Delta機器人綜合位置誤差研究及其耦合特性分析

鄭坤明， 張秋菊

(1.江南大學機械工程學院 無錫，214122) (2.江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室 無錫，214122)

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Delta機器人綜合位置誤差研究及其耦合特性分析

鄭坤明1,2， 張秋菊1,2

(1.江南大學機械工程學院 無錫，214122) (2.江蘇省食品先進制造裝備技術重點實驗室 無錫，214122)

以Delta機器人為分析對象，研究了動平臺的位置誤差模型，并對誤差源的耦合特性進行了分析。首先，利用從動臂的位置特性，依據幾何空間矢量法，建立了Delta機器人機構誤差模型；其次，以數理統計與空間矢量原理為基礎，推導出Delta機器人關節間隙誤差模型；然后，基于空間有限元理論，在建立系統彈性動力學模型的基礎上建立了其柔性誤差模型；綜合考慮這3種誤差源，建立了Delta機器人綜合位置誤差模型；最后，利用Adams與Workbench聯合仿真、Matlab數值計算和FARO激光跟蹤儀的現場試驗驗證了位置誤差模型的正確性，并對誤差源的耦合特性進行了分析，闡述了方向位置誤差與坐標軸方位之間的關系。結果表明，影響Delta機器人動平臺位置誤差的各個誤差源間并不是簡單的疊加，而是具有明顯的耦合特性，并且動平臺方向位置誤差會隨著坐標軸方位的變化而變化。

Delta機器人； 機構誤差模型； 間隙誤差模型； 柔性誤差模型； 綜合位置誤差； 耦合特性

引 言

末端執行器的位置精度是評價并聯機器人性能的重要指標，但是目前尚未得到較為完善的解決[1-4]。隨著工業水平的提高，并聯機器人向著高速、輕量化方向發展，影響其末端執行器位置精度的因素越來越復雜。目前，國內外學者對并聯機器人的位置精度與補償方法[5]進行了大量的研究。Chen等[6]通過建立一種四軸式Delta機器人誤差模型，對影響末端執行器位置精度的機構誤差源進行了靈敏度分析。文獻[7-13]研究了關節間隙對并聯機構位置誤差的影響。Chen等[14]系統闡述了關節間隙對并聯機器人位置誤差的不確定性。Frisoli等[15]基于螺旋理論對并聯機構進行了誤差分析。Jokin等[16]研究了靜剛度對6-RUS并聯操作器位置精度的影響。Amir等[17]將動平臺視為柔性體，研究了系統剛度對3-PSP并聯機器人精度的影響。Sébastien等[18-19]對一種3T1R并聯機器人進行了精度分析。但是，以上關于并聯機器人誤差研究還主要集中在各個單獨的誤差源領域，即假設末端執行器的位置精度僅受到單一誤差源的影響，沒有全面考慮誤差源綜合效應，忽略各個誤差源在運行過程中的耦合特性。經過前期的研究可知，全面考慮誤差源并對其進行耦合特性分析，對改善控制策略及提高并聯機器人末端執行器的位置精度具有重要的意義。

基于以上認識，筆者以Delta機器人為研究對象，全面考慮影響動平臺位置精度的誤差來源，分別建立了Delta機器人機構誤差模型、關節間隙誤差模型與柔性誤差模型。在此基礎上，對以上誤差源進行了綜合研究，通過軟件仿真、數值計算與現場試驗對其進行了耦合特性分析，所得出的耦合指標為進一步優化控制策略、提高動平臺的位置精度提供了新的途徑與重要依據。最后說明了各個方向位置誤差隨系統坐標系坐標軸方位變化的關系。

