常見螺旋線的曲率和撓率

唐楠　許峰

【摘 要】螺旋結構的廣泛使用使得對于螺旋線幾何特征的精確描述具有重要的理論意義。常見的螺旋線主要由圓柱螺旋線、圓錐螺旋線等。為了更好地描述螺旋的幾何特征，本文利用Frenet標架，建立了以弧長為參數的螺旋線方程，精確地對幾類常見螺旋線的曲率、撓率進行了描述。

【關鍵詞】螺旋；曲率；撓率；Frenet標架

0 引言

螺旋結構[1]不僅是機械設備中常用的構件，而且在農業生物工程上也有著廣泛的應用。如糧倉使用的螺旋式輸送器，生產配合飼料所用的螺旋式配料器.加工膨化食品的螺旋式膨化機以及螺旋式桑苗制缽機等，為了更好的利用螺旋結構，首先需要了解螺旋線的幾何特征。螺旋線[2]是一種常見的空間曲線。若沿著螺旋中心線方向截面保持不變，則可將螺旋線擴展為螺旋結構。彈簧是最為常見的螺旋結構。傳統彈簧采用恒定直徑的圓截面，且截面與旋轉軸并不共面。當截面半徑尺寸遠小于螺旋半徑時，得到的一階螺旋桿近似可以看成圓桿。

1 螺旋線的幾何建模

螺旋運動是由直線運動和圓周運動合成的，下面介紹最常用的圓柱螺旋線。如圖1所示，當空間一動點P從P0（a，0，0）處出發，在圓柱面x2+y2=a2上以等角速度？棕繞Z軸旋轉。同時又以等線速度v沿平行于Z軸正向上升，點P的軌跡即為螺旋線。由螺旋線的形成過程可知，其參數方程為x=acos？棕t，y=asin？棕t，z=vt若記？茲=？棕t，則螺旋線參數方程可化為x=acos？茲，y=asin？茲，z=vt。式中，參數表達式均為二階連續可微函數。

螺旋中心上任一點的位移矢量可表示為：R（s）=x（s）i+y（s）j+z（s）k，s為沿著螺旋中心線的弧長，則螺旋線可表示為：x（s）=Rcoss，y（s）=Rsins，z=±式中，L為螺距，l為螺旋桿一個螺距內對應的弧長，R為螺旋半徑，正負號的選擇與捻制方式有關，規定右螺旋線為正。其中螺旋線的螺旋角？茁=arctan曲率和撓率分別為：

為了使數學模型能比較準確地反映其幾何特征，必須選擇相應的任意坐標系。以（N，B，T）建立如圖2的Frenet標架[3]，彼此正交的單位切向量T，法向量N，副法向量B分別定義為：

由伏雷內公式，

其中？資為螺旋桿中心線的曲率，為螺旋桿中心線的撓率。利用公式進行計算，可知圓柱螺旋線的曲率和撓率均為常數。

2 常見螺旋線的曲率與撓率

由微分幾何可知， 曲率與撓率之比為常數的曲線為一般螺旋線。常見的螺旋線還有圓錐螺旋線，如圖3所示。圓錐螺旋線[4]的參數方程可表示為x=aetcost，y=aetsint，z=bet。通過上述的計算可得，圓錐螺旋線的曲率和撓率分別

【參考文獻】

[1]鐘世金，莫江濤，王靜文，等.基于ANSYS的螺旋結構參數化建模[J].有色設備， 2005（1）：9-11.

[2]ManfredoP.doCarmo， Carmo，田疇.曲線與曲面的微分幾何[M].機械工業出版社，2005.

[3]包圖雅，張陸.曲線上的Frenet標架[J].湖北民族學院學報（自科版），2015，33（3）：245-246.

[4]夏鼎立.等傾角變螺距圓錐螺旋線的幾何特性及其作圖方法研究[J].合肥工業大學學報：自然科學版，1992（4）：138-144.

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