復雜非金屬減震結構的建模與等效研究

宋 勇，靖建全

(1. 中國船舶重工集團公司第七一三研究所，河南 鄭州 450015；2. 北京理工大學 宇航學院，北京 100081)

復雜非金屬減震結構的建模與等效研究

宋 勇1，靖建全2

(1. 中國船舶重工集團公司第七一三研究所，河南 鄭州 450015；2. 北京理工大學 宇航學院，北京 100081)

針對減震系統中復雜非金屬減震結構數值分析和等效處理的需求，利用有限元方法對預彎柱體非金屬減震器進行建模和分析，獲得了與實驗測試吻合良好的計算結果。在此基礎上，提出一種利用實物實驗或數值實驗數據等效復雜非金屬減震結構的等效模型處理方法。該方法利用三維實體結構等效復雜非金屬減震器外形和連接關系，以實際減震器的單軸壓縮實驗和應力松弛實驗數據獲得等效模型的超彈和粘彈材料參數。實例分析表明，基于三維實體結構的等效模型能夠有效表征實際減震器在復雜減震系統中的連接關系，并在主工作方向上有效模擬實際減震結構的力學響應特性。

減震器；超彈性；粘彈性；等效模型

0 引 言

非金屬材料如橡膠、聚氨酯發泡材料等制備的減震器由于具有獨特的材料屬性，以及易加工成型的工藝特點使得其在導彈發射裝置減震系統以及其他減震環節中得到了廣泛應用。為滿足復雜振動環境下的減震要求，這類減震器往往具有復雜的結構特征，其力學性能的研究、模擬和等效一直是國內外研究人員關注的重要內容[1 – 4]。

近年來，張強等[5]為模擬某導彈發射裝置減震系統的減震性能，將減震結構簡化為非線性彈性單元，研究了彈體遭受沖擊后的加速度響應情況，結果表明由外筒、筒間減震塊、內筒、適配器組成的兩級減震系統具有良好的減震效果，能大幅衰減傳遞到彈體上的沖擊。王平等[6]為提高機載光電吊艙的成像質量和穩定精度，設計了2種能限制一定自由度的小型金屬橡膠減振器并將其分別嵌入光電吊艙內、外框架減振系統中，并對其減震性能進行了實驗和計算分析仿真結果表明光電吊艙兩級減振系統對25Hz以上的角振動有很好的減振效果；Mattias[7]在考慮橡膠減震器的頻率與振幅相關特性的基礎上，提出了橡膠減震器的一維等效模型，并對其等效效果進行了試驗驗證；和法家等[8]以研究某飛機發動機橡膠減振器為研究對象，對其進行了一系列實驗，得到了振動頻率、激勵振幅、預載荷與橡膠減震器動剛度的主要關系。可以看出，在復雜減震系統中，有效表征和模擬減震器結構的力學性能、并采用合適的方式進行等效和簡化，是進行復雜減震系統分析的關鍵內容之一。

本文針對復雜減震系統中的非金屬減震器結構，利用有限元方法建立其計算分析模型，獲得了與實驗測試吻合良好的計算結果。在此基礎上，提出利用三維實體結構建立等效模型，并通過實物實驗或數值實驗方法獲得等效材料參數的復雜非金屬減震結構簡化建模方法，為包含大量非金屬減震結構的復雜減震系統三維建模和分析提供基礎。實例分析表明，文中提出的等效處理方法模型簡單、參數明確，在減震器的工作方向上與實際結構的力學性能吻合良好。

1 復雜非金屬減震器有限元建模分析

1.1 有限元模型

復雜非金屬減震器的結構形式多種多樣，本文以預彎柱體減震器為對象，對其有限元建模分析過程和等效處理方法進行介紹。為便于對照，選取與文獻[9]中相同的預彎柱體減振器結構，如圖1（a）所示。減震器的外形尺寸為L=105 mm，H=52 mm，W=105 mm，h=32 mm，b=7.5 mm，β=73°，材料為澆注型聚氨酯彈性體。