1 Delta機器人系統描述與坐標系的建立

Delta機器人的結構示意圖如圖1所示，系統由靜平臺A1A2A3、動平臺C1C2C3、主動臂AiBi、從動臂BiCi(i=1,2,3)組成。主動臂與靜平臺之間用轉動關節連接，主動臂與從動臂、從動臂與動平臺之間以虎克鉸的形式連接，為了方便加工裝配與理論分析，這里虎克鉸由兩個軸線相互垂直的轉動關節代替。在靜、動平臺的中心處分別建立如圖1所示的系統坐標系O-XYZ與局部坐標系p-xyz。設動平臺中心p相對于坐標系O-XYZ的坐標為(x,y,z)，主動臂的分布角為θi，αi為主動臂輸入角度，la和lb分別為主、從動臂的長度，R和r分別為靜、動平臺外接圓半徑。

圖1 Delta機器人的結構示意圖Fig.1 Schematic diagram of Delta robot

2 Delta機器人機構誤差模型

機構誤差是產生Delta機器人末端執行器——動平臺位置誤差的重要來源，本部分將利用從動臂連接主動臂輸入端與動平臺輸出端的位置特性，以從動臂為中間媒介，推導其在三維空間中的位置矢量，依據幾何空間矢量法，建立Delta機器人機構誤差模型。

這里，將Delta機器人的所有桿件視為剛性體，忽略其彈性變形，僅考慮它們的加工裝配誤差即機構誤差。為了便于分析，將3組平行四邊形形式的從動臂簡化為3根剛性連桿BiCi，如圖2所示。

圖2 等效從動臂Fig.2 Equivalent driven arm

(1)

設ubi為Ci指向Bi的單位矢量，則對于第i條支鏈的從動臂有lbiubi=Ci-Bi，即

(2)

對式(2)兩端求微分得

(3)

(4)

等式(4)左邊兩項具體表達形式如下，左邊第1項為

由機器人的微分關系[20]知：dubi=Δubiubi，其中

左邊第2項為

(5)

(6)

考慮到Delta機器人具有3條支鏈，將式(6)寫成如下形式

(7)

令

又因為

Δrsinθi+rΔθdicosθi+ΔymΔzm]T

將含有動平臺的位置誤差項分離出來可得

則

令

將式(7)整理，可進一步表示為

ΔLb=2J1Δpm+J2ΔV

(8)

將式(8)整理為動平臺位置誤差的顯式形式

Δpm=JmΔem

(9)

至此，建立了Delta機器人機構誤差模型。其中：Jm，Δem分別為機構誤差傳遞矩陣與機構誤差輸入矩陣。

3 Delta機器人間隙誤差模型

Delta機器人由多根桿件通過轉動關節相連接，由于加工和裝配過程中存在誤差，轉動關節處會不可避免地出現間隙，關節間隙對動平臺的位置精度有著不可忽視的影響。關節間隙隨機器人運動狀態變化而變化，對動平臺位置精度的影響具有不確定性[21]。基于此，本部分將以數理統計與空間矢量原理為基礎，研究關節間隙對Delta機器人動平臺位置精度的影響。為便于分析，這里挑選Delta機器人的任一支鏈作為研究對象，即i為1,2,3中的任一常數。

3.1 關節間隙模型

將關節間隙矢量分解在徑向與軸向方向上，可得徑向間隙矢量Cirj與軸向間隙矢量Ciaj。Cirj與Ciaj隨著Delta機器人運動狀態的改變在關節徑向與軸向隨機跳動，其二維投影示意圖如圖3所示。其中：Ci1j，Ci2j分別表示關節間隙的外圓圓心與內圓圓心；eij為關節間隙外圓柱左端面的圓心點。

圖3 關節間隙的投影示意圖Fig.3 Schematic diagram of the projection of the joint clearance

為反映關節間隙矢量隨機器人運動狀態變化的隨機性與不確定性，需根據數理統計知識在直角坐標系中建立其概率密度函數。對徑向間隙矢量Cirj，設坐標系原點為間隙外圓圓心Ci1j，并假定其分布為正態分布，可得其概率密度firj(xirj,yirj)為

firj(xirj,yirj)=

(10)

對于軸向間隙矢量Ciaj，設其坐標系原點為關節間隙外圓柱左端面的圓心點eij，其概率密度fiaj(xiaj)為

(11)

