關于一道多元抽象復合函數求導法的教學探究

陸生琪

【摘 要】本文針對一道多元抽象復合函數的求導過程中易出現的錯誤解法進行分析，采用鏈式求導法，隱函數方程求導法，利用全微分形式的不變性求微分法對該題進行了研究。

【關鍵詞】多元抽象函數；隱函數；微分；求導

多元抽象復合函數的求導是高等數學教學中的一個重點和難點。和一元函數相比，多元抽象復合函數由于中間變量和自變量多數情況下不止一個，往往采用鏈式法則求導。求導過程中需要注意各個變量之間的依賴關系及函數結構，其關鍵在于分清函數自變量、中間變量之間的關系。而當多元抽象復合函數遇上隱函數時，學生在做題時就更加覺得困難且容易出錯。本文針對高等數學教材上的一道習題采用三種不同的解法，從而有效的引導學生對多元抽象復合函數求導更好的理解。

例：設y=f（x，t），而t=t（x，y）是由方程F（x，y，t）=0所確定的函數，其中f，F都具有一階連續偏導數，求。

這是高等數學中的一道習題，學生在做此題時經常會出現如下共性的錯誤：

[錯解]由y=f（x，t），得到

又由F（x，y，t）=0，則有，于是

錯因分析：由題設我們知道t=t（x，y）是由方程F（x，y，t）=0所確定的x，y的函數，將其代入到y=f（x，t）中，則有y=f[x，t（x，y）]由這一方程又可以確定y是自變量x的一元函數y=y（x），于是t=t（x，y）=t[x，y（x）]，這說明t可以看作是以x，y為中間變量，以x為自變量的一元函數，上式錯解中的等式是不成立的，應為，從中可以解出。本題學生給出的錯解究其原因是沒有仔細分清x，y，t三個變量之間的關系，三個變量是你中有我，我中有你，只有厘清他們的關系，才能給出正確解答。在教學的過程中，我們可以通過不同的角度方法來分析解決此類多元抽象函數的求導。下面我們從三個角度給出此題的正確解法。

[正確解答]方法1 首先分析變量間的函數關系，把t看作是由方程F（x，y，t）=0所確定的二元函數t=t（x，y），則有：

將t=t（x，y），代入函數y=f（x，t），得y=f[x，t（x，y）]，兩端同時對x求導得：

從中得到：

前面的錯解就是試圖用這種方法求解，但對函數y=f（x，t）=f[x，t（x，y）]的結構沒有弄清楚而造成的。

方法2 由題可知，所給問題中有兩個方程、三個變量，則一般情況下由此方程組可以確定兩個一元函數，可將其中一個變量選作自變量，而另外兩個變量是它的函數。此題要求的是，于是自變量就已經選定了x，則y，t都是x的一元函數。

由方程組F（x，y，t）=0，y=f（x，t），確定兩個一元函數y=y（x），t=t（x）將所給的兩個方的兩端對x求導，有：

解上面關于、的方程組可得：

方法3 利用全微分形式的不變性對兩方程求微分有：

即

解上面的關于dy、dt的方程組，由克萊姆法則可得：

即有：

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系編.高等數學[M].下冊.北京：高等教育出版社，2013，4：89-90.

[2]薛志純.高等數學輔導[M].北京：科學技術文獻出版社，2001.9，214-215.

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