根據預彎柱體減震器的結構尺寸建立如圖1（b）所示的三維有限元模型，在模型上表面施加0～20 mm的位移載荷，在下表面施加固定約束，在圖示B處施加對稱面約束，在減震器壓縮的過程中，1，2，3，4，5，6處會出現接觸，因此在這些位置施加對稱接觸進行處理。接觸類型為點面接觸，接觸過程中不考慮摩擦。考慮到施加的變形尺寸相對原始尺寸較大，在有限元求解計算中采用了大變形模型。

針對聚氨酯材料的超彈特性，這里選用不可壓縮的九參數Mooney-Rivlin本構模型對材料屬性進行表征，其具體形式為：

式中：I1和I2分別為第一和第二Cauchy-Green應變不變量；cij為與材料相關的參數，其中c10，c01，c20，c30分別為為2 200 000，300 000，–700 000，450 000，其余為0，單位為Pa。

1.2 有限元分析結果

利用商用有限元軟件Ansys對上述預彎柱體減震器有限元模型進行求解計算，獲得隨加載位移變化的減震器響應狀態。圖2給出了加載位移分別為5 mm，20 mm時的結構變形和應力分布。可以看出，在位移載荷為5 mm的情況下，減震器的響應主要為中間柱體的彎曲變形，并在1，2，3，4位置處出現了局部接觸狀態，而5，6位置處未出現接觸，此時減震器的剛度特性主要與減震器中間柱體的抗彎能力有關，應力最大值出現在接觸的位置。在位移載荷為20 mm的情況下，中間柱體產生了較大的彎曲變形，1，2，3，4，5，6處均出現了大面積接觸，且應力最大值出現在中間柱體的彎曲拉伸部分，此時減震器的剛度特性不僅與聚氨酯材料的特性有關，還與減震器中間柱體的變形以及大面積接觸有關。

圖3給出了計算獲得的減震器在位移載荷作用下的變形-受力曲線。圖中F為有限元模型下表面節點支反力之和，DISP為減震器在高度方向上的變形量，在很大程度下，該曲線反映了減震器在載荷作用下的剛度特性。從圖中可看出，在壓縮量較小時（小于8 mm），減震器承受的作用力隨壓縮量增加而快速增加；壓縮量在8～18 mm這一范圍內，減震器承受的作用力隨壓縮量的變化較為緩慢。如前所述，這一階段減震器中間柱體發生彎曲變形，其整體剛度特性降低。在壓縮量超過18 mm后，減震器中間柱體彎曲后產生大面積接觸，使其剛度特性快速增加。從這一過程可以看出，對于復雜非金屬減震器，其整體剛度特性不但與材料屬性有關，也與其內部結構以及工作狀態有關，呈現出復雜的非線性狀態。在包含多個以至幾十個類似復雜減震器的減震系統中，采用完整的減震器結構進行減震性能分析在計算量上存在較大的困難，為此尋求合理的減震器等效模型，并準確反映其在工作方向上的剛度特性，是進行復雜系統分析的關鍵。

從圖3中還可以看出，在整個壓縮過程中，計算結果與文獻給出的實驗數據吻合良好。在壓縮量小于18 mm的范圍內，結果誤差小于5%；在壓縮量大于18 mm后，受減震器內部結構產生大面積接觸影響，剛度特性快速增加，計算與實驗結果間的誤差也有所增加，但變化趨勢相同。由于數值計算與實物試驗具有較好的一致性，因此在本文的研究中，主要采用數值試驗的方法獲取結構的響應參數，并以此進行等效過程的實例分析。

2 復雜非金屬減震器等效方法

2.1 等效原理

在多數情況下，尤其在本文涉及的導彈減震系統中，減震器工作狀態通常為壓縮變形和吸能，因此在減震器工作時，可將其靜態剛度特性考慮為具有超彈本構特性的實心結構在單軸壓縮時的響應過程。對于不可壓縮的超彈性材料在單軸壓縮下的主應力與應變能函數的存在如下關系[10]：

式中：pe為靜水壓力；F為應變梯度張量； B為左Cauchy-Green變形張量；W為應變能函數；I1，I2為B的第一，第二基本不變量；σ11，σ22，σ33為真實應力；λ為單軸壓縮方向的拉伸率。