至此，建立了一般轉動關節間隙變量模型。

3.2 Delta機器人動平臺誤差分布函數

取出Delta機器人的一條支鏈進行分析，忽略除關節間隙之外的誤差源，可得支鏈結構示意圖如圖4所示。

圖4 單支鏈關節間隙模型Fig.4 The joint clearance model of single chain

由圖4所示，關節Ai，Bi，Ci在同一平面上，將其命名為平面1；將關節bi1，bi2，ci1，ci2所在的平面命名為平面2。將Ai，Bi，Ci，bi1，bi2，ci1和ci2依次標為1～7號關節，其徑、軸向關節間隙矢量分別為Cirj和Ciaj(j=1，2，…，7)。pic為動平臺中心點所在的實際位置，pic0表示動平臺中心點的理想位置。這樣，在不考慮其他類型誤差的情況下，可將Delta機器人支鏈中的關節分解到兩組平面內，進行關節間隙的分析，然后再將分析的結果矢量進行空間合成。依據支鏈的結構特點，可得如下的矢量關系式[10]

(12)

由式(10)、式(12)可得到由徑向間隙引起的動平臺位置誤差的概率密度函數

(13)

其中：cr為徑向間隙的最大值。

根據式(11)、式(12)可得，由軸向間隙引起的動平臺位置誤差的概率密度函數為

(14)

其中：ca為徑向間隙的最大值。

根據式(13)、式(14)可得，由關節間隙引起的動平臺位置誤差分布函數為

(15)

其中：S為動平臺位置誤差分布區域(為了計算分析的方便，通常假定S為空間球體區域)

由以上分析可知，當給定關節間隙的具體值時，可求得動平臺中心點出現某個位置誤差值的概率，即由關節間隙引起的動平臺中心點的位置誤差是一個不確定的值，具有隨機性。

3.3 Delta機器人關節間隙誤差模型

利用D-H方法建立Delta機器人關節間隙與動平臺位置誤差之間的映射關系[12]

Δpc=JcΔec

(16)

根據3.1與3.2節的分析，并結合式(15)和式(16)，將由關節間隙引起的動平臺的位置誤差進行綜合，可得到動平臺位置誤差出現某個具體數值的概率。

當給定關節間隙的具體值時，動平臺中心點位置誤差出現某一數值是一個概率事件，為便于分析，取Δpc作為動平臺中心點位置誤差。至此，建立了Delta機器人關節間隙的誤差模型。

4 Delta機器人柔性誤差模型

為提高Delta機器人的運行效率，其桿件越來越輕質化，在高速、重載工況下，這將會引起桿件的彈性變形[22]，降低動平臺的位置精度。本部分將在建立Delta機器人彈性動力學模型的基礎上，建立其柔性誤差模型，分析桿件彈性變形對動平臺位置誤差的影響。

4.1 支鏈彈性動力學模型

4.1.1 單元坐標系中支鏈彈性動力學方程

選擇圓形截面、環形截面空間梁單元作為主、從動臂基本梁單元模型。因靜、動平臺與轉動關節的剛度遠大于主、從動臂的剛度，將靜、動平臺與轉動關節看做剛性元件，忽略其運動過程中的彈性變形；主、從動臂視為柔性元件，考慮其在運動過程中的彈性變形。

將主動臂視為空間懸臂梁，則節點Ai的彈性位移和轉角位移均為零。因為繞轉動副軸線方向的曲率為零，則主動臂的廣義坐標為10個，從動臂的廣義坐標為14個。主、從動臂的空間梁單元有限元模型如圖5，6所示。

根據空間梁單元動力學方程得主、從動臂的彈性動力學方程

(17)

(18)

圖5 主動臂空間梁單元有限元模型Fig.5 Space finite element model of active arm

圖6 從動臂空間梁單元有限元模型Fig.6 Space finite element model of driven arm

將式(17)、式(18)組合可得支鏈的動力學方程

(19)

