定的。

若R0>1時，

f（0）=-e-δτ+（μ+r+ε）<0，而f（+∞）=+∞.

f（λ）在（0，+∞）上至少存在一個正實部。故當R0>1時，系統（1）不穩定的。

當R0>1時，系統（1）在病毒平衡點P*處的特征方程為

λ3+a1λ2+a2λ+a3+（b1λ2+b2λ+b3）e-λτ=0（5）

其中：a1=3μ+ε+γ+；

b1=-

a2=3μ2+2με+2μγ+（2μ+ε+γ）

b2=-

a3=μ（μ+ε+γ）（μ+）；

b3=-；

當τ=0時，有λ3+c1λ2+c2λ+c3=0.（6）

c1=（3μ+ε+γ）αI*+，

c2=

c3=I*；

此時有c1>0，c2>0，c3>0，

容易計算c1c2-c3>0.

因此，由Routh-Hurwitz判斷定理可知，平衡點P*局部漸近穩定性的。

當τ>0時，設λ=iω（ω>0）是方程（4）的一個根，分離實部與虛部，得

b2ωcos（ωτ）+（b1ω2-b3）sin（ωτ）=ω3-a2ω（b3-b1ω2）cos（ωτ）+b2ωsin（ωτ）=a1ω2-a3（7）

（7）式兩個平方和，得ω6+r1ω4+r2ω2+r3=0

其中：r1=a21-2a2-b21；

r2=a22-2a1a3+2b1b3-b22；r3=a23-b23；

令z=ω2，Δ=r21-3r2，

g（z）=z3+r1z2+r2z+r3（8）

定理2 若R0>1成立；

（1）當τ=0時；

（2）當τ>0時，r3>0且Δ≤0；

（3）當τ>0時，r3<0；

則系統（1）在病毒平衡點P*是局部漸近穩定的。

證明方法見文獻[6]。

2 平衡點的全局穩定性

在這一節中，主要通過構造Lyapunov函數， 利用Lyapunov-Lasalle不變集原理證明

系統（1）平衡點的全局平衡性。

定理3 若R0<1，則無病平衡點P0（，0，0）是全局漸近穩定的。

證明：設（S，I，R）是系統（1）滿足初始條件（2）的任意正解。

令V（t）=（S-S0-S0ln）+eδτI+dθ

V'（t）=（1-）（？撰--μS）-eδτ（μ+r+ε）I+

=（？撰-μS）（1-）+eδτ（μ+r+ε）I（-1）

≤（？撰-μS）（1-）+eδτ（μ+r+ε）I（R0-1）

≤μ（-μS）（1-）+eδτ（μ+r+ε）I（R0-1）

≤0

即：V't≤0，由LaSalle不變原理可知，當R0<1時，平衡點P0是全局漸近穩定的，定理得證。

3 數值分析

為了驗證上述理論分析的結果，本節給出一個仿真示例，系統（1）選取參數r=0.15；δ=0.45；ε=0.6；β=0.2；

α=0.15；？撰=10，μ=0.2此時R0=0.2876。當時滯τ=0時。系統（1）變成常規的傳染病模型。此時系統S、I、R都瞬間上升，然后、隨著時間達到平衡位置如圖1。

當τ=0，R0<1時S，I，R的運動趨勢

當時滯τ=8時，病毒有病毒引起的宕機率ε大于因故障而引起的宕機率μ。易感節點經過潛伏期仍然然存活的數量e-δτ=0.0273，滿足要求。此時，易感病毒S數量急劇上升達到某個一個平衡位置，而I，R任然平衡在0點上，R0<1無病平衡點是全部漸近穩定的。

當R0<1，τ=8時S，I，R的運動趨勢

4 結束語

本文主要研究的是一類具有非線性發生率和時滯的SIR計算機病毒模型，通過分析模型的基本再生數。通過Hurwitz判斷定理可知，分析了R0<1，R0>1時解是局部漸近的。通過構造Lyapunov函數，利用LaSalle不變原理，證明當R0<1時，無病平衡點不僅局部穩定的，且是全局漸近穩定的。當R0>1時，得到了地方平衡點穩定的充分條件。最后，選取適當的數值，通過MATLAB進行數值模擬，進一步驗證了所得的主要結果。

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[責任編輯：朱麗娜]