將σ11-λ的關系轉化為工程應力應變的關系式為：

可以看出，σ11-λ的關系、ε的關系可由材料的應變能函數W確定，通過合理設置應變能函數的系數便可得到需要的應力應變關系。在等效過程中，只要選擇合適的應變能函數W并通過由復雜非金屬減震結構的單軸壓縮實物實驗或數值實驗獲得的工程應力應變關系確定其相應的系數，就能得到與實際結構相一致的力-位移關系，從而實現實心結構對復雜非金屬減震器靜態剛度特性的等效。

復雜非金屬減震器除具有靜態剛度非線性外，通常還具有與應變率相關的剛度特性，通常通過prony級數[11]定義材料的粘彈特性，無量綱后的應力松弛模量可表示為：

通過復雜非金屬減震器的應力松弛實驗，可獲得時變工程應力數據。在等效模型中，通過參數擬合，可確定其粘彈性材料的待定參數ei和li值。

2.2 等效方法

在包含多個復雜結構減震器的減震系統中，在考慮減震性能時主要考察其整體在沖擊響應過程中的力-位移曲線，而不關心復雜結構減震器內部所發生的變化。因此在對復雜結構減震器進行等效時，主要保證等效的減震器在工作方向上的響應特性與復雜結構減震器整體在沖擊響應過程中的力-位移曲線相一致即可。在等效過程中，采用如下假設和方法：

1）等效模型為三維實心均勻材料結構，材料各向同性；

2）利用超彈性材料參數表征由實際結構材料以及結構變形、接觸等因素引起的位移-載荷非線性變化過程；

3）利用prony級數形式的粘彈性材料參數表征實際結構應變率相關的剛度特性。

具體模型等效的思路和處理過程如圖4所示。

為了使等效模型最大程度地真實反映減震器在工作過程中所起的作用，等效模型的外形尺寸應與減震器盡可能一致。在應用過程中，可取等效模型在工作方向上的高度與減震器相同；在支撐平面上取面積與實際減震器支撐平面面積相同，并參考實際減震器外廓形式設置支撐平面形狀。

在通過單軸壓縮實驗獲得實際減震器的力-位移響應后，可通過如下公式直接計算其工程應力和工程應變：

式中：σc為復雜結構減震器壓縮過程中的虛擬工程應力；N為復雜結構減震器的下表面支反力的和；A為等效實心結構支撐面的面積；εc為復雜結構減震器壓縮過程中的虛擬工程應變；?L為復雜結構減震器的壓縮位移；L為復雜結構減震器的高度。

在實際應用中，為通過實驗數據獲得超彈性材料的本構模型，通常需要將單軸壓縮數據轉變為等雙軸拉伸數據，二者在理論上存在如下關系[12]：

式中：εb為等雙軸拉伸工程應變；εc單軸壓縮工程應變；σb為等雙軸拉伸工程應力；σc為單軸壓縮工程應力。

利用等雙軸拉伸實驗數據，可通過參數擬合方式獲得常見超彈性材料本構模型如多項式模型、Mooney-Rivlin模型的待定參數，即獲得等效模型的超彈性材料本構參數。對于反應率相關屬性的粘彈性模型，同樣可通過由實驗獲得的時變應力數據擬合出prony級數表征的粘彈性材料參數。

3 減震器的等效實例與分析

3.1 非線性彈性等效實例

在有限元建模分析中參考的減震器結構在工作過程中主要表現為非線性彈性特征。為建立其等效模型，選擇其等效模型與實際減震器具有同樣的外廓尺寸，如圖5所示；設置反映非線性彈性屬性的本構模型為5參數的Mooney-Rivlin本構模型。

利用圖3所示的數值實驗數據，通過工程應力和工程應變計算、單軸壓縮和雙軸拉伸應力應變轉換以及參數擬合，可獲得5參數Mooney-Rivlin超彈性本構模型的系數如表1所示。