4.1.2 系統坐標系中支鏈彈性動力學方程

以下分析中以支鏈3為例，系統坐標系中支鏈的有限元模型如圖7所示。其中：φi為主動臂AiBi與從動臂平面bi1bi2ci1ci2的夾角；BiDi為主動臂的延長線在從動臂平面上的投影；ψi為從動臂橫軸bi1bi2與BiCi的夾角；φi為從動臂與BiDi的夾角；φi，ψi和φi都是隨Delta機器人的位形變化的角度值。可對Delta機器人進行運動學分析得到它們的變化規律

圖7 系統坐標中支鏈的有限元模型Fig.7 Branched chain’s finite element model in system coordinates

(20)

(21)

則系統坐標系O-XYZ到主動臂單元坐標系Ai-xyz的姿態變換矩陣為

(22)

系統坐標系O-XYZ到從動臂單元坐標系Bi-xyz的姿態變換矩陣為

(23)

其中：Ri211=cosφi(sinφisinαi+cosφicosαicosθi+sinφicosαisinθi)；Ri212=sinφicosθi-cosφicosφisinθi；Ri213=sinφisinαisinθi-cosφi(sinφisinαi-cosφicosθisinαi)；Ri221=cosφicosαisinθi-sinφi×(sinφisinαi+cosφicosαicosθi)；Ri222=cosφicosθi+cosφisinφisinθi；Ri223=sinφisinφicosαi-cosφicosθisinαi+cosφisinαisinθi；Ri231=sinφicosαicosθi-cosφisinαi；Ri232=sinφisinθi；Ri233=cosφicosαi+sinφicosθisinαi。

由式(22)、式(23)可得支鏈i的單元廣義坐標與系統廣義坐標之間的轉換關系為

δi=BiUi

(24)

其中：Bi∈R24×21為支鏈i的單元廣義坐標與系統廣義坐標之間的姿態轉換矩陣。

將式(24)代入式(19)，得到支鏈i在系統坐標下的彈性動力學方程為

(25)

4.2 Delta機器人系統彈性動力學模型

4.2.1 系統彈性動力學方程

(26)

將式(26)代入式(25)得

(27)

通過運動學約束條件與式(27)可得Delta機器人整機系統的剛柔混合彈性動力學方程

(28)

4.2.2 Delta機器人柔性誤差模型

對式(36)變形可得

(29)

5 Delta機器人綜合位置誤差仿真與實驗及其耦合特性分析

Delta機器人動平臺的綜合位置誤差是受機構誤差、間隙誤差與柔性誤差共同影響的。由于運行過程中各個支鏈結構的耦合性，使得動平臺的綜合位置誤差不僅是以上3種類型誤差源的簡單疊加。本部分將結合機構誤差、間隙誤差與柔性誤差模型，對動平臺的綜合位置誤差進行研究，并通過軟件仿真、數值計算與現場試驗對其耦合特性進行分析。

5.1 Delta機器人綜合位置誤差

經分析，得到包含機構誤差、間隙誤差與柔性誤差的綜合彈性動力學模型

(30)

對式(30)變形得

(31)

同樣地，利用Newmark法對綜合彈性位移進行求解，取出列陣Us第55，56，57行，得包含機構誤差、間隙誤差與柔性誤差在內的動平臺的綜合位置誤差

5.2 Delta機器人綜合位置誤差仿真與試驗

取動平臺中心點p=(x,y,z)的運動軌跡為

(32)

已知系統參數如下：主動臂與從動臂的材質均為鋁合金，密度為ρ=2 700 kg/m3，拉壓彈性模量E=7.0×1010N/m2，剪切彈性模量G=2.65×1010N/m2；la=0.2 m，lb=0.5 m，R=0.15 m，r=0.085 m，圓形截面主動臂半徑D1=0.025 m，環形截面的從動臂外徑D2=0.016 m，內徑d=0.014 m；動平臺質量mp=1.087 kg；λ1=2.0×10-3，λ2=3.0×10-4。Delta機器人的機構誤差如表1所示，各個關節的最大間隙如表2所示，這里3條支鏈對應關節的最大間隙相同。