為校驗等效模型，同樣利用有限元方法建立其計算模型，在其下表面施加固定約束，在其上表面施加0～20 mm位移載荷，獲得力-位移曲線如圖6所示。從圖中可看出，等效模型在壓縮過程中的力-位移曲線與實際減震器在壓縮過程中的力-位移曲線吻合良好。實際減震器在壓縮過程中的力-位移曲線的平臺效應主要是由其內部的復雜結構引起；等效模型沒有復雜內部結構，但通過等效后的超彈性材料屬性，使其力-位移曲線仍然有平臺效應，且與復雜結構減震器的力-位移曲線相一致，說明等效實心結構與復雜結構減震器具有相同的靜態剛度特性。

3.2 率相關粘彈屬性的等效實例

以前述復雜非金屬減震器為例，為考慮相關粘彈特性及其等效過程，假定該減震器材料具有粘彈屬性，并可通過2參數prony模型進行表示，模型參數[13]設置為a1=0.333 33，t1=0.4，a2=0.333 33，t2=0.2。同樣選擇其等效模型與實際減震器具有相同的外廓尺寸，并利用2參數prony模型表示其率相關的等效粘彈屬性。通過對復雜非金屬減震器施加20 mm的常位移載荷進行數值實驗并進行轉換，獲得工程應力隨時間變化曲線如圖7所示。利用參數擬合，獲得prony模型參數與假定的減震器粘彈性材料參數相同，表明該減震器在結構上的阻尼特性并不顯著，其率相關特性主要體現為材料的粘彈特性。

為校驗同時具有非線性彈性和率相關粘彈特性的減震器等效模型，利用有限元計算模型，在等效模型下表面施加位移約束，上表面施加的正弦位移載荷為：

表1 等效材料參數表Tab.1 Material parameters for the equivalent

經過4個載荷周期計算，獲得等效模型計算穩定后的力-位移曲線如圖8所示。可以看出在加、卸載過程中，力-位移曲線經歷了不同的過程，呈現出典型的回滯環結構，反映了結構的率相關粘彈特征；在每次獨立的加載和卸載過程中，力-位移曲線均出現具有平臺效應的非線性彈性狀態。值得注意的是，在最大位移20 mm處，由于粘彈性特性的應力松弛效應，同時具有超彈性與粘彈性特性的等效模型的支反力要比只有超彈性材料屬性等效結構的支反力小；在位移為0時，由于粘彈性特性的阻尼效應，同時具有超彈性與粘彈性性的等效模型支反力為負值。

4 結 語

本文針對復雜非金屬減震器結構，利用有限元模型進行了計算分析，獲得了與實驗結果吻合良好的計算數據，表明基于有限元模型的數值實驗能夠較好的反映非金屬減震器的工作過程。

針對復雜大型減震系統簡化建模和分析的需求，提出一種利用材料屬性等效復雜非金屬減震器非線性響應特性的等效建模方法。實例分析表明，等效模型在減震器的主要工作方向上能夠有效反映實際減震器結構的非線性彈性和率相關粘彈特性，并能施加減震結構的三維連接和約束關系，能夠為復雜減震系統的三維建模和分析提供借鑒和參考。

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Research on the equivalence and modelling of the nonmetallic isolator with complicate structure

SONG Yong1, JING Jian-quan2
(1. The 713 Research Institute of CSIC, Zhengzhou 450015, China; 2. School of Aerospace Eengineering, Beijing Institute of Technology, Beijing 100081, China)

In view of the requirement of numerical analysis and the equivalence for the nonmentallic isolator with complicate structure, The force-displacement relationship of compression was analyzed based on the 3dfinite element model with complicate structure, which show good agreement with the experiment result. A equivalent method based on the practicality experiment or numerical experiment was presented to reduce the modeling difficulty. The general shape and the connectivity of 3d equivalent structure is same with actual structure. The material parameter of the equivalent structure is determined according the stress relaxation test and the uniaxial compression experiment. Example analysis shows that the equivalent model can model the mechanical property and connectivity of the complicate structure in work direction.

isolator；hyperelastic；viscoelastic；equivalent model

TP535

A

1672 – 7619(2017)06 – 0088 – 06

10.3404/j.issn.1672 – 7619.2017.06.018

2017 – 04 – 10

宋勇(1985 – )，男，工程師，主要從事水下發射技術研究工作。