表1 Delta機器人的機構誤差

表2 Delta機器人的最大關節間隙

Tab.2 The maximum joint clearance of Delta robot

mm

為了分別驗證前述所建機構誤差模型、間隙誤差模型與柔性誤差模型的正確性，首先，根據此前分析，在Matlab中編程運算，得到Delta機器人分別僅具有機構誤差、間隙誤差與柔性誤差時動平臺的位置誤差的數值計算結果；然后，在creo2.0中建立Delta機器人簡化三維模型，將其分別導入Adams與Ansys/ Workbench。在Adams中添加驅動和約束，運用設計變量法在Delta機器人模型上分別加入機構誤差與間隙誤差，得到當模型僅具有機構誤差與間隙誤差時動平臺位置誤差的軟件仿真結果。在Workbench中，將Delta機器人的主動臂與從動臂進行柔性化，如圖8所示。利用柔性化后的桿件代替Adams中的剛性桿件，得到當Delta機器人模型僅具有柔性誤差時動平臺的位置誤差的軟件仿真結果，將數值計算與軟件仿真結果相對比。

圖8 Delta機器人的桿件柔性化Fig.8 Rod flexible of Delta robot

為了證明Delta機器人的機構誤差、間隙誤差與柔性誤差對動平臺位置誤差的影響并不是簡單的疊加作用，而是具有較強的耦合特性，將機構誤差、間隙誤差與柔性誤差一起施加到Adams中的Delta機器人模型上，如圖9所示，得到具有全部誤差源的動平臺軟件仿真綜合位置誤差。

圖9 Delta機器人在Adams中的模型Fig.9 Delta robot′s model in Adams

根據5.1節中求得的綜合誤差方程，利用Newmark法在Matlab中數值求解，得到動平臺數值計算綜合位置誤差。

根據結構參數，加工裝配出Delta機器人物理樣機。利用FARO Vantage激光跟蹤儀作為測量動平臺綜合位置誤差的儀器，如圖10所示。對激光跟蹤儀測得的動平臺的實際位置數據進行導出處理，得到動平臺實際綜合位置誤差。

圖10 FARO激光跟蹤儀測量物理樣機動平臺運動軌跡Fig.10 FARO laser tracker measuring moving platform trajectory of the physical prototype

將動平臺綜合位置誤差的軟件仿真結果、數值計算結果與試驗結果導入到Matlab中，并與直接疊加的動平臺位置誤差相比較，如圖11～圖13所示。

圖11 x方向位置誤差Fig.11 The position error of x axis direction

圖12 y方向位置誤差Fig.12 The position error of y axis direction

圖13 z方向位置誤差Fig.13 The position error of z axis direction

由圖11～圖13可以看出，軟件仿真、數值計算結果與試驗運行結果的曲線雖然大體吻合，但還是具有一定的偏離，分析其原因主要如下：

1) 為了建模與求解的方便，對Delta機器人在Adams中的多體動力學模型部分零部件進行了簡化，因此其與實際物理樣機的結構形式并不完全一致；

2) 在對系統的彈性動力學方程進行分析時，使用了Newmark法對其進行求解，結果存在一定的數值計算誤差；

3) 物理樣機搭建在由型材組成的安裝框架上，雖然安裝框架已由地腳螺栓固定在地面上，但是在運行過程中，型材的輕微抖動會對試驗結果產生一定的影響。

5.3 綜合位置誤差耦合特性分析

由圖11～圖13可以看出，動平臺綜合位置誤差的軟件仿真結果、數值計算結果與試驗結果大致吻合，但與直接疊加的位置誤差有著明顯的區別。在驗證了所建綜合位置誤差模型正確的同時，也說明影響Delta機器人動平臺的位置誤差的誤差源具有較明顯的耦合特性。

為定量描述各個誤差源對動平臺位置誤差的耦合作用，這里定義誤差耦合指標。根據式(30)、式(31)可知，Delta機器人綜合彈性動力學剛度矩陣Ks能唯一表達各個誤差源耦合關系。定義λs[8]為各個誤差源的耦合指標

(33)

其中：σk為矩陣Ks的奇異值；λs描述了各個誤差源對動平臺位置誤差的耦合量化關系。

圖14所示為動平臺按照軌跡式(32)運行時λs隨時間的變化規律。

圖14 耦合指標隨時間的變化規律Fig.14 Change regulation of the coupling index with time

耦合指標反映了各個誤差源對動平臺位置誤差的耦合效應。由圖14可看出，Delta機器人的耦合指標并不像文獻[8]描述的那樣具有明顯的余弦規律，這是因為本研究的Delta機器人屬于并聯機器人，運動過程中各個支鏈之間存在很強的耦合作用，導致耦合指標沒有呈現很明顯的規律性。

根據工作任務得到耦合指標λs隨動平臺工作軌跡的變化規律，這對改善系統的控制策略和提高動平臺的運動精度具有非常重要的意義。例如，在位置誤差較大處可利用各個誤差源的耦合效應對其進行控制和消減，也可作為尺度綜合的優化目標，同時，可為待加工零件制定合適的公差提供指導。

另外發現，在整個運行過程中， 動平臺y方向的位置誤差平均值大于x的z方向的位置誤差平均值，為了分析其原因，設y軸與OA3的夾角為β，如圖15所示。

圖15 改變β值Fig.15 Chang value β

令y軸繞z軸旋轉，變化β的值，改變原始系統坐標系O-XYZ的y坐標軸方位，令β分別為60°，45°，30°，15°和0°。在Adams中做仿真分析，發現y方向的位置誤差平均值隨著β角的減小而減小，當β=0°時，y方向位置誤差曲線幾乎與原始系統坐標系x方向的位置誤差曲線重合。究其原因主要為：

1) 動、靜平臺各有3個中心對稱的鉸鏈點Ai，兩兩鉸鏈點之間相當于組成一個簡支梁，而越靠近簡支梁的中間點部位，剛度逐漸減小，彈性位移逐漸增加；

2) 在上面所述的簡支梁中間點附近的位置誤差受兩個鉸鏈支反力的共同作用，在動平臺運行過程中，簡支梁中間點附近會產生位置誤差的耦合與疊加，從而導致位置誤差的增加。

6 結 論

1) 利用從動臂的位置特性，導出其在三維空間中的位置矢量，建立了Delta機器人機構誤差模型。以數理統計與空間矢量原理為基礎，研究關節間隙對動平臺位置精度影響的隨機性，推導出Delta機器人間隙誤差模型。利用有限元理論，充分考慮主、從動臂的空間運動特性，在建立Delta機器人彈性動力學模型的基礎上，建立了其柔性誤差模型。

2) 將柔性誤差模型按照剛性、柔性及剛柔耦合部分的原則進行分解，利用由于機構誤差與關節間隙的存在導致的剛體廣義力變化，將這3個誤差源進行綜合，推導出Delta機器人綜合位置誤差模型。

3) 利用軟件仿真、數值計算與現場試驗驗證了位置誤差模型的正確性，同時說明了影響Delta機器人動平臺位置精度的各種誤差源具有較明顯的耦合特性。通過定義誤差源的耦合指標，為進一步優化控制策略，提高動平臺的位置精度提供了新的途徑。通過對系統坐標系進行變換，說明各個方向位置誤差的變化與系統坐標系的坐標軸方位具有密切的關系。

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10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2017.03.024

教育部中央高校基本科研業務專項基金重點資助項目(JUSRP51316B)

2015-04-07；

2015-05-30

TH113； TH115

鄭坤明，男，1989年8月生，碩士。主要研究方向為并聯機器人優化和機械動態分析。 E-mail: ZhengKunming_111@163.com